summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/decorum/plan-bouquin.tex
blob: 59265a7267919d589585f0dd8325ec66d00b7459 (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
\ifx\danslelivre\undefined
\documentclass[9pt]{article}
\usepackage[francais,english]{babel}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphics}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
% A tribute to the worthy AMS:
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{bm}
%
\input{../configuration/formules}
\input{../configuration/ucs_manquants}
\input{../configuration/encoredesmacros}
%

\begin{document}
%\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
\fi
\begin{center}
Plan et avancement
\end{center}
\vskip1cm

\begin{enumerate}


\item ✓ Spectre et idéaux premiers (appendice). \texttt{spectre.tex} [Spec] (F)
\begin{enumerate}
\item Spectre, spectre maximal.
\item Lemme chinois.
\item Nilradical.
\item Idempotents.
\end{enumerate}

\item ✓ Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques. \texttt{extensions-algebriques.tex} [Alg] (F).
\begin{enumerate}
\item Conséquences du lemme chinois.
\item Structures des algèbres de dimension finie sur un corps.
\item Algèbres diagonalisables.
\item Extensions composées (corps de rupture, de décomposition, clôtures algébrique et séparable, corps parfait).
\item Trace et norme. Discriminant ? \XXX
\item Algèbres étales.
\item Théorème de l'élément primitif.
\end{enumerate}

\item Corps finis.  \texttt{corps-finis.tex} [Fin] (D).
\begin{enumerate}
\item ✓ Existence et unicité.
\item ✓ Cyclicité du groupe multiplicatif.
\item Sommes de Jacobi/Gauß ; hypersurfaces diagonales.
\end{enumerate}

\item ✓ Algorithmiques des corps finis. \texttt{algo-corps-finis.tex} [ACF] (D).
\begin{enumerate}
\item Dénombrement des polynômes irréductibles, critères d'irréductibilité.
\item Algorithme(s) de factorisation.
\end{enumerate}

\item ✓ Corps $C₁$. \texttt{corps-c1.tex} [C1] (D).
\begin{enumerate}
\item Définitions.
\item Chevalley-Warning et application aux coniques.
\item Tsen.
\end{enumerate}

\item Correspondance de Galois. \texttt{correspondance-galois.tex} [CG] (F).
\begin{enumerate}
\item ✓ Conjugués d'un élément, extensions normales, galoisiennes.
\item (en cours) ¶ Extension galoisiennes d'anneaux
\item ✓ Groupe de Galois d'un polynôme.  Réduction modulo $p$ (facile).
\item ✓ Correspondance de Galois : le cas fini classique.
\item ✓ Fonctorialité.
\item ✓ $\mathbb{C}$ est algébriquement clos.  Groupe de Galois de $\mathbb{C}/\mathbb{R}$. (F).
\item $\Gal(𝐐(\zeta_n)\bo 𝐐)=(𝐙/n)^×$ via théorème de spécialisation.
\end{enumerate}

\item Calculs de groupes de Galois : exemples. \texttt{exemples-galois.tex} [ExG] (D).
\begin{enumerate}
\item ✓ premiers exemples : équations explicites de petits degré. (D)
\item ✓ Polynômes en $t^2$. (D)
\item Groupe simple à 168 éléments etc. (D)
\end{enumerate}

\item Formes tordues. \texttt{formes-tordues.tex} [formes] (F).
\begin{enumerate}
\item (réécriture en cours) Galois-Grothendieck.
\item ✓ Formes et cohomologie galoisienne.
\item ✓ Hilbert 90.
\item Torseurs.
\end{enumerate}

\item ✓ Algèbres d'Azumaya et groupe de Brauer. \texttt{brauer.tex} [Azu] (F). 
\begin{enumerate}
\item Skolem-Nœther.
\item $\Azu_n=H¹(K\bo k,\PGL_n)$.
\item $\Br=H²$.
\item Théorème de densité de Jacobson ; corps gauches.
\item Norme et trace réduites.
\item Algèbres de quaternions.
\item $\Br(C₁)=0$ ; théorème de Wedderburn : tout corps fini est commutatif.
\end{enumerate}

\item Équations verselles et petits degrés. \texttt{verselles.tex} [versel] (F).
\begin{enumerate}
\item ✓ Extensions de groupe $\mathbf{Z}/2$.
\item ✓ Extensions de groupe $\mathbf{Z}/3$.  Extensions de degré $3$.
\item ✓ Extensions de groupe $V_4$.
\item ✓ Extensions de groupe $\mathbf{Z}/4$.
\item ✓ Extensions quaternioniques.
\item ✓ Théorème de la base normale et $G$-algèbre galoisienne verselle
\item Extension de degré $5$ (théorème d'Hermite)
\end{enumerate}

\item ✓ Algorithmes de calculs. \texttt{calculs-galois.tex} [calculs] (D).
\begin{enumerate}
\item Résolvantes.
\end{enumerate}

\item Notions sur les groupes de permutations. \texttt{groupes-permutations.tex} [permutations] (D).
\begin{enumerate}
\item O'Nan-Scott.
\item Un théorème de Jordan (cf. exponentielle tronquée)
\end{enumerate}

\item Théorie de Galois infinie. \texttt{krull.tex} [Krull] (F).
\begin{enumerate}
\item ✓ Généralités.
\item Équivalence de catégories entre $\mathrm{Rep}_{\mathbb{F}_p}(G_k)$ et $\varphi$-modules étales
si $k$ est un corps de caractéristique $p>0$.
\end{enumerate}

\item Théorie de Kummer et Artin-Schreier-Witt. (F) \texttt{KASW.tex} [KAS]
\begin{enumerate}
\item ✓ Irréductibilité des $X^n-a$. Kummer.
\item ✓ Artin-Schreier.
\item ✓ Vecteurs de Witt.
\item ✓ Artin-Schreier-Witt.
\item Algèbres simples centrales de degré $p^r$.
\item Facultatif : construction d'anneaux de Fontaine.
\end{enumerate}

\item Radicaux, résolubilité, calculs explicites et cyclotomie. (D) \texttt{radicaux.tex} [radicaux]
\begin{enumerate}
\item Résolubilité par radicaux.
\item th. Loewy/Hölder sur la résolubilité par radicaux réels  ; cas des racines de l'unité
\item Calculs explicites en degré $3$. (Y compris \textit{casus irreductibilis}  [cf. partiel 2006 Rosso])
\item Calculs explicites en degré $4$.
\item Constructions à la règle et au compas.
\item Cyclotomie (réduction modulo $p$ des polynômes cyclotomiques, etc.).
\item Facultatif : théorème de Lindemann (énoncer Schanuel), lunules. 
\end{enumerate}


\item $\Omega^1$ \texttt{omega.tex} [Om]
\begin{enumerate}
\item Différentielles de Kähler, construction de $\Omega^1$.
\item Caractérisation différentielle de la lissité.
\end{enumerate}

\item Extensions radicielles et transcendantes. [RT]
\begin{enumerate}
\item Degré de transcendance.
\item Extensions radicielles.  $p$-bases.
\item $p$-algèbres de Lie et théorie de Galois-Jacobson.
\item Algèbres et extensions séparables.  (Critère de MacLane...)
% A_K réduite pour toute K/k. Équivaut à A ⊗ B réd. si B l'est.
\item Extensions régulières, linéairement disjointes.
\item Théorème de Lüroth.  (Version constructive par Schinzel ?)
\end{enumerate}

\item Notions d'algèbre commutative. \texttt{AC.tex} [AC] (F.)
\begin{enumerate}
\item topologie sur $\Spec(A)$
\item foncteur $A↦T(A)$ ; th. de constructibilité de Chevalley. ([Olivier 1978], « Anneau absolument plat universel etc. ».)
\item ✓ Éléments entiers sur un anneau.
\item ✓ Relèvement des idéaux premiers (Cohen-Seidenberg).
\item ✓ Anneaux d'invariants sous un groupe fini.
\item (en cours) Spécialisation du groupe de Galois.
\item Normalisation dans une extension séparable. (Donner un contre-exemple non japonais)
\item théorie de la dimension
\item Lemme de normalisation de Noether.
\item Nullstellensatz, anneaux de Jacobson
\item Complétion ; lemme de Hensel.
\item fonction $\zeta$ d'une algèbre de type fini sur $𝐅_p$ ; sur $\mathbb{Z}$.
\item Conjectures de Weil. Exemple des hypersurfaces diagonales (sur $𝐅_p$)
\item Anneaux (et modules) noethériens et artiniens
\item Fibrations.
\item Applications : connexité de $A(𝐂)$ pour $A$ $𝐂$-algèbre intègre de type fini
et densité des poins algébriques séparables dans un schéma lisse sur un corps.
\end{enumerate}

\item Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind \texttt{AVD-Dedekind.tex} [A(V)D]
\begin{enumerate}
\item définition et caractérisation
\item nombres $p$-adiques ; séries formelles
\item valuation, complétion
\item prolongement, indices de ramification ($e,f ; ef=n$), définition extension modérées etc., différente (+ lien avec $Ω¹$)
\item structure des complets (Witt)
\item polygone de Newton ; Eisenstein (application à un résultat de finitude)
\item Puiseux (théorème et séries de), structure de l'inertie modérée
\item Krasner ; complétude $𝐂_p$.
\item Sous-groupes de ramification ; interprétation « géométrique »
\item Groupe de Galois de l'exponentielle tronquée (dont postulat de Bertrand).
\item Automorphismes de $\mathbb{Q}_p$ sur $\mathbb{Q}$.
\item Corps $p$-adiquement clos.
\item Anneaux de Dedekind : généralités
\item Différente, discriminant et ramification
\end{enumerate}

% Montrer que dans ℤ[X]/(π_x)=ℤ[x], dans le lieu étale (càd ℤ[Δ^-1][x]), on a une description simple et explicite des
% idéaux premiers au-dessus de p. (Via π_x modulo p.)

\item Corps locaux, corps globaux. \texttt{locaux-globaux.tex} [LG]
\begin{enumerate}
\item (esquisse ✓) définition, caractérisation
\item (esquisse ✓) Analyse harmonique locale
\item (esquisse ✓) Adèles et idèles ; lien avec le groupe de Picard etc.
\item théorie géométrique des nombres : théorème des unités, théorème de Minkowski, calculs de volumes
\item finitude du groupe de Picard ; formule dans le cas quadratique
\item (esquisse ✓) Analyse harmonique globale : formule de Poisson-Riemann-Roch
\item (esquisse ✓) Théorème de Riemann-Roch pour les courbes
\item (esquisse partielle) Équations fonctionnelles pour fonctions $L$ de Hecke : la méthode de Iwasawa-Tate.
\item (esquisse ✓) Fonction $\zeta$ de Dedekind ; pôle en $1$.
\item Simple connexité de $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$. Application : groupe de Galois de $X^n - X - 1$.
\item ¶ Hypothèse de Riemann pour les courbes : méthode de Bombieri.
\item fonction $\zeta$ sur $\mathbb{Z}$ de $x^3+y^3+z^3$.
\end{enumerate}

\item Rationalité de la fonction $\zeta$ (Dwork)

\item Frobenius, \v{C}ebotarev. \texttt{Cebotarev.tex} [modp]
\begin{enumerate}
\item Rappels sur la réduction modulo $p$ ; th. de van der Waerden
\item Théorème de Frobenius : énoncé et démonstration
\item Applications
\item Exemples
\end{enumerate}

\item Irréductibilité de Hilbert.
\begin{enumerate}
\item Démonstration à la Puiseux.
\item Démonstration par réduction modulo $p$ [méthode Ekedahl]
\end{enumerate}

\item Platitude et descente \texttt{descente.tex} [descente]
\begin{enumerate}
\item Platitude
\item Descente fidèlement plate : Hilbert 90 à la
Grothendieck et cas radiciel (cf. LNM 389).
\end{enumerate}

\item Actions de groupes et corps d'invariants.
\begin{enumerate}
\item Si $\mathbb{A}^n/G$ est rationnel, alors...
\item Théorème de Fischer.
\item Théorème de Saltman (cf. « Generic polynomials … », 2.6)
\end{enumerate}

\item Corps ordonnés, réel-clos.
\begin{enumerate}
\item Corps ordonnables, ordonnés...
\item théorème de Sturm-Liouville
\item Čebotarev réel ? (p. ex., quelle est la proportion
[si elle existe] des polynômes de degré donné ayant exactement $r$-racines
réelles ?)
\item Groupes de Galois absolus finis (Artin-Schreier).
\item Automorphismes de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{Q}$.
\end{enumerate}

\item Constructions « exotiques » de corps.
\begin{enumerate}
\item Ultraproduits.
\item Séries de Hahn/Mal'cev-Neumann.
\item Séries automatiques, Kedlaya ?
\item Jeux et corps de Conway.
\end{enumerate}

\item Catégories (appendice). \texttt{categories.tex} [Cat] (D).
\begin{enumerate}
\item ✓ Catégories, foncteurs, transformations naturelles. (Exemples, dont
ensembles simpliciaux et nerf d'une catégorie)
\item ✓ Limites, colimites.
\item ✓ Foncteurs représentables, lemme de Yoneda.  (Objets compacts ?)
\item ✓? Adjonctions de foncteurs.
\end{enumerate}

\item Produit tensoriel (appendice). \texttt{produit-tensoriel.tex} [Tens] (D).
\begin{enumerate}
\item ✓ Produit tensoriel de modules.
\item Produit tensoriel d'algèbres. [dont produit tensoriel infini]
\end{enumerate}

\item Ensembles simpliciaux et cohomologie des groupes
(appendice). \texttt{cohomologie-groupes.tex} [Coho] (F).
\begin{enumerate}
\item Ensembles simpliciaux.
\item Cohomologie des groupes finis.
\item Cohomologie continue d'un groupe profini.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\ifx\danslelivre\undefined
\end{document}
\fi