summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/divers/vieux/4-chap-Galois.tex
blob: 4e8ccb3d95b25f9aa2bc21065409bbc1dece5386 (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
\chapter{Réduction modulo $p$ : le théorème de Frobenius}

Dans toute cette section on suppose choisies une clôture séparable $\sur{\QQ}$ de $\QQ$
et pour chaque nombre premier $p$ une clôture séparable $\sur{\FF_p}$ de $\FF_p$
Comme dans les chapitres précédents, un polynôme $f\in \QQ[X]$ étant
donné, on notera $X_f$ l'ensemble de ses racines dans $\sur{\QQ}$.

\section{Un résultat liminaire}

Soient $X$ un ensemble fini de cardinal $d$ et $\{d_1,\dots,d_r\}$ une suite 
d'entier positifs de somme égale à $d$. Nous dirons que $\sigma\in \got{S}_X$
est \emph{de type $d_1,\dots,d_r$} si $\sigma$ se décompose en le produit
de $r$-cycles, d'ordres $d_1,\dots,d_r$. (En d'autres termes, l'action de $\sigma$
sur $X$ a $r$ orbites, de cardinaux ces entiers.)

Commençons par un résultat sur les corps finis :

\begin{lmm}\label{cycles tautologiques}
Soit $g=g_1\cdots g_r$ un produit de polynômes irréductibles 
distincts de $\FF_p[X]$, de degrés respectifs $d_1,\dots,d_r$.
L'extension $\FFp(X_g)/\FFp$ est de degré $e=\mathrm{ppcm}_i\, d_i$
et $\FR_p$, vu comme élément de $\got{S}_{X_g}$ est un élément
de type $d_1,\dots,d_r$. 
\end{lmm}

\begin{prp}\label{Dedekind} Soit $f=a_d X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme séparable de degré $d\geq 2$.
Soit $p$ un nombre premier ne divisant pas $a_d$ et supposons que
$$
f\mod p = f_1\cdots f_r \in \FF_p[X],
$$
où les $f_i$ sont irréductibles, distincts et d'ordres respectifs $d_i$.
Alors, il existe un élément $\sigma_p\in G_f\subset \got{S}_{X_f}$
de type $d_1,\dots,d_r$.
\end{prp}

Remarquez que l'on ne suppose pas $f$ irréductible.
Les hypothèses de séparabilité peuvent se résumer en $(p,\mathrm{disc}(f))=1$.

\begin{dfn}
Sous les hypothèses de la proposition, nous dirons que $f \mod p$ est \emph{
de type $d_1,d_2,\dots,d_r$}.
\end{dfn}

\begin{exm}
Soit $f=X^4+3X^2+7X+4\in \ZZ[X]$. On a :
$$
\begin{array}{lll}
f \mod 2 & = & X(X^3+X+1) \\
f \mod 11 & = & (X^2+5X-1)(X^2-5X-4)
\end{array}
$$
Il en résulte que $f$ est séparable, et qu'il existe un $3$-cycle et un 
élément de type $2,2$ dans le groupe de Galois de $f$.
Celui-ci agit donc transitivement sur $X_f$ ce qui est équivalent à dire
que $f$ est irréductible.
\end{exm}

\begin{proof}
Nous avons vu en \ref{spécialisation}, du moins si $a_d=1$, 
que $G_{f\mod p}$ est (non canoniquement)
isomorphe à un sous-groupe de $G_{f}$ ; la conclusion résulte alors
du lemme \ref{cycles tautologiques}\footnote{Le cas général
en résulte en multipliant $f$ par $a_d^{d-1}$ et en posant $Y=a_d X$.}. 
Pour la commodité du lecteur,
voici une autre démonstration (les deux premiers lemmes étant parfaitement
identiques à ceux donnés en \emph{loc. cit.}).
Rappelons (cf. appendice ?), que l'on note $\ZZ_{(p)}$ le localisé
de $\ZZ$ en l'idéal maximal $(p)$. C'est un anneau principal local d'idéal maximal
$(p)$, intégralement clos (\ref{normal}),
que l'on identifiera au sous-anneau de $\QQ$, 
$\{\frac{a}{b} \in \QQ,\, a\in \ZZ, b\in \ZZ-(p)\}$. 
Les racines de $f$ sont entières (\ref{entier}) sur $\ZZ_{(p)}$ car
$a_d$ est une unité de cet anneau.
Notons $A_f=\ZZ_{(p)}[X_f]$ la sous-$\ZZ_{(p)}$-algèbre de $\sur{\QQ}$ 
engendrée par les racines
de $f$. Notons $n$ le degré de l'extension galoisienne $\QQ(X_f)/\QQ$. Les deux premiers
lemmes sont, à la localisation en $(p)$ près, des cas particuliers de \ref{spécialisation}.
\begin{lmm2} Il existe un morphisme $\varphi_p:A_f\ra \sur{\FF_p}$.
\end{lmm2}
\begin{proof}
Un tel morphisme se factorise canoniquement par $A\otimes_{\ZZ}\FF_p\isononcan A_f/pA_f$ qui 
est une $\FF_p$-algèbre entière de type finie 
donc de dimension finie. Si $\MM_p$ est un idéal maximal
de cette algèbre, son corps résiduel est donc fini et s'injecte dans $\sur{\FF_p}$.
L'existence d'un tel idéal maximal revient à montrer que le quotient est non
nul \cad $A_f\neq pA_f$. S'il en était ainsi, on pourrait écrire $pa=1$ pour un $a\in A_f$.
En appliquant la norme $\mathrm{N}_{\QQ(X_f)/\QQ}$ on obtiendrait 
$p^n\cdot (\mathrm{\acute{e}l\acute{e}ment}\in \ZZ_{(p)})=1$, ce qui est absurde.
\end{proof}

\begin{lmm2}
Tout morphisme $\varphi_p:A_f\ra \sur{\FFp}$ induit par 
restriction une bijection $X_f\iso X_{f,p}$,
où $X_{f,p}$ est l'ensemble des racines de $f\mod p$ dans $\sur{\FF_p}$.
\end{lmm2}
\begin{proof}
Comme $f=\prod_{\alpha\in X_f} (X-\alpha)$, $\varphi_p f=f \mod p$
se factorise en $\prod_{\alpha\in X_f} \big(X-\varphi_p(\alpha)\big)$, qui
doit être égal à $\prod_{\beta\in X_{f,p}}(X-\beta)$. Ainsi, $\varphi_p$ induit
une surjection $X_f\surj X_{f,p}$ ; comme $f \mod p$ est séparable, $X_{f,p}$ a
pour cardinal $d$ donc $\varphi_p$ induit bien une bijection.
\end{proof}
\begin{lmm2}Soient $\varphi'_p,\varphi_p:A_f\ra \sur{\FFp}$ deux homomorphismes.
Il existe un unique $\sigma\in G_f$ tel que $\varphi'_p=\varphi_p\circ \sigma$.
\end{lmm2}
\begin{proof}
Si $\sigma\in G_f$, $\sigma:A_f\ra A_f$ induit une permutation de $X_f$ et est caractérisé
par cette dernière. Ainsi, $\varphi_p\circ \sigma\neq \varphi_p\sigma'$ si $\sigma\neq \sigma'$.
Il ne reste donc plus qu'à montrer que 
$$\# \Hom_{\mathrm{alg}.}(A_f,\sur{\FFp})\leq [\QQ(X_f):\QQ]=\# G_f.$$
Pour cela, nous faisons appel au sous-lemme suivant :
\begin{sslmm2}
Soit $f\in \ZZ_{(p)}[X]$ un polynôme à coefficient dominant inversible. 
Alors, $\ZZ_{(p)}[X_f]$
est un $\ZZ_{(p)}$-module libre de rang $[\QQ(X_f):\QQ]$.
\end{sslmm2}
On sait que $\Hom_{\ZZ-\mathrm{alg}.}(A_f,\sur{\FFp})\iso 
\Hom_{\FFp-\mathrm{alg}.}(A_f/p,\sur{\FFp})$ et que ce dernier ensemble est de cardinal
au plus $\dim_{\FF_p}A_f/p$ d'après \ref{nbre points et degré}. Le sous-lemme dit que 
$\dim_{\FF_p}A_f/p=[\QQ(X_f):\QQ]$.
\begin{proof}[Démonstration du sous-lemme]
Le $\ZZ_{(p)}$-module $\ZZ_{(p)}[X_f]$ est de type fini sur $\ZZ_{(p)}$ et 
sans torsion donc libre.
De plus, $\ZZ_{(p)}[X_f]\otimes_{\ZZ_{(p)}} \QQ\sr{\ref{}?}{\isononcan} 
\mathrm{Frac}(\ZZ_{(p)}[X_f])=\QQ(X_f)$
d'où l'égalité des rangs. 
%[CF. PAGE 22 DES NOTES]
\end{proof}
\end{proof}
Partant d'un morphisme $\varphi_p:A_f\ra \sur{\FF_p}$ (et il en existe !), 
on peut en construire un autre 
par composition avec $\FR_p:x\mapsto x^p\in \ga(\sur{\FFp}/\FFp)$. D'après le lemme
précédent, il existe un unique $\sigma_p\in G_f$ tel que 
$\FR_p\circ \varphi_p=\varphi_p \circ \sigma_p$. En d'autres termes,
si $\wp=\ker(\varphi_p)$, $\sigma_p(a)-a^p\in \wp$ pour tout $a\in A_f$.
L'action de $\sigma_p$ sur $X_{f}$ correspond via $X_{f}\sr{\varphi_p}{\iso} X_{f,p}$
au Frobenius agissant sur $X_{f,p}$. La conclusion résulte alors du lemme \ref{cycles
tautologiques}
\end{proof}

\begin{rmr2}
La notation $\sigma_p$ est ambiguë : elle dépend d'un choix de $\varphi_p$.
On peut vérifier que les différentes subsitutions obtenues sont conjuguées
dans le groupe de Galois.
En particulier, si $G_f$ est abélien, la substitution de Frobenius est bien définie.
Par exemple, si $f$ est le polynôme cyclotomique $\Phi_n$, $\sigma_p$, pour $(p,n)=1$,
correspond à $p\in (\ZZ/n\ZZ)^{\times}$.
\end{rmr2}


%[BIZARRE : EN \ref{spécialisation} on n'utilise pas l'hypothèse sur le RANG 
%DE A ?!]

\subsection{Application}

\begin{thm2}[$\got{S}_n$ par réduction modulo $p$]\label{S_n-1}
Pour tout $n\geq 1$, il existe un polynôme unitaire de degré $f\in \ZZ[X]$
de degré $n$ et de groupe de Galois le groupe symétrique $\got{S}_n$.
\end{thm2}

\begin{proof}
Considérons trois polynômes de degré $n$ : 
$f_2\in \FF_2[X]$ le produit d'un terme linéaire et d'une polynôme irréductible, 
$f_3\in \FF_3[X]$ le produit d'un facteur irréductible de degré $2$ et de facteurs
irréductibles de degrés impairs et enfin $f_5\in \FF_5[X]$ irréductible.
L'existence de tels polynômes résulte de \ref{Zêta A^1}. Considérons des relèvements 
unitaires arbitraires $g_2,g_3,g_5$ de ces polynômes à $\ZZ[X]$ et posons
$$f:=15g_2+10g_3+6g_5\in \ZZ[X] ;$$
pour $p\in \{2,3,5\}$, $f \mod p = f_p$.
D'après la proposition précédente (\ref{Dedekind}), le groupe de Galois de $f$
contient donc un $(n-1)$-cycle, un $n$-cycle et le produit d'une transposition
par des cycles d'ordres impairs. Un tel groupe est nécessairement le groupe
symétrique entier (cf. lemme ci-dessous).
\end{proof}

\begin{lmm2}
Soient $n\geq 2$ un entier et $G\leq \got{S}_n$ contenant un $(n-1)$-cycle, 
un $n$-cycle et le produit d'une transposition par des cycles d'ordres impairs.
Alors, $G=\got{S}_n$.
\end{lmm2}

\begin{proof}
Quitte à élever l'élément du troisième type à une puissance impaire, et
renuméroter, on peut supposer que $G$ contient $(12)$. En conjuguant $(12)$ par
le $n$-cycle, on peut obtenir une transposition dont un des deux éléments
est fixe par le $(n-1)$-cycle. Quitte à renuméroter, on peut donc supposer que
$G$ contient $(12)$ et $(234\cdots n)$. Il en résulte que $G$ contient
$(1i)$ pour tout $i\in [2,n]$ et finalement, $G=\got{S}_n$.
\end{proof}

[La remarque ci-dessous devrait être un énoncé, avec
démonstration ; cité en la première page du chapitre
deux.]

\begin{rmr2}
Le lecteur prouvera dans l'exercice \cite{Algebre@Bourbaki}, \textsc{v},\S 12, nº13,
que la proportion des polynômes de $\ZZ[X]$ de degré $n$ fixé et de groupe de Galois
$\got{S}_n$ tend vers $1$ quand les coefficients appartiennent à des intervalles
$[-N,N]$ avec $N\ra +\infty$ (van der Waerden, \osn{1931}).
Cf. \emph{infra} pour un résultat d'irréductibilité.
\end{rmr2}

\subsection{Polynômes irréductibles sur $\FF_p[X]$}

\subsubsection{Fonction Zêta de $\FF_p[X]$}\label{Zêta A^1}
Commençons par la formulation élémentaire.
Soient $q$ une puissance d'un nombre premier $p$, et $\FF_q$ un corps fini
à $q$ éléments. C'est un corps de décomposition sur $\FF_p$ du 
polynôme $X^{q}-X$. Comme il en est également ainsi pour toute puissance 
de $q$, on a, pour tout $n\in \NN$ :
$$
X^{q^n}-X=\prod_{\begin{array}{l} P \ \text{irr\'ed.unit.}\in \FF_q[X]\\ 
\deg\ \text{divisant}\ n \end{array}}   P.
$$
La formule d'inversion de Möbius nous dit que le nombre de polynômes
irréductibles sur $\FF_q$ de degré $d$ est :
$$
N(q^d):=\frac{1}{d}\sum_{d'|d} \mu(d')q^{\frac{d}{d'}}.
$$
Il en résulte que 
$$
N(q^d)>\frac{q^d}{d}(\frac{q-2}{q-1})
$$
En particulier, il existe des polynômes irréductibles de tous degrés sur $\FF_q$.
Plus précisément, 

Soit $$\zeta_{\FF_q[X]}(t)=\prod_{d\geq 1}\big(\frac{1}{1-t^d}\big)^{N(q^d)}=\prod_P 
\frac{1}{1-t^{\deg(P)}}\in 1+t\ZZ\[t\]$$
la fonction zêta de $\FF_p[X]$.

\begin{lmm2}
$$\zeta_{\FF_q[X]}(t)=\frac{1}{1-qt}.$$
\end{lmm2}

Cela résulte de la proposition bien plus générale suivante :

\begin{prp2}
Soit $A$ une $\FF_q$-algèbre de type fini.
\begin{enumerate}
\item Pour tout idéal \emph{maximal} $\wp\in \SP(A)$, l'extension 
résiduelle $(A/\wp) / \FF_q$ est \emph{finie} ; on note son degré $\deg(\wp)$.
\item On a l'égalité :
$$
\zeta_A(t):=\prod_{\wp\in \SP\mathrm{max}.(A)} \frac{1}{1-t^{\deg(\wp)}}=
\exp\big(\sum_{n\geq 1} \#\Hom_{\FF_q}(A,\FF_{q^n})\frac{t^n}{n}\big).
$$
\end{enumerate}
\end{prp2}

Pour toute extension $\FF$ de $\FF_q$, l'ensemble $\Hom_{\FF_q}(A,\FF)$ 
est souvent noté $A(\FF)$ et est appelé l'ensemble des points de $A$ à valeurs
dans $\FF$. En effet, si $A=\FF_q[X_1,\dots,X_N]/(f_1,\dots,f_e)$,
$$\begin{array}{l}
\Hom_{\FF_q}(A,\FF)\ra \FF^N\\
\varphi \mapsto \big(\varphi(X_1),\dots,\varphi(X_N)\big)
\end{array}
$$
induit une bijection entre $\Hom_{\FF_q}(A,\FF)$ et le sous-ensemble
de $\FF^N$ constitué des $N$-uplets solutions des équations 
$f_1=\cdots=f_e=0$.

\begin{proof}
Le premier point est un cas particulier du \emph{Nullstellensatz} de Hilbert \ref{Nullstellen}.
Pour démontrer le second, on calcule : 
$$-t\frac{d\log}{dt}\zeta_A(t)= 
\sum_{d\geq 1} \Big(N(d)d t^d\sum_{r\geq 0} t^{dr}\Big)=\sum_{n\geq 1}
\big(\sum_{d|n} N(d) d\big) t^n,$$
où $N(d)$ est le nombre (fini) d'idéaux maximaux de degré $d$ de $A$.
D'autre part,
$$
-t\frac{d\log}{dt}\exp\big(\sum_{n\geq 1} \#A(\FF_{q^n})\frac{t^n}{n}\big)=
\sum_{n\geq 1} \#A(\FF_{q^n})t^n.
$$
L'égalité des deux séries formelles résulte alors
de l'égalité 
$$
 \#A(\FF_{q^n})=\sum_{d|n} \#\{\wp\in \SP\mathrm{max}.(A), \deg(\wp)=d\}\cdot d,
$$
dont la vérification est laissée en exercice au lecteur.
\end{proof}

\begin{rmr2}
Plus généralement, un théorème de B.~Dwork (\osn{1959}) et A.~Grothendieck (\osn{1963})
affirme que la fonction zêta de toute $\FF_{q}$-algèbre de type finie
est une fonction rationnelle. A.~Grothendieck a également démontré qu'elle
vérifie une équation fonctionnelle et P.~Deligne (\emph{circa} \osn{1974}) a étudié
les zéros et les pôles de ces fonctions (« hypothèse de Riemann sur les corps finis »).
\end{rmr2}

\subsubsection{« Algorithme » de Berlerkamp}\label{Berlerkamp}

\begin{propsansnum}
Soient $f\in \FF_p[X]$ un polynôme séparable de degré $d$
et $A=\FF_p[X]/f$.
Alors, $f$ est irréductible si et seulement si l'application
$\FR_p-\mathbf{1}:A\ra A$, $x\mapsto x^p-x$, est de rang $d-1$.
\end{propsansnum}

Plus généralement, la dimension du noyau donne exactement le nombre
de facteurs irréductibles.

\begin{proof}
En effet, $A$ est un produit de corps correspondants aux facteurs
irréductibles de $f$. Chacun de ces corps contient $\FF_p$ sur lequel
le morphisme de Frobenius agit trivialement. Ainsi, il n'y a qu'un corps
si et seulement si son noyau est de dimension $1$.
\end{proof}

\subsubsection{Irréductibilité générique}

Nous allons montrer que la plupart des polynômes unitaires irréductibles de degré fixé 
sont irréductibles. 

Fixons un entier $d\geq 1$.
Soient $p_1,\dots,p_r$, $r$ nombres premiers distincts. 
Posons 
$$\delta_i:=\frac{\#\{\text{polynômes irréductibles unitaires de degré } 
d \text{ sur } \FF_{p_i}\}}{p_i^d}.$$
Il résulte du théorème de Bézout que la proportion
de polynômes $f=X^d+a_1X^{d-1}+\cdots+a_d\in \ZZ[X]$ satisfaisant
$0\leq a_i<p_1\cdots p_r$ et \emph{réductibles} modulo $p_1,\dots,p_r$
est :
$$
(1-\delta_1)\cdots (1-\delta_r).
$$
Si $p_i\geq 3$, $\frac{p_i-2}{p_i-1}\geq \frac{1}{2}$ donc $\delta_i\geq \frac{1}{2d}$ ;
il en résulte que la proportion de polynômes unitaires réductibles modulo $p_1,\dots,p_r$
et à coefficients strictement inférieurs à $p_1\cdots p_r$ est 
au plus $(1-\frac{1}{2d})^r$. On en déduit aisément la proposition suivante :

\begin{prp2}
$$\frac{\#\{\text{polynômes unitaires de degré } d \text{ de } \ZZ[X], 
\text{ à coefficients dans } [0,N]\} } {N^d} \sr{N\ra +\infty}{\ra} 1.$$
\end{prp2}


\section{Le théorème de Frobenius : énoncés et quelques applications}

\begin{thm}[Frobenius, 1880]\label{thm Frobenius}
Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
Soit $G_f=\ga(\QQ(X_f)/\QQ)\leq \got{S}_{X_f}$ son groupe de Galois.
Soit $\lambda$ une classe de conjugaison de $\got{S}_{X_f}$ \cad
une partition de $d$.
Alors, pour $s>1$ tendant vers $1$,
$$
\sum_{\begin{array}{l} p\ \textrm{tel que}\,f \mod p\\ \textrm{soit de type}\ \lambda \end{array}}
p^{-s} = \frac{g_\lambda}{g}\log(\frac{1}{s-1})+\mathsf{O}(1),
$$
où $g_f=\# G_f$ et $g_{\lambda}$ est le nombre d'élément de $G_f$ de type $\lambda$.
\end{thm}

Bien que nous n'en ferons que fort peu usage, voici une définition
naturelle :

\begin{dfn}
Un ensemble $\mc{P}$ de nombre premiers a pour densité (analytique)
$\delta$ si 
$$
\frac{\sum_{p\in \mc{P}} p^{-s}}{\log(\frac{1}{s-1})}\sr{s\ra 1+}{\longrightarrow} \delta.
$$ 
\end{dfn}

On utilisera de façon essentielle dans la démonstration du théorème, 
que comme on s'y attend, l'ensemble des nombres premiers a pour densité $1$, 
\cad que $\sum_{p} p^{-s}\sim \log(\frac{1}{s-1})$, pour $s\ra 1+$.
Cela sera démontré plus loin \ref{} [À rédiger dans
l'appendice ?].

\begin{crl}
Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
Il existe une infinité de nombre premiers $p$ tel que $f$ modulo $p$ n'a pas
de racine dans $\FFp$.
\end{crl}

On peut également montrer que cet ensemble a une densité  $\geq \frac{1}{d}$,
cf. \cite{Jordan@Serre}.

\begin{proof}
Le polynôme $f$ a une racine dans $\FFp$ si et seulement si, 
la substitution de Frobenius agissant sur les racines dans $\sur{\FFp}$ a un point
fixe. Grâce au théorème, il s'agit de démontrer que $G$ possède un élément agissant
sans point fixe (\cad qui ne soit pas de type $(1,\dots)$).
La formule 
$$
\frac{1}{g}\sum_{\sigma\in G} \#\mathrm{Fix}(\sigma)=\# \mathrm{Orbites},=1\ 
\textrm{par transitivit\'e}
$$
entraîne que $\#\mathrm{Fix}(\sigma)$ ne peut être systématiquement $\geq 1$. En effet,
la contribution égale à $d\geq 2$ de l'identité jointe à ces inégalités larges
entraînerait $\frac{1}{g}\sum_{\sigma\in G} \#\mathrm{Fix}(\sigma)>1$.
\end{proof}

\begin{crl}
Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
Le polynôme $f \mod p$ se décompose totalement pour une infinité de nombre premiers $p$,
de densité $\frac{1}{\# G_f}$.
\end{crl}

Pour un énoncé plus concret, voici :

\begin{crl}
Soit $a\in \ZZ$ un nombre entier qui est un carré modulo $p$ pour tout $p$.
Alors, $a$ est un carré.
\end{crl}

\begin{proof}
Si $X^2-a$ était irréductible (\cad $a$ non carré), $a \mod p$ ne serait
pas un carré pour une infinité de $p$.
\end{proof}

Avant d'aborder la démonstration, voici quelques exemples.

\begin{exms}
\begin{enumerate}
\item $f=X^2+1$. $f$ a une racine modulo $p$ si et seulement si $p\equiv 1\mod 4$.
D'après le théorème c'est le cas pour « la moitié » des nombres premiers. 
(C'est un cas particulier du théorème de Dirichlet.)
\item $f_d=X^d-1$. Son discriminant est $(-1)^{\binom{d}{2}}d^d$.
Voici le type de décomposition de $f_{12}$ modulo $p$, pour $(p,12)=1$.
On note $a^b$ pour signifier qu'il y a $b$ facteurs irréductibles
de degré $a$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{2}{c|}}
\hline
$p\mod 12$ & type de d\'ecomposition \\
\hline
$1$ & $1^{12}$\\
\hline
$5$ & $1^4\cdot 2^4$\\
\hline
$7$ & $1^6\cdot 2^3$\\
\hline
$11$ & $1^2\cdot 2^5$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
On obtient cette table en écrivant $f_{12}=\prod_{d|12} \Phi_d$ ; on sait
que si $o$ est l'ordre de $p$ dans $\ZZ/d^{\times}$, 
chaque $\Phi_d$ modulo $p$ est le produit de $\varphi(d)/o$ polynômes irréductibles
sur $\FF_p$ de degré $o$.

De même, pour $d=10$, la décomposition de $f_{10}=X^{10}-1$ est :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{2}{c|}}
\hline
$p\mod 11$ & type de d\'ecomposition \\
\hline
$1$ & $1^{10}$\\
\hline
$3$ ou $7$ & $1^2\cdot 4^2$\\
\hline
$9$ & $1^2\cdot 2^4$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

En particulier, on remarque que le type de décomposition de $f_d$ modulo $p$ ne permet pas
toujours de retrouver la classe de $p$ modulo $d$. C'est pour cette raison que
le théorème de Frobenius ci-dessus n'entraîne pas le théorème 
de Dirichlet sur les nombres premiers en progression arithmétique.
\end{enumerate}
\end{exms}

\begin{rmr}
Il existe une version plus fine du théorème de Frobenius ci-dessus : le théorème
de \v Cebotarev. Dans ce cas, on étudie les classes de conjugaison de la substitution
de Frobenius non pas dans $\got{S}_{X_f}$ mais dans $G_f$ ce qui est en général 
plus précis. Cette version raffinée distingue les classes $3,7$ ci-dessus.
%[DÉTAILLER]
\end{rmr}

\section{Démonstration du théorème de Frobenius}

\begin{prp}\label{point clé Frob}
Soit $F\in \ZZ[X]$. Notons $n_p(F)$ le nombre de racines de $F$ modulo $p$,
comptés avec multiplicités.
Alors, 
$$
\sum_p n_p(F)p^{-s}\sr{s>1}{=} \big(\# \textrm{facteurs irr\'eductibles de}\ F \textrm{dans}
\ \QQ[X] \big)
\log(\frac{1}{s-1}) + \mathsf{O}(1).
$$
\end{prp}
Ce que l'on résume en :
\begin{quote}
« le nombre moyen de racines est égal au nombre de facteurs irréductibles ».
\end{quote}

%[MULTIPLICITÉ(S)?] (orthographe)

\begin{proof}
Les racines étant comptées avec multiplicités, les termes de gauche et de droite
sont additifs vis-à-vis d'une décomposition de $F$ en produit. On peut donc
supposer $F$ irréductible. Enfin, quitte à multiplier $F$ par une constante et changer
de variable, ce qui ne change $n_p(F)$ que pour un nombre fini de nombres premiers,
on peut supposer $F$ unitaire (cf. démonstration de \ref{Dedekind}), de degré noté $d$.
Posons $A_F=\ZZ[X]/F$, et $K=\mathrm{Frac}(A_F)$.
L'application $\SP(A_F)\ra \SP(\ZZ)$ : $\wp\mapsto \wp\cap \ZZ$ envoie un 
idéal maximal sur un idéal maximal et le cardinal de ses fibres est 
au plus $d$ (cf. \ref{going-up}). Si $p=\wp\cap \ZZ$, on dit que $p$ divise 
$\wp$, noté $p|\wp$. Revenons à notre problème.


Les racines de $F$ modulo $p$ sont en bijection avec les morphismes
$A_F\surj \FF_p$, \cad les idéaux maximaux $\wp$ de $A_F$ tel que $N\wp$
soit un nombre premier $p$. De tels idéaux maximaux sont dit « de degré $1$ »
car en général, $A_F/\wp$ est une extension finie de $\FF_p$ (de degré $\leq d$).
Ainsi, 
$$
Z_F(s):=\sum_p n_p(F)p^{-s}=\sum_{p} \#\{\wp\in \SP\mathrm{max}.A_F, p|\wp\ \textrm{ et } 
N(\wp)=p\}p^{-s},
$$
où $N\wp:=\# A_F/\wp$.
Cette série est  convergente pour $s>1$ : comme
$n_p(F)\leq d$, elle est majorée par $d\zeta_{\ZZ}(s)$,  où 
$\zeta_{\ZZ}=\zeta$ est la fonction de Euler-Riemann qui converge pour $s>1$.
De plus, comme $\zeta(2s)$ est bornée au voisinage de $1$, 
on a 
$$
Z_F(s)=\sum_{\wp\in  \SP\mathrm{max}.A_F} \frac{1}{N\wp^s}+\mathsf{O}(1).
$$ 
En effet, les idéaux premiers de degré $\geq 2$ contribuent au maximum à hauteur
de $d\zeta(2s)$.
En particulier,
le produit
$$
\zeta_{A_F}(s):=\prod_{(0)\neq \wp \in \SP(A_F)} \frac{1}{1-(N\wp)^{-s}}=
\prod_{\wp} \big( 1+(N\wp)^{-s}+(N\wp)^{-2s}+\cdots\big)
$$
est également convergeant pour $s>1$
%\footnote{On rappelle
%que si $a_i\in \RR_{+}-\{1\}$, $i\in \NN$, le produit $\prod_{i\geq 0} \frac{1}{1-a_i}$
%converge vers un nombre réel non nul si
%la série $\sum a_i$ est convergeante.} 
%DONNER RÉFÉRENCE !!! Watson ?
et l'on a :
$$
\log \zeta_{A_F}(s) = Z_F(s)+\mathsf{O}(1).
$$
Soit $\mc{O}_K$ l'ensemble des éléments de $K$ entiers sur $\ZZ$ ; 
c'est un $\ZZ$-module de type fini (\ref{normalisation finie}).
L'inclusion $A_F\ra \mc{O}_K$ induit un isomorphisme par tensorisation par $\QQ$ sur $\ZZ$.
Ainsi (cf. \ref{spectre générique}), à un nombre \emph{fini} de facteurs près, 
$\zeta_{A_F}$ coïncide
avec $\zeta_{\OO_K}(s)=:\zeta_K(s)$, la fonction zêta de Dedekind.
En particulier, 
$$
\log \zeta_{\OO_K}=\log \zeta_{A_F} + \mathsf{O}(1).
$$
La conclusion résulte alors du fait que les fonctions zêta de Dedekind
ont un pôle simple en $1$, cf. \ref{pôle en 1 de Dedekind}.
\end{proof}

La démonstration procède en plusieurs étapes ; partant du polynôme $f$ qui nous 
intéresse, on construit de nombreux polynômes intermédiaires $F$ auxquels
on appliquera finalement la proposition précédente et un peu de théorie des groupes.

\begin{lmm}\label{Frob_1}
Soit $f$ comme en \ref{thm Frobenius}. Choisissons un ordre sur les racines :
$X_f=\{\alpha_1,\dots,\alpha_d\}$ ; on pose $\sous{\alpha}:=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in
\sur{\QQ}^d$. Pour tout sous-groupe  $S\leq \got{S}_d$,
il existe un polynôme $\Psi_{S}\in \ZZ[X_1,\dots,X_d]$ satisfaisant les conditions
suivantes :
\begin{enumerate}
\item Pour $s\in \got{S}_d$, on a l'égalité $s\Psi_S=\Psi_d$ si et seulement si $s\in S$. 
\item $s\Psi_S(\sous{\alpha})\neq s'\Psi_S(\sous{\alpha})$ si $s S\neq
 s' S$.
\end{enumerate}
\end{lmm}

\begin{proof}
Le premier point n'est mis que pour mémoire : d'après le théorème de l'élément
primitif, il existe $\Psi_S$ tel que $\QQ(X_1,\dots,X_d)^{S}=
\QQ(\sigma_1,\dots,\sigma_d)(\Psi_S)$. 
Cherchons $\Psi_S$ de la forme :
$$
\Psi_S(X_1,\dots,X_d)=\prod_{s\in S}(u_0+u_1X_{s(1)}+\cdots+u_d X_{s(d)}),
$$
où les variables $u_i$ seront choisies plus tard dans $\ZZ$. 
Un tel polynôme est bien $S$-invariant.
Le second point entraîne donc le second.
\begin{sslmm2}
Si $sS\neq s'S$, le polynôme $(s\Psi_S)(\sous{\alpha})-(s'\Psi_S)(\sous{\alpha})$,
vu comme élément de $\sur{\QQ}[u_0,\dots,u_d]$, est non nul.
\end{sslmm2}
\begin{proof}
L'anneau $\sur{\QQ}[u_0,\dots,u_d]$ est factoriel et le 
polynômes $u_0+u_1\alpha_{s(1)}+\cdots+u_d \alpha_{s(d)}$ sont irréductibles.
L'égalité $s\Psi_S(\sous{\alpha})=s'\Psi_S(\sous{\alpha})$ entraînerait
$u_0+u_1\alpha_{s(1)}+\cdots+u_d \alpha_{s(d)}=u_0+u_1\alpha_{s'\sigma(1)}+\cdots+u_d 
\alpha_{s'\sigma(d)}$ pour un $\sigma\in S$. Comme les racines sont toutes distinctes,
cela force l'égalité $s=s'\sigma$ \cad $sS=s'S$.
\end{proof}
Les polynômes en $\sous{u}$ $(s\Psi_S)(\sous{\alpha})-(s'\Psi_S)(\sous{\alpha})$ étant non nuls
pour $sS\neq s'S$, et en nombre fini, il existe un élément $\sous{u}\in \ZZ^{d+1}$,
tel que le polynôme $\Psi_S$ correspondant satisfasse la seconde condition du lemme.
\end{proof}

\subsection{}Pour chaque $S\leq \got{S}_d$ choisissons un tel $\Psi_S$ et posons :
$$
f_S:=\prod_{\sigma\in \got{S}_d}\big(X-(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha})\big)\in \ZZ[X].
$$
C'est un polynôme de degré $d!$, qui est la puissance $\# S$-ième de $\tilde{f}_S$,
défini par le même produit mais restreint aux $\sigma$ parcourant 
les représentants de $\got{S}_d/S$ (classes à gauche).
Soient $\Delta=\mathrm{disc}(f)$ et $\Delta_S=\mathrm{disc}(\tilde{f}_S)$ 
leurs discriminants respectifs.
Ils appartienent tous deux à $\ZZ-\{0\}$. Soit $\Sigma_S$ l'ensemble des nombres premiers
divisant $\Delta\Delta_S$. 

Soit $p\notin \Sigma_S$ ;  $f\mod p$ et $\tilde{f}_S \mod p$
sont donc à racines simples dans $\sur{\FFp}$. Choisissons un morphisme $\ZZ[X_f]\ra \sur{\FFp}$
et notons $\{\alpha_{1,p},\alpha_{2,p},\dots,\alpha_{d,p}\}$ 
les images des racines de $f$ par ce morphisme ; ce sont les
racines de $f \mod p$ ; les racines du second sont alors
les $\{(\sigma \Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\}$, pour $\sigma\in \got{S}_d/S$.
Le morphisme de Frobenius $\FR_p\in \ga(\sur{\FFp}/\FFp)$ agit sur les racines de
ces deux polynômes par $\alpha_{i,p}\mapsto \alpha_{i,p}^p$ et correspond à 
une permutation des indices $F_p\in \got{S}_d$. Une racine de $f_S \mod p$ est 
dans $\FFp$ si et seulement si elle est stable par l'action de $\FR_p$, ce que l'on réécrit :
$$
\begin{array}{ll}
(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\in \FFp &\Longleftrightarrow 
\FR_p\big((\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\big)=(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\\
& \Longleftrightarrow (F_p\sigma)\Psi_S(\sous{\alpha}_p)=\sigma\Psi_S(\sous{\alpha}_p)\\
& \Longleftrightarrow \sigma^{-1}F_p \sigma \in S
\end{array}
$$
On en tire :
$$
N_p(f_S)=\{\sigma\in \got{S}_d, \sigma^{-1}F_p\sigma\in S\}.
$$
Prendre garde que ce n'est \emph{pas} le cardinal
de l'intersection $\big\{\textrm{classe de conjugaison de }F_p\big\}\cap S$. Rappelons également
que $f_S$ n'est pas séparable si $S\neq \{1\}$ et 
que les racines ci-dessus sont comptées avec multiplicités.

Notons $\lambda$ le \emph{type} de la permutation $F_p$, $s_\lambda$ le nombre d'éléments
de type $\lambda$ dans $S$, $d!_{\lambda}$ le nombre de tels éléments dans 
$\got{S}_d$ et enfin $s=\# S$. Avec ces notations, l'égalité précédente
se réécrit :
$$
(\star)\ N_p(f_S)=s_{\lambda}\frac{d!}{d!_{\lambda}}.
$$

\subsection{}Soit $g_f$ le cardinal du groupe de Galois $G_f$ de $\QQ(\sous{\alpha})/\QQ$.
Pour tout $S\leq \got{S}_d$, on a un diagramme :
$$
\xymatrix{
\QQ(\sous{\alpha}) \ar@{-}[dd] & \\
&  \QQ(\Psi_S(\sous{\alpha})) \ar@{-}[ul] \ar@/_3ex/[ul]_{G_f\cap S} \\
\QQ \ar@/^3ex/[uu]^{G_f} \ar@{-}[ur] & 
}
$$
En effet, un élément $g\in G_f$ fixe les $\Psi_S(\sous{\alpha})$ si et seulement si 
il appartient à $S$. Ainsi le degré de l'extension $\QQ(\Psi_S(\sous{\alpha}))/\QQ$
est 
$$
c_S:=\frac{g_f}{\#(G_f\cap S)}.
$$
%Rappelons qu'\emph{a priori}, l'inclusion $G_f\hra \got{S}_d$ peut-être stricte : 
%un élément quelconque de $\got{S}_d$ ne correspond pas nécessairement à un automorphisme
%de corps.
Pour $S$ donné, les conjugués (sur $\QQ$) de 
$\Psi_S(\sous{\alpha})$ sont donc au nombre de $c_S$ ; ce sont
des racines de $f_S$ : 
$\sigma_1\Psi_S(\sous{\alpha}),\dots,\sigma_{c_S}\Psi_S(\sous{\alpha})$,
pour des $\sigma_i\in \got{S}_d$ convenables. Pour chaque $\sigma\in \got{S}_d$,
la fonction polynomiale $\sigma\Psi_{S}$ satisfait aux conditions du lemme \ref{Frob_1},
pour le sous-groupe $S_{\sigma}:=\sigma S \sigma^{-1}$ de $\got{S}$.
Notons $$g_{\sigma,S}=\# G_f\cap S_{\sigma}$$ le cardinal de cette intersection.
En vertu de la formule précédente, 
les $\sigma_i\Psi_S(\sous{\alpha})$ sont de degré $\frac{g_f}{g_{\sigma,S}}$
sur $\QQ$. Comme ils sont tous conjugués, on a : $\frac{g_f}{g_{\sigma,S}}=c_S=
\frac{g_f}{g_{e,S}}$.
Finalement, $$g_f=c_S g_{e,S}=\sum_{i=1}^{c_S}g_{\sigma_i,S}.$$
Si l'on somme sur tous les $\sigma\in \got{S}_d$ cette égalité,
on obtient :
$$
\sum_{\sigma\in \got{S}_d} g_{\sigma,S}=m_S g_f,
$$
où $m_S$ est le nombre de facteurs irréductibles de $f_S$.
En regroupant par type :
$$
\sum_{\lambda} 
\underbrace{\sum_{\sigma\in\got{S}_d}\big(\textrm{nombre d'éléments de }S_{\sigma}\cap G_f
\textrm{ de type }\lambda\big)}_{=s_{\lambda} g_{\lambda}\frac{d!}{d!_{\lambda}}}.
$$
où l'égalité sous l'accolade résulte de ce que, si $s_1,\cdots,s_{s_{\lambda}}$ sont
les éléments de $S$ de type $\lambda$ et $g_1,\dots,g_{g_{\lambda}}$
ceux de $G$, pour chaque $\sigma\in \got{S}_d$,
les $\sigma s_i \sigma^{-1}$ sont les éléments de type $\lambda$ dans $S_{\sigma}$
et $\# \{\sigma,\ \sigma s_i \sigma^{-1}=g_j \}=\frac{d!}{d!_{\lambda}}$.

Les égalités précédentes se combinent pour donner :
$$
(\star\star)\ m_S=\frac{d!}{g_f}\sum_{\lambda} \frac{s_\lambda g_{\lambda}}{d!_{\lambda}}.
$$

On a alors les égalités, utilisant \ref{point clé Frob} (« $\zeta(1)=+\infty$ ») :
$$
\begin{array}{ll}
\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s}& \sr{(\star)}{=} 
\sum_{\lambda} s_\lambda \frac{d!}{d!_\lambda}
\big( \sum_p p_{\lambda}^{-s}\big),\\
\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s} & \sr{\zeta(1)=+\infty \& (\star\star)}{=} 
\frac{d!}{g_f} \big(\sum_{\lambda} \frac{s_\lambda g_{\lambda}}{d!_{\lambda}}\big) 
\log(\frac{1}{s-1}) + \mathsf{O}_S(1),
\end{array}
$$
où $\sum_p p_{\lambda}^{-s}$ est la somme sur les $p$ tel que $f\mod p$ soit
de type $\lambda$.
Posons :
$$
\sum_p p_{\lambda}^{-s}=\frac{g_{\lambda}}{g_f}\log(\frac{1}{s-1})+R_{\lambda}(s).
$$
On veut montrer que $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ \cad reste bornée
quand $s\ra 1+$.
Avec ces notations, les égalités précédentes deviennent :
$$
(\star\star\star)_S\ \sum_{\lambda} \frac{s_\lambda}{d!_{\lambda}}R_{\lambda}=\mathsf{O}_S(1).
$$

\subsection{} Jusqu'à présent, le sous-groupe $S$ était fixe. On va utiliser des groupes
variables pour démontrer $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ par récurrence.
Introduisons l'ordre partiel suivant sur les types d'éléments de $\got{S}_d$ :
$$
\lambda'<\lambda \textrm{ si et seulement si les nombres d'orbites correspondants vérifient 
l'inégalité opposée}.
$$
Par exemple, l'élément minimal est le type de l'identité et l'élément
maximal le type d'un $d$-cycle.
Soient $s\in\got{S}_d$ un élément de type $\lambda$ et $S=\langle s \rangle$
le sous-groupe engendré. Compte tenu du fait que $S$ n'a aucun élément
de type $\lambda'>\lambda$ (le nombre d'orbites augmente en élevant à une puissance),
l'égalité $(\star\star\star)_S$ se devient :
$$
\frac{s_\lambda}{d!_\lambda}R_{\lambda}+\sum_{\lambda'<\lambda}(\textrm{idem})=\mathsf{O}_S(1).
$$
Ainsi, grâce à l'hypothèse de récurrence, $R_{\lambda}$ est une combinaison linéaire
de fonctions bornées au voisinage de $1+$. Il ne reste plus qu'à remarquer
que, pour $\lambda_0$ le type de l'identité, $R_{\lambda_0}=\mathsf{O}_{e}(1)$ ; la récurrence
est donc amorcée.
Cela achève la démonstration de \ref{thm Frobenius}, modulo la démonstration 
du pôle simple $1$ des fonctions $\zeta$ de Dedekind, donnée en \ref{pôle en 1 de Dedekind}.