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\title{Spectre et idéaux premiers}

\externaldocument{categories}

\begin{document}
\maketitle
\setcounter{tocdepth}{1}
\tableofcontents

\else
\chapter{Spectre et idéaux premiers}
\fi

Dans ce chapitre, sauf mention du contraire,
les anneaux sont \emph{commutatifs} unitaires.

\section{Spectre premier et maximal d'un anneau. Points rationnels et
localisation}

\subsection{Généralités sur le spectre}
\begin{definition2}\label{premier}
Un idéal $𝔭$ d'un anneau $A$ est dit \emph{premier} (resp. \emph{maximal}) si l'anneau quotient
$A/𝔭$ est intègre (resp. est un corps). On note $κ(𝔭)$ le corps des fractions de
l'anneau intègre $A/𝔭$ ; c'est le \emph{corps résiduel de $A$ en $𝔭$}.
\end{definition2}

Rappelons que par convention un anneau intègre est non nul : $0≠1$.

\begin{définition2}\label{spectre}
Soit $A$ un anneau. On appelle \emph{spectre} \index{spectre} (resp.
\emph{spectre maximal}) \index{spectre maximal} de $A$ 
l'ensemble de ses idéaux premiers (resp. maximaux).
On le note $\Spec(A)$ (resp. $\Specmax(A)$).
\end{définition2}

\begin{proposition2}\label{fonctorialite-spectre}
Soit $f:A→B$ un morphisme d'anneaux. Pour tout idéal premier $𝔭$ de $B$, l'idéal
$𝔮=f^{-1}(𝔭)$ de $A$ est premier. De plus, le morphisme $A/𝔮→B/𝔭$ déduit de $f$
est injectif et induit un morphisme $κ(𝔮)↪κ(𝔭)$ entre les corps résiduels.
\end{proposition2}

On note $\Spec(f):\Spec(B)→\Spec(A)$, l'application ci-dessus.
On vérifie sans peine que si $f:A→B$ et $g:B→C$ sont des morphismes
d'anneaux, les applications $\Spec(gf)$ et $\Spec(f)∘\Spec(g)$
de $\Spec(C)$ vers $\Spec(A)$ coïncident.
En d'autres termes (\refext{Cat}{definition-foncteur}), $A↦\Spec(A)$, $(f:A→B)↦\big(\Spec(f):\Spec(B)→\Spec(A)\big)$ 
est un \emph{foncteur contravariant} de la catégorie des anneaux 
(commutatifs) vers la catégorie des ensembles.

\begin{démo}
Soit $𝔭∈B$. Notons $N$ le noyau du morphisme composé $A→B↠B/𝔭$.
Le morphisme $A/N→B/𝔭$ qui s'en déduit est donc injectif ; puisque $B/𝔭$ est intègre, 
l'anneau $A/N$ l'est également. Il suffit alors de remarquer que $N=f^{-1}(𝔭)$.
Le dernier point résulte du fait que l'inclusion $A/𝔮↪B/𝔭$ induit une inclusion
$\Frac(A/𝔮)↪\Frac(B/𝔭)$.
\end{démo}

Observons que l'application $\Spec(f)$ n'envoie en général par le sous-ensemble
$\Specmax(B)$ de $\Spec(B)$ dans $\Specmax(A)⊆\Spec(A)$ : un sous-anneau intègre
d'un corps n'est pas nécessairement un corps.

Considérons maintenant le cas particulier où $B$ est un quotient de $A$.

\begin{proposition2}\label{ideaux-quotient}
Soient $A$ est un anneau, $I$ un idéal de $A$ et $π$ la surjection canonique
$A↠A/I$. L'application $J \mapsto π^{-1}(J)$ induit
une bijection, croissante pour l'inclusion, entre les idéaux (resp. les idéaux premiers, resp. les idéaux maximaux) 
de l'anneau quotient $A/I$ et l'ensemble des idéaux de $A$ (resp. premiers,
maximaux) contenant $I$. De plus, si $𝔭∈\Spec(A/I)$ et $𝔮$ désigne son
image dans $\Spec(A)$, l'injection canonique $κ(𝔭)↪κ(𝔮)$ est un isomorphisme.
\end{proposition2}

Cf. \bbka{I}{8}{8}{proposition 5}. \XXX

\begin{convention2}\label{convention image inverse idéal}
Un morphisme $f:A→B$ étant donné, on note parfois $𝔮∩A$ (resp. $J∩A$) l'image
inverse $f^{-1}(𝔮)$ (resp. $f^{-1}(J)$) de l'idéal premier $𝔮$ (resp.
de l'idéal $J$) de $B$.
\end{convention2}

\begin{théorème2}[Krull]\label{Krull}
Tout idéal strict d'un anneau est contenu dans un idéal maximal.
\end{théorème2}
 
Cf. \bbka{I}{8}{6}{théorème 1}. \XXX

De même :

\begin{théorème2}
Tout idéal premier d'un anneau contient un idéal premier
\emph{minimal}.
\end{théorème2}

\begin{démo}
Il suffit d'après le théorème de Zorn de vérifier que si $P$ est une famille 
non vide d'idéaux premiers, totalement ordonnée pour l'inclusion, l'intersection
$𝔭$ des idéaux $𝔮∈P$ est un idéal premier.
Or, si ni $x$ ni $y$ n'appartiennent à $𝔭$,
il existe $𝔮∈P$ tel que $x∉𝔮$ et $y∉𝔮$, la famille
des idéaux étant totalement ordonnée.
Ainsi, $xy∉𝔮$ et, \emph{a fortiori}, $xy∉𝔭$.
\end{démo}

\subsection{Points d'une $k$-algèbre}\label{points-algebre}

Soient $k$ un anneau (par exemple $𝐙$) et $A$ une $k$-algèbre, c'est-à-dire
la donnée d'un morphisme d'anneaux $k→A$. 
Pour toute $k$-algèbre $B$, on note $A^\japmath{田}(B)$ 
l'ensemble $\Hom_k(A,B)$ (cf. \refext{Cat}{notation-yoneda}).

Le lemme suivant décrit cet ensemble comme 
un ensemble de points d'un espace affine.

\begin{lemme2}\label{points-quotient}
Si $A=k[X₁,\dots,X_n]/(f₁,\dots,f_e)$, et $B$ est une $k$-algèbre, l'application 
$$
A^\japmath{田}(B)=\Hom_k(A,B)→\{(b₁,\dots,b_n)∈B^n:f₁(b₁,\dots,b_n)=\cdots=f_e(b₁,\dots,b_n)=0\}
$$
$$
\big(φ:A→B\big)↦\big(φ(x₁),\dots,φ(x_n)\big),
$$
où les $x_i$ sont les images dans $A$ des variables $X_i$,
est une bijection.
\end{lemme2}

En d'autres termes (\refext{Cat}{definition-foncteur-representable}), 
l'anneau $A$ représente le foncteur covariant « solutions dans $B$ »
des équations $f₁,\dots,f_e$. Il résulte de la démonstration
(ci-dessous) que ce lemme est également, avec les modifications
évidentes, pour les quotients d'un anneau de polynômes
ayant un ensemble quelconque non nécessairement fini d'indéterminées
par un idéal ayant un ensemble quelconque non nécessairement fini 
de générateurs.

Dans cet énoncé, on a implicitement fait usage de la convention
d'écriture suivante.

\begin{convention2}\label{changement-de-base-polynome}
Soient $k$ un anneau, $C$ une $k$-algèbre et $P∈k[X]$.
Si aucune confusion ne semble pouvoir en résulter,
on notera encore $P$ l'image dans $C[X]$ du polynôme $P$ par le morphisme
canonique $k[X]→C[X]$.
\end{convention2}

\begin{démo}
Observons que d'une part l'application $\Hom_k(k[X₁,\dots,X_n],B)→B^n$,
$ψ↦\big(ψ(X_i)=:b_i\big)_{1≤i≤n}$ est une bijection et que d'autre part, par définition du quotient, un tel morphisme $ψ$
se factorise à travers le quotient $k[X₁,\dots,X_n]↠A$ en un morphisme $φ:A→B$ 
\ssi $ψ(f_j)=0$ pour chaque $1≤j≤e$. La conclusion résulte du fait que
$ψ(f_j)=f_j(b₁,\dots,b_n)$.
\end{démo}

Si $A$ est une $k$-algèbre, l'ensemble $A^\japmath{田}(k)=\Hom_k(A,k)$ s'appelle 
\emph{l'ensemble des points rationnels} \index{point
rationnel} de $A$. 
%Remarquons que tout morphisme de $k$-algèbres
%$A→k$ est surjectif car l'image est une sous-$k$-algèbre de $k$
%contenant l'unité.

Soit $f∈A^\japmath{田}(k)$. La source du morphisme $\Spec(f)$ est 
l'ensemble à un élément $\Spec(k)=\{(0)\}$. L'image de $\Spec(f)$ dans
$\Spec(A)$ est, par définition, le singleton d'élément $f^{-1}(0)=\Ker(f)∈\Spec(A)$.

\begin{lemme2}\label{points rationnels et ideaux maximaux}
L'application $A^\japmath{田}(k)→\Spec(A)$, $f↦\Ker(f)$, est une injection d'image
contenue dans $\Specmax(A)$. Son image est l'ensemble des $𝔮$ dans $\Specmax(A)$
tel que le morphisme composé $k→A↠A/𝔮$ soit un isomorphisme. 
\end{lemme2}

\begin{démo}
Commençons par montrer que pour chaque $f$ comme dans l'énoncé, $𝔭_f:=\Ker(f)$
est maximal. Le morphisme $\bar{f}:A/𝔭_f→k$ déduit de $f$ par passage au
quotient est, par construction, une injection. Puisque son image est une
sous-$k$-algèbre de $k$, donc égale à $k$, $\bar{f}$ est un isomorphisme.
L'idéal $𝔭_f$ est donc maximal. D'autre part, le morphisme composé
$k→A↠A/𝔭_f→k$, où la première flèche est le morphisme structural
$\mathrm{str}:k→A$ (définissant la $k$-algèbre $A$), est 
l'identité car $\Hom_k(k,k)=\{\Id\}$. L'isomorphisme
$A/𝔭_f⭇k$ est donc l'inverse du morphisme composé $\overline{\mathrm{str}}:k→A↠A/𝔭_f$ munissant
le quotient $A/𝔭_f$ de sa structure de $k$-algèbre naturelle.
L'injectivité de l'application $A^\japmath{田}(k)→\Specmax(A)$ est alors évidente :
le seul $k$-morphisme $A→k$ de noyau $𝔭$ est $A↠A/𝔭⭇k$ où 
la seconde flèche est l'inverse de l'isomorphisme $k→A↠A/𝔭$.
Il résulte de cette description que l'image de l'ensemble des points rationnels
dans $\Specmax(A)$ est l'ensemble des idéaux maximaux de corps résiduel $k$.
\end{démo}

\subsection{Localisation}\label{Spec-localisation}

\subsubsection{}Soit $A$ un anneau. Une partie $S$ de $A$ est dite « multiplicative »
si tout produit fini d'élément de $S$ appartient à $S$ ou,
de façon équivalente, si $1∈S$ et pour tous $s,s'∈S$, $ss'∈S$.
Étant donnée une partie quelconque $S$ de $A$, il existe une
plus petite partie, notée $S_{\mathrm{mult}}$, de $A$
contenant $S$ et multiplicative.

Si $S$ est une partie multiplicative, 
la relation $ℛ$ sur $A×S$ définie par
$(a,s)ℛ(a',s')$ \ssi il existe $t∈S$
tel que $t(s'a)=t(sa')$ est une relation d'équivalence. On note
$A[S^{-1}]$ son quotient et $a/s$ la classe de l'élément $(a,s)$.
On vérifie immédiatement que les opérations
\[(a/s)+(a'/s'):=(as'+a's)/(ss')\] et
\[a/s)×(a'/s')=(aa')/(ss')\] munissent l'ensemble $A[S^{-1}]$
d'une structure d'anneau commutatif pour laquelle l'application
$A→A[S^{-1}]$, $a↦(a/1)$ (dite « canonique ») est un \emph{morphisme}.
Si $S$ est une partie quelconque de $A$, on pose
$A[S^{-1}]:=A[S_{\mathrm{mult}}^{-1}]$. On appelle cet anneau l'
\emph{anneau de fractions de $A$ défini par $S$}. C'est la
$A$-algèbre « universelle » dans lequelle tout élément
de $S$ devient inversible (cf. \refext{Tens}{propriété universelle
localisation}). Si $𝔭$ est un idéal \emph{premier} de $A$, l'ensemble
$A-𝔭$ est une partie multiplicative et on note plutôt
$A_𝔭$ l'anneau $A[(A-𝔭)^{-1}]$, appelé \emph{localisé
de $A$ en $𝔭$}. On vérifie immédiatement que si $A$ est un anneau intègre,
le localisé $A_{(0)}$ est le \emph{corps des fractions} de $A$.

\begin{proposition2}\label{Spec-spectre du localisé}
Soient $A$ un anneau et $S$ une partie de $A$.
Le morphisme canonique $A→A[S^{-1}]$ induit
une \emph{injection} $\Spec(A[S^{-1}])→\Spec(A)$
d'image
\[
\{𝔭∈\Spec(A):𝔭∩S=∅\}.
\]
\end{proposition2}

En particulier, pour tout idéal premier $𝔭'$ de $A$,
le spectre $\Spec(A_𝔭)$ s'identifie à $\{𝔭:𝔭⊆𝔭'\}$
car la condition $𝔭∩(A-𝔭')=∅$ se $𝔭⊆𝔭'$.
L'anneau $A_𝔭$ est donc \emph{local} : il ne possède qu'un idéal
maximal.

\begin{démo}
On peut supposer $S=S_{\mathrm{mult}}$ car
$𝔭∩S=∅$ \ssi $𝔭∩S_{\mathrm{mult}}=∅$.
Soit $𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$. Son image
réciproque $𝔭=𝔮∩A∈\Spec(A)$ ne rencontre pas $S$
car tout élément de $S$ est envoyé
par $A→A[S^{-1}]$ sur un élément inversible
et $𝔮$ ne contient pas de tels éléments.
Montrons que l'application $c:\Spec(A[S^{-1}])→
\{𝔭∈\Spec(A):𝔭∩S=∅\}$, $𝔮↦𝔮∩A$, est une bijection.
Nous allons vérifier ci-dessous que l'application
envoyant $𝔭∈\Spec(A)$ tel que $𝔭∩S=∅$ sur
l'idéal $𝔮=𝔭A[S^{-1}]$ de $A[S^{-1}]$
en est l'inverse. Fixons $𝔭$.
Commençons par observer que tout élément de $𝔮$ 
est de la forme $x/s$ où $x∈𝔭$ et $s∈S$. 
(Toute somme finie $∑_i x_i/s_i$ où $x_i∈𝔭$ et $s_i∈S$
se met au même dénominateur.)
Vérifions maintenant que l'idéal $𝔮$ est premier.
Soient $a/s$ et $a'/s'$ tels que $(a/s)(a'/s')=x/{s''}∈𝔮$,
où $x∈𝔭$. Par définition de l'anneau
des fractions, il existe $t∈S$ tel que 
\[(ts'')(aa')=(tss')x.\]
Le terme de droite appartient à l'idéal premier $𝔭$.
Comme le facteur $ts''$ du terme de gauche n'appartient pas à 
$𝔭$ (car $𝔭∩S=∅$) on a finalement $a∈𝔭$ ou $a'∈𝔭$.
Vérifions que $𝔮∩A=𝔭$, \cad que l'application
$𝔭↦𝔭A[S^{-1}]$ est un inverse à droite
de l'application $c$. Soit $a∈A$ tel que $a/1∈𝔮$.
D'après ce qui précède, il existe $(x,s)∈𝔭×S$ tel
que $a/1=x/s$. On en tire $(ts)a=tx$ pour un $t∈S$ convenable
et, finalement, $a∈𝔭$.
Pour conclure, il nous reste à vérifier que pour tout 
$𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$, l'inclusion \emph{a priori}
$(𝔮∩A)A[S^{-1}]⊆𝔮$ est une égalité. Soit $x=a/s∈𝔮$, où $a∈A$
et $s∈S$. L'élément $a/1=(s/1)(a/s)$ appartient également à 
l'idéal $𝔮$ de sorte que $a∈𝔮∩A$. L'égalité $x=(a/1)(1/s)$ montre
que $x∈(𝔮∩A)A[S^{-1}]$.
\end{démo}

Si $B$ est une $A$-algèbre et $S$ une partie de $A$,
on note $B[S^{-1}]$ l'anneau des fractions de $B$ 
défini par l'\emph{image} de $S$ dans $B$.

Nous ferons régulièrement usage du lemme suivant,
qui est un cas particulier d'un résultat de \emph{platitude}
(cf. \refext{Tens}{platitude localisation}).

\begin{proposition2}\label{Spec-cas particulier platitude localisation}
Soient $A$ un anneau et $S$ une partie de $A$.
Si $f:A→B$ est un morphisme \emph{injectif} d'anneau, 
le morphisme $A[S^{-1}]→B[S^{-1}]$, $a/s↦f(a)/f(s)$,
est également injectif.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Soit $a/s$, où $a∈A$ et $s∈S_{\mathrm{mult}}$, dans le noyau. 
Observons que l'on a $f(S_{\mathrm{mult}})=f(S)_{\mathrm{mult}}$.
Par hypothèse, il existe $t∈S_{\mathrm{mult}}$ tel que
$f(t)f(a)=f(ta)=0$. Comme $f$ est injective, $ta=0$ et,
finalement $a/1=0$ dans $A[S^{-1}]$. \emph{A fortiori},
son multiple $a/s=(a/1)(1/s)$ est également nul.
\end{démo}


\section{Idéaux étrangers, lemme chinois}

\subsection{Idéaux étranger}

\begin{définition2}\label{ideaux etrangers}\index{idéaux étrangers}
Deux idéaux $I$ et $J$ d'un anneau $A$ sont dits \emph{étrangers} si l'idéal
$I+J$ qu'ils engendrent est égal à $A$.
\end{définition2}

\begin{lemme2}\label{puissance-etrangers=etrangers}
Soient $I$ et $J$ deux idéaux étrangers d'un anneau $A$ et $N$ un entier.
Alors $I^N$ et $J^N$ sont étrangers.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Par hypothèse, $I+J=A$ ; il existe donc deux éléments $i∈I$ et $j∈J$ tels que 
$i+j=1$. D'après la formule du binôme de Newton, l'élément $1=(i+j)^{2N}$ est la
somme de $i'=∑_{α=0}^N \big({2N \choose α} j^α\big) i^{2N-α}∈I^N$ et
de $j'=∑_{α=N+1}^{2N} \big({2N \choose α} i^{2N-α}\big) j^α∈J^N$.
On a donc $I^N+J^N=A$.
\end{démo}

\subsection{Théorème chinois}

\begin{théorème2}\label{lemme chinois}
Soient $I₁,\dots,I_n$ ($n≥1$) des idéaux d'un anneau $A$, deux-à-deux étrangers.
L'homomorphisme $A→∏_{i=1}^n A/I_i$ est \emph{surjectif}
de noyau $I₁∩\cdots∩I_n=I₁\cdots I_n$.
\end{théorème2}

Cf. \bbkac{II}{1}{2}{proposition 5}.

\section{Nilradical d'un anneau et anneaux réduits}

\subsection{Définitions et premiers résultats}

\begin{définition2}\label{nilpotents}
Soit $A$ un anneau. Un élément $a∈A$ est dit \emph{nilpotent} \index{nilpotent}
s'il existe un entier $n∈𝐍$ tel que $a^n=0$. On note $\Nilp(A)$ leur ensemble.
\end{définition2}

Il résulte de la formule du binôme de Newton que la somme de deux éléments
nilpotents est nilpotente. D'autre part, le produit d'un élément nilpotent par
un élément quelconque est nilpotent. L'ensemble $\Nilp(A)$ est donc un
\emph{idéal} de $A$. Par construction, l'anneau quotient $A/\Nilp(A)$ n'a pas
d'élément nilpotent non nul.

\begin{définition2}\label{reduit}
Un anneau $A$ est dit \emph{réduit} \index{réduit} si $\Nilp(A)=\{0\}$.
\end{définition2}

\begin{proposition2}
Pour tout anneau $A$, l'anneau quotient $A_{\red}=A/\Nilp(A)$ est réduit.
C'est le plus grand quotient réduit de $A$ : pour tout morphisme d'anneau $A→B$
avec $B$ réduit, il existe un unique morphisme $A_{\red}→B$ à travers lequel
$A→B$ se factorise.
\end{proposition2}

En d'autres termes, le foncteur $A↦A_{\red}$, de la catégorie des anneaux
(commutatifs) vers la catégorie des anneaux (commutatifs) réduits, est un adjoint à gauche du foncteur
d'oubli (inclusion des anneaux réduits dans les anneaux). Alternativement,
l'application injective $A_{\red}^\japmath{田}(B)→A^\japmath{田}(B)$ déduite de la surjection $A↠A_{\red}$
est une bijection si $B$ est réduit.

\begin{démo}
\XXX
\end{démo}

\subsection{Une autre description du nilradical}

\begin{proposition2}\label{red=homeo}
Pour tout anneau $A$, la surjection canonique $A↠A_{\red}$
induit une bijection $\Spec(A_{\red}) ⥲  \Spec(A)$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
D'après \ref{ideaux-quotient}, cela revient à démontrer que tout idéal premier
de $A$ contient $\Nilp(A)$.
Or, si $𝔭∈\Spec(A)$, et $x∈\Nilp(A)$, il existe $n_x∈𝐍$ tel que $x^{n_x}=0∈𝔭$. 
Il en résulte que $x∈𝔭$. CQFD.
\end{démo}

Comme on vient de le voir, la proposition précédente est
équivalente à l'inclusion $\Nilp(A)⊆⋂_{𝔭∈\Spec(A)} 𝔭$. Cette dernière est une égalité :

\begin{proposition2}\label{caracterisation-nilpotents}
Soit $A$ un anneau. 
$$\Nilp(A)=⋂_{𝔭∈\Spec(A)} 𝔭.$$
\end{proposition2}

\begin{démo}
Soit $a$ un élément non nilpotent. D'après le
lemme ci-dessous, l'idéal principal $(1-aT)$ de $A[T]$
est distinct de $A[T]$. D'après le théorème de Krull,
il existe donc un idéal maximal $\MM$ de $A[T]$ contenant
$1-aT$. Observons qu'il ne contient pas l'élément $a$ sans quoi $1$
appartiendrait à $𝔪$. L'image inverse de $𝔪$ dans $A$ est un idéal premier 
de $A$ (cf. \ref{fonctorialite-spectre}), qui ne contient pas $a$ non plus.
\end{démo}

\begin{lemme2}\label{caracterisation-polynomiale-nilpotents}
Soient $A$ un anneau commutatif et $a∈A$.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $a∈\Nilp(A)$ ;
\item $1-aX∈A[X]^×$.
\end{enumerate}
\end{lemme2}

\begin{démo}
L'implication (i)⇒(ii) résulte de l'égalité
« formelle » $(1-aX)\cdot (∑_{i≥0}a^i X^i)=1$ : le terme de droite est un polynôme
si $a$ est nilpotent.

Réciproquement, supposons que $1-aX$ soit une unité de $A[X]$ et notons 
$b₀+b₁X+\cdots+b_rX^r$ son inverse. De l'égalité 
$$
1=(1-aX)(b₀+b₁X+\cdots+b_rX^r)=(-ab_r)X^{r+1}+(b_r-ab_{r-1})X^r+\cdots+(b_i-ab_{i-1})X^i+\cdots+(b₁-ab₀)+b₀,
$$
on tire : $b₀=1$, $a=b₁$ (car $b₁-ab₀=0$), $b₂=ab₁=a²$ (car $b₂-ab₁=0$) et, par
récurrence, $b_i=ab_{i-1}=a^i$ pour $i≤r$. D'autre part, $a^{r+1}=ab_r=0$. CQFD.
\end{démo}

\begin{remarques2}
On trouvera en \refext{Tens}{nilradical} une autre démonstration 
de cette proposition par \emph{localisation} ; elles sont en
fait identiques, au langage près.

Nous introduirons dans un chapitre ultérieur l'anneau $A[[X]]$ des séries formelles à
coefficients dans $A$. 
\end{remarques2}

\subsection{Nil-idéal et idéal nilpotent}

\begin{définition2}
On dit qu'un idéal $I$ d'un anneau est un \emph{nil-idéal} (resp. nilpotent) si tous ses éléments sont
nilpotents (resp. si il existe un entier $N$ tel que $I^N=\{0\}$).
\end{définition2}

Tout idéal nilpotent est donc nil ; la réciproque est fausse en général.
Cependant, on a la réciproque partielle suivante.

\begin{lemme2}\label{Nil+noeth-implique-nilp}
Tout nil-idéal de type fini est nilpotent.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soit $I=a₁A+\cdots+a_rA$ un nil-idéal de type fini d'un anneau $A$.
Par hypothèse, il existe un entier $n$ tel que pour tout $1≤i≤r$, on ait
$a_i^n=0$. Puisque tout élément de l'idéal $I^{rN+1}$ est somme de multiples des
$a_i^N$, l'idéal $I$ est nilpotent.
\end{démo}

\begin{corollaire2}\label{Nilradical-est-nilp}
Le nilradical d'un anneau nœthérien est nilpotent.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
En effet, le nilradical est un nil-idéal par définition — c'est d'ailleurs le
plus grand — ; il est de type fini, comme tout idéal de $A$, si $A$ est nœthérien.
\end{démo}


\begin{exercice2}
Soit $A$ un anneau. Montrer que $\Nilp(A[X])=\Nilp(A)[X]$ :
tout polynôme nilpotent est à coefficients nilpotents, et réciproquement.
\end{exercice2}


\section{Idempotents d'un anneau (I)}\label{idempotents I}

\subsection{Définitions}

\begin{définition2}\label{idempotent}
Un élément $e$ d'un anneau $A$ est dit \emph{idempotent} \index{idempotent}
si $e²=e$. On note $\Idem(A)$ leur ensemble.
\end{définition2}

Si $A$ est un anneau intègre, on a $\Idem(A)=\{0,1\}$.

Il est immédiat que si $e$ est un idempotent, $¬e:=1-e$ l'est également
et que l'on a $e\cdot ¬e=0$. 

\begin{définition2}
Deux idempotents $e,e'$ 
sont dit \emph{orthogonaux} \index{idempotents orthogonaux} si $ee'=0$.
\end{définition2}

\begin{définition2}\label{idempotent indécomposable}
Un idempotent $e$ est dit \emph{décomposable} \index{idempotent décomposable} s'il existe 
deux idempotents non nuls $e₁$ et $e₂$ tels que $e=e₁+e₂$ et $e₁e₂=0$. Dans le cas contraire, il est dit 
\emph{indécomposable}.
\end{définition2}

\subsection{Idempotents et décomposition en produit}

\begin{lemme2}\label{idempotents-produit}
Soient $A$ un anneau \emph{intègre} et $X$ un ensemble \emph{fini}.
Les applications « fonction caractéristique » et « image réciproque de $1$ » 
sont des bijections inverses l'une de l'autre entre 
l'ensemble $𝒫(X)$ des parties de $X$ et l'ensemble $\Idem(A^X)$
des idempotents de l'algèbre des fonctions sur $X$ à valeur dans $A$.
Par cette bijection, les singletons de $𝒫(X)$ correspondent aux idempotents indécomposables
de $\Idem(A^X)$.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soit $\mathbf{1}:𝒫(X)→\Idem(A^X)$ (resp. $S:\Idem(A^X)→𝒫(X)$) l'application envoyant une partie $Y⊆X$ sur sa
fonction caractéristique $\mathbf{1}_Y$ (resp. une fonction idempotente $e:X→A$
sur son support $e^{-1}(1)$). Par définition, $S\mathbf{1}=\Id$. 
Pour montrer que ce sont des bijections inverses l'une de l'autre, il suffit de
vérifier que l'application $\mathbf{1}$ est surjective, \cad que toute fonction
idempotente de $A^X$ ne prend que $0$ et $1$ pour valeurs. Or, si $e$ est une
fonction idempotent, et $x∈X$, l'élément $e(x)∈A$ est idempotent. L'anneau $A$
étant intègre, on a donc $e(x)∈\{0,1\}$. CQFD.

Les décompositions $e=e₁+e₂$ d'une fonction idempotente de $A^X$ 
en idempotents orthogonaux correspondent par la bijection précédente aux
partitions de $S(e)$ en deux parties disjointes. L'énoncé sur les
indécomposables en résulte.
\end{démo}

On verra dans un chapitre ultérieur que les applications définies dans le lemme
sont des isomorphismes d'\emph{algèbres de Boole}.

\begin{lemme2}\label{decomposition-idempotents-orthogonaux}
Soit $A$ un anneau.
\begin{enumerate}
\item Pour tout idempotent $e∈A$, l'addition et la multiplication de $A$ induisent une
structure d'\emph{anneau} sur l'idéal $Ae$, dont l'identité est
$e$. L'application $A→Ae$, $a\mapsto ae$, est un morphisme surjectif d'anneaux.
\item Le morphisme $δ:A→Ae×A¬e$, $a\mapsto (a\cdot e,a\cdot ¬e)$
est un isomorphisme, d'inverse $σ:(a',b')\mapsto a'+b'$.
Plus généralement, si $(e_i)_{i∈I}$ est une famille finie orthogonale d'idempotents
telle que $∑_i e_i=1$, le morphisme $A→∏_i Ae_i$, $a\mapsto (ae_i)_{i∈I}$, est un isomorphisme.
\end{enumerate}
\end{lemme2}

La propriété $∑_i e_i=1$ se traduit parfois en disant que la famille d'idempotents est \emph{complète}.
(On peut y penser comme à une partition de l'unité particulière.)

\begin{démo}
(i) Cela résulte des identités : $(a+b)e=ae+be$ et $(ab)e=(ae)(be)$.
(ii) Puisque $a\cdot e+a\cdot ¬e=a$, on a $σδ=\Id$. Inversement, si $a'=αe$ et
$b'=β¬e$, on a $δσ(a',b')=δ(αe+β¬e)=\big((αe+β¬e)e,(αe+β¬e)¬e\big)=(αe,β¬e)$ car
$e¬e=0$. Ainsi $δσ=\Id$. La démonstration du cas général est identique.
\end{démo}

\subsection{Connexité d'un anneau}

\begin{définition2}\label{définition anneau connexe}
On dit qu'un anneau $A$ est \emph{connexe} s'il possède exactement deux
idempotents.
\end{définition2}

Un tel anneau est alors non nul et ses idempotents sont l'élément neutre $0$ et 
l'unité $1$.

\begin{exercice2}
Montrer qu'un anneau local est connexe.
\end{exercice2}

\begin{lemme2}\label{produit=somme}
Soient $k$ un anneau, $A=∏_i A_i$ un produit fini de $k$-algèbres 
et $B$ une $k$-algèbre \emph{connexe}.
Le morphisme canonique 
$$
∐_i \Hom_k(A_i,B)→\Hom_k(A,B).
$$
déduit des applications $\Hom_k(A_i,B)→\Hom_k(A,B)$ induites
par les surjections $A↠A_i$ est une \emph{bijection}.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soit $e_i=(0,\dots,0,1,0,\dots,0)$, l'élément dont la seule coordonnée non nulle
soit l'unité de $A_i$. Ces éléments sont idempotents, orthogonaux deux-à-deux
et de somme égale à l'unité. Si $φ:A→B$ est un morphisme de $k$-algèbres,
leurs images $f_i=φ(e_i)$ satisfont aux mêmes relations $f_i²=f_i$, $∑_i f_i=1$
et $f_if_j=0$ si $i≠j$, cette fois dans $B$. Puisque $B$ est connexe, 
la relation $f_i²=f_i$ ne peut se produire que si $f_i∈\{0,1\}$. La troisième relation montre qu'il y a au plus
un indice $i∈I$ tel que $f_i≠0$. Enfin, la première montre qu'il y en a au moins
un puisque les $f_i$ ne peuvent être tous nuls. Finalement il existe un unique
$i∈I$ tel que $φ(e_i)=1$. Ainsi, $φ(x)=φ(∑_j xe_j)=φ(xe_i)$.
On en déduit immédiatement que $φ$ se factorise par l'application de
passage au quotient $B↠A_i$. Ceci suffit pour conclure.
\end{démo}

En d'autres termes, l'ensemble des points d'un
produit de $k$-algèbres à valeurs dans une $k$-algèbre \emph{connexe} (par exemple intègre) 
est la réunion disjointes des points des facteurs.

\begin{exercice2}
Montrer que si $A$ est un anneau nœthérien, tout
idempotent de $A$ est une somme d'idempotents indécomposables. En déduire que
tout anneau nœthérien est isomorphe à un produit fini d'anneaux connexes.
\end{exercice2}
\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{bibliographie-livre}
\bibliographystyle{style-bib-livre}
\end{document}
\fi