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\begin{lemme2}\label{lim1=0}
Soit $(X_i)_{i∈I}$ un système projectif d'espaces topologiques compacts.
Faisons les hypothèses suivantes :
\begin{enumerate}
\item l'ensemble ordonné $I$ est \emph{filtrant à droite} :
pour toute paire $(i,i')∈I²$, il existe $j∈I$
tel que $i≤j$ et $i'≤j$ ;
\item les morphismes de transitions $π_{ij}:X_j→X_i$ sont \emph{surjectifs}.
\end{enumerate}
Alors, pour tout $k∈I$, la projection canonique $\lim_i X_i→X_k$,
$(x_i)_{i∈I}\mapsto x_k$, est \emph{surjective}.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soit $I_k$ l'ensemble des éléments $i∈I$ tels que $k≤i$ ; 
sous l'hypothèse (i) c'est une partie \emph{cofinale} de $I$ : 
pour tout $i∈I$, il existe $j∈I_k$ tel que $i≤j$. 

\begin{sous-lemme3}
Soient $(X_i)_{i∈I}$ un système projectif filtrant à droite d'espaces topologiques
et $J⊆I$ une partie cofinale. Alors, l'application
de restriction $r_J:\lim_{i∈I} X_i→\lim_{j∈J} X_j$ est un homéomorphisme.
\end{sous-lemme3}

\begin{démo}
Injectivité. Si $x,x'∈\lim_{i∈I} X_i$ et $x≠x'$,
il existe $i∈I$ tel que $x_i≠x'_i$. Soit $j∈J$ tel que $i≤j$.
Nécessairement $x_j≠x'_j$ car $x_i=π_{ij}(x_j)$ (resp. $x'_i=π_{ij}(x'_j)$).
Ainsi $r_J(x)≠r_J(x')$.

Surjectivité. Soient $(y_j)_{j∈J}$ et $i∈I$. Pour tout $j∈J$ tel
que $i≤j$, considérons l'élément $x_i^{(j)}=π_{ij}(y_j)$ de $X_i$. Si $j≤j''$ sont
deux éléments de $J$, il résulte de la formule
$π_{ij''}=π_{ij}π_{jj''}$ que $x_i^{(j)}=x_i^{(j'')}$. D'autre part,
l'ensemble $J$ étant filtrant à droite (car $I$ l'est), toute paire
$(j,j')$ de $J²$ est dominée par un élément $j''$ de $J$.
Il en résulte que $x_i^{(j)}=x_i^{(j'')}=x_i^{(j')}$, de sorte
que $x_i^{(j)}$ est indépendant du choix de $j$. 
Nous le noterons dorénavant $x_i$. Constatons d'ores et
déjà que pour $j∈J$, $x_j=x_{j}^{(j)}=y_j$.
Il reste à vérifier que l'élément $(x_i)_{i∈I}$ de $∏_i X_i$ est compatible. 
Si $i≤i'$, on veut vérifier que $π_{ii'}(x_i')=x_i$.
Considérons $j∈J$ tel que $i'≤j$. Puisque $x_{i'}=x_{i'}^{(j)}$ (resp.
$x_i=π_{i}^{(j)}$), lui-même égal à $π_{i'j}(y_j)$  
(resp. $π_{ij}(y_j)$), on a bien $π_{ii'}(x_i')=x_i$.

Bicontinuité. Par définition de la topologie produit
sur $\lim_{i∈J} X_i$, la continuité de $r_J$ 
est équivalente à la continuité, pour chaque $j∈J$, de l'application composée
$\lim_{i∈I} X_i\sr{r_J}{→}\lim_{i∈J} X_i →X_j$.
Cette application coïncide avec l'application canonique 
$\lim_{i∈I} X_i → X_i$, qui est --- là encore par définition ---
continue. D'autre part, l'application $\lim_J X_j →
X_i$, $(x_j)↦x_i^(j)$ est continue de sorte que
l'inverse de l'application de restriction est également
continu. Par compacité des espaces, on en déduit que
$r_J$ est un homéomorphisme.
\end{démo}

(Le lecteur généralisera sans peine cette démonstration
au cas des limites filtrantes à droite dans des catégories quelconques.)

La surjectivité de l'application $π_k:\lim X_i→X_k$, 
se ramène donc au cas particulier où $k$ est le plus petit élément de l'ensemble
$I$. Soit $x∈X_k$ ; il est fermé car $X_k$ est compact donc séparé. 
La famille des fermés $X'_i=π_{ki}^{-1}(x)⊆X_i$,
munie des restrictions des $π_{ij}$, est un système projectif indexé par 
$I$ qui satisfait la condition (ii). 
On s'est donc ramené à démontrer que le sous-lemme suivant.

\begin{sous-lemme3}
La limite d'un système projectif d'espaces compacts non vides 
est non vide.
\end{sous-lemme3}

\begin{démo}
Soit $F⊆I$ une partie finie, munie de la relation d'ordre induite.
Le sous-ensemble $K_F=(\lim_{i∈F} X_i)×∏_{i∉F} X_i$ de
$∏_{i∈I} X_i$ est \emph{fermé}. Il est d'autre part non
vide car si $j∈I$ majore $F$, et $x_j∈X_j$, la famille des $π_{ij}(x_j)$
est un élément de $\lim_{i∈F} X_i$. Puisque l'ensemble des parties 
finies de $I$ est filtrant à droite pour l'inclusion, et que $F⊆F'$ 
entraîne $K_F⊃K_{F'}$ on en déduit immédiatement que toute
intersection finie de fermés $K_{F}$ est non vide.
D'autre part, l'ensemble $\lim_{i∈I} X_i$ étant
l'intersection des fermés $K_F$ ($F⊆I$, finie),
on a donc $\lim _{i∈I} X_i≠\vide$ car $∏_i X_i$ est
\emph{compact}.
\end{démo}
\end{démo}