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\title{Bouts à déplacer}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Bouts à déplacer}
\fi

\begin{théorème2}\label{second théorème quotient fini}
Soient $B$ un anneau nœthérien réduit et $G$ un groupe fini agissant sur $B$ par
automorphismes. Si $\# G$ est inversible sur $B$, l'anneau
$A=\Fix_G(B)$ est nœthérien et le morphisme $A→B$ est \emph{fini}.
\end{théorème2}

L'hypothèse que $B$ est réduit n'est là que pour simplifier légèrement
la démonstration : le résultat ci-dessus est vrai sans cette
hypothèse.

\begin{démo}
Commençons par montrer que $A$ est nœthérien.
Considérons le morphisme $A$-linéaire $\Tr:B→A$, $x\mapsto \frac{1}{|G|}∑_{g∈G}
g(x)$, parfois appelé « opérateur de Reynolds ». Soient $I$ un idéal de $A$ et
$x∈IB∩A$. De l'égalité $x=\Tr(x)$ on tire immédiatement que
$x∈I\Fix_G(B)=I$. Ainsi, $IB∩A=I$, pour tout idéal $I⊆A$,
l'inclusion opposée étant en effet triviale. On en déduit que l'anneau $A$ 
est nœthérien. 

Démontrons maintenant que $A→B$ est un morphisme fini.

\begin{enumerate}
\item (Réduction au cas d'un produit de corps.) 
Considérons l'ensemble fini $\{𝔭_i\}_{i∈I}$ des idéaux premiers minimaux de $B$.
Pour chaque $i$, $𝔭_i^G$ est un idéal premier \emph{minimal} de $B^G$.
En effet, si $𝔮\subsetneq 𝔭^G$ est un idéal premier, le morphisme
$B/B^G$ étant entier, il existe d'après \ref{relèvement de paires}
une paire d'idéaux premiers de $B$,
$𝔮'⊂𝔭'$ au-dessus de $𝔮⊂𝔭^G$. On peut supposer $𝔭'=𝔭$ car $G$ agit
transitivement sur les fibres de $\Spec(B)→\Spec(B^G)$
(\emph{op. cit.}, n°2, th. 2).

Soit $\Frac{\,B}$ (resp.
$\Frac{\,B^G}$) l'anneau total des fractions de $B$ (resp. $B^G$)·;
c'est un produit de corps dans lequel $B$ (resp. $B^G$) s'injecte,
isomorphe au semi-localisé de $B$ en les $\{𝔭_i\}_{i∈I}$ (resp.
$\{𝔭_i^G\}_{i∈I}$). Soit $S=B-⋃𝔭_i$ ;  on a donc $\Frac{\,B}=S^{-1}B$.
D'après (\emph{op. cit.}, §1, n°1, prop. 23), on a $(S^{-1}B)^G=(S^G)^{-1}B^G$,
de sorte que $(\Frac{\,B})^G=\Frac{\,B^G}$ et
$B⊗_{B^G} \Frac{\,B^G}≅\Frac{\,B}$.

Supposons $\Frac{\,B}$ fini sur $\Frac{\,B^G}$, de sorte qu'il existe d'après
l'isomorphisme précédent un nombre fini $n$ \emph{d'éléments de $B$}, qui engendrent $\Frac{\,B}$
sur $\Frac{\,B^G}$. Observons que l'opérateur $\tr:B→B^G$ définit,
par composition avec le produit, un accouplement $B⊗_{B^G} B→ B^G$
qui est parfait sur les anneaux de fractions :
on se ramène à montrer que si $e_i$ est un idempotent
correspondant au facteur $K_i=\Frac{\,B/𝔭_i}$ de $\Frac{\,B}$, l'élément
$\tr(e_i)$ est non nul ;  il est en effet égal à $\frac{|G_i|}{|G|}$,
où $G_i$ est le stabilisateur de $e_i$.
Les $n$ éléments ci-dessus définissent donc un \emph{plongement} $B^G$-linéaire
de $B$ dans $(B^G)^n$. On peut conclure par nœthérianité.

\item (Réduction au cas, connu, d'un corps.)
Soit donc $B=∏_i K_i$ un produit fini de corps et posons $X=\Spec(B)=∐_i η_i$.
Si $X=X₁∐X₂$, où $X₁$ et $X₂$ sont $G$-stables, $X/G=(X₁/G)∐(X₂/G)$ de sorte
que l'on se ramène immédiatement au cas où $X/G$ est connexe, \cad où l'action
de $G$ est \emph{transitive}. Pour tout $i$, notons $G_i$ le groupe de
décomposition correspondant. D'après le cas classique (cas d'un corps),
$η_i → η_i/G_i$ est fini étale. Il en résulte que le morphisme
$X→ ∐ η_i / G_i$ est fini. Enfin, puisque pour tout $i$,
$η_i/G_i\iso X/G$ (\emph{loc. cit.}, §2, n°2, prop. 4), le résultat en découle.
\end{enumerate}
\end{démo}

\begin{miseengarde2}
Il n'est pas vrai en général que si $B$ est nœthérien
et $G$ fini d'ordre arbitraire, $A=\Fix_G(B)$ est nœthérien. \XXX
\end{miseengarde2}

\ifx\danslelivre\undefined
\end{document}
\fi