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\chapter{Méthodes adiques}

%[ILLUSTRATION DE KATO ! ENFANTS ET NOMBRES $p$-adiques.]
%[INTRO]

\section{Préliminaires}

Bien que nous soyons principalement intéressés par les nombres $p$-adiques, nous commençons
par une section générale, qui nous permettra de considérer également des anneaux plus
« géométriques » que $\ZZ$, comme $\QQ[t],\FFp[t]$. Certains détails sont laissés
en exercice au lecteur. 

%[RÉFÉRENCES]

\subsection{Complétion : définitions}

Si $A$ est un anneau et $\MM_A$ un idéal maximal, pour tout $n\in \NN$, 
nous notons $A_n$ le quotient $A/\MM_A^{n+1}$. Pour $n=0$, c'est le \emph{corps résiduel}
de $A$, \cad $A/\MM_A$. Pour chaque $n\in \NN$, on dispose 
d'applications surjectives naturelles :
$\pi_{n+1,n}:A_{n+1}\surj A_n$ envoyant $x \mod \MM_A^{n+2}$ sur $x \mod \MM_A^{n+1}$ ainsi que
de la surjection évidente $\pi_n:A\surj A_n$. 

Supposons que  $A$ soit une $S$-algèbre et soit $f\in S[X_1,\dots,X_n]$. 
Si l'équation $f=0$ a une solution (à coefficients) dans $A$, elle en a 
nécessairement, par réduction, une dans chaque $A_n$. Considérer les $A_n$ permet
de définir des conditions nécessaires à l'existence de solution à des équations.
%À virer probablement.
%\begin{exm2}
%L'équation $y^2=tX^3+t$ n'a pas de solution dans $\QQ[t]$ car elle n'en a pas
%dans $\QQ[t]/t^2$ (alors qu'elle en a dans $\QQ[t]/t=\QQ$). 
%De même l'équation [...] n'a pas de solution dans $\ZZ$
%car elle n'en a pas dans $\ZZ/2^2$ (alors qu'elle en a dans $\ZZ/2$).
%\end{exm2}
On souhaiterait également que les $A_n$, pour $n$ croissant, forment une approximation
de plus en plus fine de $A$. Le moins que l'on puisse demander est que
ces approximations successives suffisent pour distinguer deux éléments de $A$,
\cad\footnote{Puisque l'on est dans un groupe additif, on peux supposer que
le second élément est l'élément nul.} que pour 
tout $a\neq 0$ dans $A$, il existe $n\gg 0$ tel que $\pi_n(a)\neq 0$.
Cela revient à supposer que  $$\cap_{n\geq 0} \MM_A^n=(0).$$
On définit une topologie sur $A$ de la façon suivante :
les ouverts sont les sous-ensembles $U$ de $A$ tels que pour tout $u\in U$,
il existe $n\geq 0$ tel que $u+\MM_A^{n+1}\subset U$. On peut donc mesurer
la petitesse d'un élément par la fonction 
$$\begin{array}{l}
v_{\MM_A}:A\ra \NN\cup \{+\infty\}\\
a\mapsto \max\{n\in \NN,\ a\in \MM_A^{n}\}
\end{array}
$$
Pour $a,a'\in A$, on a $v(aa')\geq v(a)+v(a')$ et $v(a+a')\geq \min\{v(a),v(a')\}$.  

L'hypothèse  $\cap_{n\geq 0} \MM_A^n=(0)$ est équivalente 
au fait que $v(a)=+\infty$ (\cad $a$ est aussi petit que possible) si et seulement si $a=0$.
Cela est également équivalent au fait que $A$ soit \emph{séparé} pour cette topologie,
dite $\MM_A$-\emph{adique} ; en particulier, les limites, si elles existent,
sont alors uniquement définies. De façon équivalente,
$$
\begin{array}{l}
A\ra \prod_n A_n\\
a \mapsto \big(\pi_n(a)\big)_n
\end{array}$$
est \emph{injective}.

Comme on le constate si $A$ est un corps, l'anneau de droite est très gros comparé à 
$A$. Plus précisément, 
l'image de $A$ n'est pas dense pour la topologie produit, où chaque $A_n$ est muni 
de la topologie quotient, qui est discrète. 
Ainsi, afin également de traduire l'idée d'« approximation successive », 
on considère le sous-anneau $\widehat{A}$ de $\prod_n A_n$,
constitué des suites « cohérentes », pour lesquelles 
l'élément au cran $n+1$ relève l'élément au cran $n$. 
En symboles :
$$
\widehat{A}:=\{(a_n)_{n\geq 0}\in \prod_n A_n, \pi_{n+1,n}(a_{n+1})=a_n\}.
$$
(Le terme de droite s'écrit aussi $\lim_n A_n$ : c'est la limite
du système \emph{projectif} des $\pi_{n+1,n}:A_{n+1}\ra A_n$.)
Le morphisme diagonal $A\ra \prod_n A_n$ se factorise naturellement à travers 
l'injection $\widehat{A}\hra \prod_n A$ en le morphisme canonique :
$$
A\ra \widehat{A},
$$
qui fait de $\widehat{A}$ une $A$-algèbre ; c'est également l'adhérence
de l'image de $A$ dans $\prod_n A_n$. L'anneau $\widehat{A}$ est appelé
le \emph{séparé-complété} en $\MM_A$ de $A$ ; cette appellation étant conforme
à l'usage qui en est fait en topologie compte tenu des remarques précédentes.
Si $A$ est séparé pour la topologie $\MM_A$-adique, $A\ra \widehat{A}$ une injection ; on dit 
qu'il est \emph{complet} pour cette topologie, si c'est une surjection.
Remarquons que le critère de Cauchy pour s'assurer de la convergence d'une suite 
est très simple : si $A$ est complet, $(x_i)_{i\geq 0}$ est convergente
si et seulement si $(x_{i+1}-x_i)$ tend vers zéro. 

Un élément $(a_n)$ de $\widehat{A}$ est inversible si et seulement si $a_0\in A_0=A/\MM_A$
est non nul. En effet, chaque $A_n$ est local d'idéal maximal 
$\MM_AA_n$ de sorte que si $a_0\neq 0$, $a_n\in A_n^{\times}$ pour tout $n\in\NN$.
L'unicité de l'inverse force le système des $(a_n)^{-1}$ à être cohérent.
Ainsi, $\widehat{A}$ est \emph{local}\footnote{Rappelons \ref{1.1} 
qu'un anneau \emph{local} est 
un anneau dans lequel il existe un seul idéal maximal, qui
est alors le complémentaire de l'ensemble des éléments inversibles.} 
d'idéal maximal le noyau de $\widehat{A}\surj A/\MM_A$, noté $\MM_{\widehat{A}}$.
On a donc $\widehat{A}/\MM_{\widehat{A}}\iso A/\MM_A$ et $\MM_A\widehat{A}\subset 
\MM_{\widehat{A}}$.

Si l'on suppose $A$ \emph{noethérien}, d'après le lemme
de Nakayama (\ref{Nakayama}), pour tout idéal maximal $\MM_A$,
$A$ est séparé pour la topologie $\MM_A$-adique. 
D'après \ref{complété-cas noethérien}, $\widehat{A}$ est plat
sur $A$ et $\MM_{\widehat{A}}=\MM_A \widehat{A}$.
On s'intéressera essentiellement au cas où $A$ est (intègre) principal,
par exemple $\ZZ$ ; dans ces cas particulier, on peut donner 
une démonstration élémentaire directe de ces résultats (cf. par exemple
\cite{Cours@Serre}). 


\subsection{Nombres $p$-adiques, séries formelles et anneaux
de valuation discrète} 
Appliquons la construction précédentes aux anneaux $\ZZ$ et $k[t]$ ($k$ un corps). 
On note $\ZZ_p$ le complété en $(p)$ de $\ZZ$ et, pour tout anneau $k$,
$k\[t\]$ le complété de $k[t]$ en $(t)$. On les appelle respectivement 
\emph{anneau des entiers} $p$-\emph{adiques} et \emph{anneau des séries 
formelles}\footnote{On pensera un élément de $k\[t\]$ comme une expression
$\sum_{i\in\NN} a_i t^i$, où les $a_i$ appartiennent à $k$, le produit étant
défini comme pour les polynômes. Insistons sur le fait qu'aucune condition
n'est imposée sur les coefficients (d'où l'adjectif « formel ») ; l'anneau
$k$ n'ayant pas de structure supplémentaire (topologie, etc.), c'est bien naturel.}
sur $k$. 
Ces anneaux sont locaux, complets (comme c'est le cas en toute généralité)
mais aussi, si $k$ est un corps pour le second, intègres et principaux. 
%[p.21 ...]
Un \emph{anneau de valuation discrète} (avd en abrégé) est un anneau principal intègre ayant un
unique idéal premier non nul. Dans un tel anneau, si $\pi$ est un générateur
de l'idéal maximal, tout élément $a\in A-\{-0\}$ s'écrit de façon unique 
$a=u\pi^r$ où $u\in A^{\times}$ est une unité et $r\in \NN$. Cet entier,
qui coïncide avec l'entier $v_{\MM_A}(a)$ introduit plus haut est la \emph{valuation}
de $a$. Dans le cas d'un anneau de valuation discrète, on a égalité
$v(aa')=v(a)+v(a')$. Un générateur de l'idéal maximal est appelé une \emph{uniformisante}.
Deux uniformisantes différent par la multiplication par une unité.

Les anneaux $\ZZ_p$ et $k\[t\]$, pour $k$ un corps,  sont 
des anneaux de valuation discrète ; 
on note $\QQ_p$ et $k((t))$ leurs corps des fractions : le corps 
des nombres $p$-adiques (resp. le corps des \emph{séries de Laurent} formelles).
On étend la valuation à $\ZZ\cup \{+\infty\}$ par $v(ab^{-1})=v(a)-v(b)$ ($b$ non nul),
ce qui est indépendant des choix. On procède de même pour tout avd $A$. Le sous-anneau
$A$ de $K=\mathrm{Frac}(A)$ est alors l'ensemble des éléments de $K$ de valuation positive.

Pour faire un pas de plus en direction de l'analyse, faisons la définition suivante :
\begin{dfn2}
Soit $K$ un corps. On appelle \emph{valeur absolue} sur $K$ toute application
$|\cdot | : K\ra \RR_{+}$ satisfaisant les trois conditions
suivantes, pour chaques $x,y\in K$ :
$$
\left\{ \begin{array}{l}
|x|=0 \Longrightarrow x=0\\
|xy|=|x||y|\\
|x+y|\leq |x|+|y|
\end{array} \right.
$$
Elle est dite \emph{non archimédienne} si pour $|x+y|\leq \max\{|x|,|y|\}$ ;
de façon équivalente, $\{|n|,n\in \ZZ\}\subset \RR $ est borné.
\end{dfn2}
À chaque corps valué $(K,|\cdot|)$, on associe une topologie métrique sur $K$ par
$d(x,y)=|x-y|$.
Si la valeur absolue est non archimédienne, la boule unité fermée 
$A_K:=\{x\in K, |x|\leq 1\}$ est un sous-anneau de $K$ ; c'est aussi 
l'ensemble des $x\in K$ tel que l'ensemble $\{x^n, n\in \NN\}$ est borné.

\begin{exms2}
Pour chaque corps $K$, la fonction valant $0_{\RR}$ en $0_K$ et $1_{\RR}$ ailleurs
est une valeur absolue dite \emph{triviale}, notée $|\cdot|_{\mathrm{triv}.}$. La topologie
correspondante sur $K$ est la topologie discrète.\\
Les corps $\QQ,\RR,\CC$ munis de la valeur absolue usuelle $|\cdot|_{\infty}$ 
sont des corps valués.
Pour chaque anneau de valuation discrète $A$, et tout nombre réel $0<c<1$, la formule
$|a|:=c^{v(a)}$ pour $a\in \mathrm{Frac}(A)^{\times}$, étendue à $0_{\RR}$ en $0_A$, définit
une valeur absolue non archimédienne. En particulier, les corps $\QQ_p$ et $k((t))$ sont 
naturellement valués. La valuation de $\QQ_p$ est souvent normalisée de sorte
que $|p|=p^{-1}$ (\cad $c=p^{-1}$). Par restriction à $\QQ\hra \QQ_p$ on en déduit
une valeur absolue sur $\QQ$\footnote{Signalons pour le lecteur curieux le fait suivant,
dû à Ostrovsky : à \emph{équivalence près} les seules valeurs absolues de $\QQ$ sont
les $|\cdot|_p$ ($p$ premier), $|\cdot|_{\infty}$ et $|\cdot|_{\mathrm{triv}.}$.
On dit que deux valeurs absolues sont équivalentes si elles définissent les mêmes
topologies. On peut montrer que cela revient à supposer qu'il existe une constante
$c\in \RR^{\times}_{+}$ telle que l'on passe de l'une à l'autre par élévation à la puissance
$c$.}.
\end{exms2}
%[p.22 Ostrovsky : en exercice !]
Revenons à la théorie de Galois.

\subsection{Théorie de Galois et localisation}

Soient $K/\QQ$ une extension galoisienne et $p$ un nombre premier. 
Suivant \ref{fonctorialité}, on forme le diagramme :
$$
\xymatrix{
K \ar@{-}[r] & K\QQ_p \\
\QQ \ar@{-}[r] \ar@{-}[u] & \QQ_p \ar@{-}[u] }
$$
où $K\QQ_p=:K_p$ est une extension composée. Concrètement, si $K/\QQ$ est le corps
de décomposition d'un polynôme $f\in \QQ[X]$, $K_p$ est un corps 
de décomposition de $f$ vu comme polynôme dans $\QQ_p[X]$. Abstraitement,
$K_p$ est un quotient de l'algèbre $K\otimes_{\QQ} \QQ_p$.
On a déjà vu en \emph{loc. cit.} qu'un tel diagramme induit une injection
$$\ga(K_p/\QQ_p)\hra \ga(K/\QQ).$$
De même qu'en \ref{Dedekind}, on souhaite utiliser ces sous-groupes $\ga(K_p/\QQ_p)$ pour
en déduire une information, autrement difficile à obtenir, sur $\ga(K/\QQ)$.

On aimerait que la structure supplémentaire de corps (discrètement) valué complet
sur $\QQ_p$, qui ouvre la voie vers des méthodes plus analytiques, nous permette
d'étudier $\ga(K_p/\QQ_p)$. À cette fin, il est raisonnable d'espérer munir $K_p$
d'une valeur absolue ou d'une valuation. Cela est possible en vertu du théorème suivant :

\begin{thm}\label{normalisation avd}
Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions $K$
et $L/K$ une extension finie séparable. Alors, la clôture intégrale $B$
de $A$ dans $L$ est libre de rang $[L:K]$ sur $A$ et est un anneau de valuation 
discrète complet. Il existe un entier $e\geq 1$ divisant $[L:K]$ tel que 
la valuation $v_B$ restreinte à $A$ soit égale à $\frac{1}{e}v_A$.
\end{thm}

Nous allons démontrer ce théorème dans la (longue) section suivante ; 
nous y comblons aussi quelques lacunes précédentes (par exemple dans la 
démonstration de \ref{point clé Frob}) et généralisons quelques énoncés
(\ref{structalgdimfinie} en \ref{décomposition algèbre artinienne} par exemple).
Le lecteur en trouvera une démonstration plus courte mais dans un esprit
différent dans \cite{CL@Serre}, chap.~\textsc{ii}, \S~2.

\section{Un peu d'algèbre commutative}

Tout d'abord, remarquons que si l'on applique le procédé du théorème \ref{normalisation avd} 
à une extension triviale, on a $A\iso B$ ; en d'autres termes :

\begin{lmm}\label{avd=normal}
Un anneau de valuation discrète est normal.
\end{lmm}

Cela montre également que l'anneau de valuation discrète $B\leq L$ que nous
cherchons doit être intégralement clos : il doit donc contenir la normalisation de $A$. 

\begin{proof}
Soient $A$ un tel anneau, $K$ son corps des fractions et $x\in K$ entier sur $A$ : 
il existe $n\geq 1$, $a_0,\dots,a_{n-1}\in A$ tels que 
$$
x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_0=0.
$$
Supposons $v(x)<0$. Dans ce cas, pour $0\leq i \leq n-1$, 
$v(a_ix^i)\geq v(x^i)\geq v(x^{n-1})=(n-1)v(x)$. Ainsi, 
$$
v(a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_0)\geq (n-1)v(x).
$$
Pourtant le terme de droite, $x^{n}$ a une valuation strictement plus petite. Contradiction.
\end{proof}

Ce genre d'argument sera grandement amplifié en \ref{polygone de Newton}.

\begin{lmm}
Soient $A\subset B$ deux anneaux de valuation discrète de même corps des fractions. Alors,
$A=B$.
\end{lmm}
\begin{proof}
Commençons la démonstration sous la seule hypothèse que $A$ et $B$ 
satisfont les propriétés suivantes : il s'agit d'anneaux \emph{intègres}
tels que si un élément n'est pas dans l'anneau, son inverse, dans son corps
des fractions, est dans l'anneau.  
Ce sont ce qu'on appelle des \emph{anneaux de valuation}. L'ensemble
des idéaux d'un tel anneau est totalement 
ordonné (exercice). En particulier, un anneau de valuation est local.
Soit $K$ le corps de fractions de $A$ ; c'est aussi celui de $B$.
Soit $0\neq m_B\in \MM_B$ ; son inverse $m_B^{-1}$ n'appartient pas à $B$ et \emph{a fortiori}
pas à $A$. Donc $m_B\in A$, et finalement $\MM_B\subset \MM_A$.
(On dit dans ce cas que le morphisme $A\ra B$ est \emph{local} : 
$\SP(B)\ra \SP(A)$ envoie l'idéal maximal sur l'idéal maximal.)
Montrons maintenant que $\MM_B$ est un idéal premier de $A$.
Soient $a,a'$ dans $A$ tels que $aa'\in \MM_B$. Un élément de $B-\MM_B$
est une unité de $B$ donc si ni l'un ni l'autre de ces éléments n'est dans $\MM_B$,
ils sont tous deux inversibles dans $B$, de même que leur produit ; absurde.


Comme $A$ est un anneau de valuation \emph{discrète}, son seul
idéal premier non nul est $\MM_A$. Ainsi, $(0)\neq \MM_B=\MM_A$.
Or un anneau de valuation est déterminé par son corps des fractions 
et son idéal maximal : $A=\{x\in K^{\times}, x^{-1}\notin \MM_A\}\cup \{0\}$,
et $B=A$.
\end{proof}

\begin{prp}\label{normalisation finie}
Soit $A$ un anneau \emph{normal} noethérien de corps des fractions $K$.
Soient $L/K$ une extension finie \emph{séparable} et $B$ la normalisation 
de $A$ dans $L$. Alors, $B$ est un $A$-module de type fini.
\end{prp}

Si $A$ est un anneau de valuation discrète (donc normal, \cad intègre, 
et intégralement clos et noethérien cf. \ref{normal} et \ref{avd=normal}), le $A$-module 
$B$ étant sans torsion, il est 
également \emph{libre} (de type fini).

Nous ferons un usage essentiel de la proposition suivante :

\begin{prp}\label{trace non dégénérée}
Soit $L/K$ une extension finie séparable. L'accouplement défini par la trace
$$
\begin{array}{l}
L\otimes_K L \ra K\\
x\otimes y \mapsto \mathrm{Tr}_{L/K}(xy)
\end{array}
$$
est \emph{non dégénéré} : l'application $K$-linéaire
$$
\begin{array}{l}
L\ra \Hom_{K-\mathrm{lin}.}(L,K)\\
x\mapsto \mathrm{Tr}_{L/K}(x\cdot)
\end{array}
$$
est un isomorphisme.
\end{prp}

La réciproque est également vraie, cf \ref{trace-étale}.
L'accouplement est non dégénéré si et seulement si, pour
tout $x\in L$ non nul, il existe $y\in L$ tel
que $\TR(xy)\neq 0$. C'est équivalent à la \emph{surjectivité} de la trace.
Puisque $\TR_{L/K}(1)=[L:K]\cdot 1$, seul le cas de la caractéristique
positive peut poser problème.


\begin{proof}
Soit $K\sep$ une clôture algébrique de $K$. 
Il suffit de montrer que l'application $K\sep$-bilinéaire
$$\big(L\otimes_K L\sr{\mathrm{Tr}_{L/K}}{\ra} K\big)\otimes_K K\sep=
(L\otimes_K K\sep)\otimes_{K\sep} (L\otimes_K K\sep)\sr{\mathrm{Tr}_{L_{K\sep}/K\sep}}{\ra}
K\sep$$
est non dégénérée.
Dans ce cas, qui est « décomposé » car $L\otimes_K K\sep \iso_{K\sep} {K\sep}^{X}$ 
($X=\Hom_{K}(L,K\sep)$), la situation est simple : l'accouplement
correspond à 
$$\begin{array}{l}
{K\sep}^{X}\otimes_{K\sep} {K\sep}^{X}\ra K\sep\\
(x_i)\otimes (y_i)\mapsto \sum_{i\in X} x_i y_i
\end{array}$$
Ce dernier est bien non dégénéré.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de \ref{normalisation finie}]
Puisque $A$ est normal, $\TR_{L/K}(B)\subset A$ : la trace d'un élément de $b$
appartient à $K$ et est algébrique sur $A$. Pour tout $A$-sous-module $M$ de $L$,
notons $M^{\star}$ le $A$-module 
$\{x\in L, \TR_{L/K}(xM)\subset A\}$. Ainsi, $B\subset B^{\star}$.
Si $M$ est un $A$-module libre de type fini, $M^{\star}$ l'est également
par non dégénérescence de la trace.
Soient $d=[L:K]$ et $e_1,\dots,e_d$ une base de $L$ sur $K$ ; puisque
$KB=L$, on peut supposer ces éléments dans $B$. On a donc :
$$
\oplus_1^d Ae_i \subset B \subset B^{\star} \subset \big(\oplus_1^d Ae_i\big)^{\star}.
$$
Le terme de droite est (libre) de type fini ; $B$ est donc également de type fini.
CQFD.
\end{proof}
Remarquons que $B$ est également noethérien donc normal.

\begin{rmr}
Si $A$ est un anneau local noethérien complet, la conclusion de la proposition
tient encore même si $L/K$ n'est pas séparable (Nagata~M.). 
%Mettre en japonais (de même que les noms russes etc.)
On dit, suivant A.~Grothendieck,
qu'un tel anneau est \emph{japonais}. Pour vérifier qu'un anneau est japonais,
il suffit de démontrer la proposition précédente pour $L/K$ radicielle.
\end{rmr}


Poursuivons par quelques lemmes.
Ce premier lemme est un des points de départ de la théorie de la dimension
des anneaux commutatifs.

\begin{lmm}\label{entier sur corps}
Soit $A\subset B$ deux anneaux. Supposons $B$ entière sur $A$ et intègre.
Alors, $A$ est un corps si et seulement si $B$ est un corps.
\end{lmm}
\begin{proof}
Si $B$ est un cors et $0\neq a\in A$, $a^{-1}\in B$ et est entier sur $A$.
Il en résulte que $(a^{-1})^n+a_{n-1}(a^{-1})^{n-1}+\cdots+a_0=0$ où les coefficients
sont dans $A$. En multipliant cette égalité par $a^{n-1}$, on voit que $a^{-1}\in A$.
Réciproquement, si $A$ est un corps, et $0\neq b\in B$, la sous-algèbre $A[b]$ de $B$
est intègre et de type finie sur le corps $A$. C'est donc un corps. En particulier,
$b$ est inversible dans $A[b]$ et \emph{a fortiori} dans $B$.
\end{proof}

Commençons notre brève étude des fibres de $\SP(B)\ra \SP(A)$ dans le
cas où $A$ est local.
Rappelons (\ref{spectre quotient}) qu'en toute généralité, la fibre en 
$\wp_A$ de ce morphisme s'identifie canoniquement avec $\SP(B/\wp_AB)$.

\begin{lmm}\label{going-up1}
Soient $A$ un anneau local d'idéal maximal $\MM_A$ et $B$ une $A$-algèbre finie.
L'application $$\SP(B/\MM_AB)\ra \SP\max(B)$$ est une bijection :
un idéal premier de $B$ qui est maximal contient l'idéal $\MM_AB$ et réciproquement.
En conséquence, l'ensemble des idéaux maximaux de $B$ est fini, de cardinal inférieur
à $dim_{A/\MM_A} B\otimes_A A/\MM_A$ et 
$\MM_B$ appartient à l'image de $\SP(B)\ra \SP(A)$.
\end{lmm}
\begin{proof}
Comme $B/\MM_AB$ est une $A/\MM_A$-algèbre \emph{finie}, son spectre est également fini
(cf. \ref{structalgdimfinie}).
Vérifions la première assertion.
Soit $\wp$ un idéal maximal de $B$ ; le quotient $B/\wp$ est un corps.
Si $N$ est le noyau de $A\ra B\surj B/\wp$, on a $A/N\hra  B/\wp$ et $B/\wp$ est
fini sur $A/N$.
D'après le lemme précédent, les quotient $A/N$ est donc un corps ; comme $A$ est local,
$N=\MM_A$ et finalement $\MM_AB\subset \wp$. On montre de même que si $\wp_B$ est maximal,
il contient $\MM_A$.
\end{proof}

Pour $B/A$ comme dans \ref{entier sur corps}, 
le morphisme $\SP(B)\ra \SP(A):\wp_B\mapsto \wp_B\cap A$
n'est pas injectif en général. Dans la proposition suivante, nous allons voir 
qu'il résulte du lemme \ref{entier sur corps} qu'il est strictement croissant au sens suivant
et du lemme \ref{going-up1} qu'il est surjectif.

\begin{lmm}\label{going-up}
Soient $B$ un anneau et $A$ un sous-anneau sur lequel $B$ est entier.
\begin{enumerate}
\item $\SP(B)\ra \SP(A)$ est surjectif.
Si $B$ est libre de rang $d$ sur $A$, le cardinal des fibres
est au plus $d$,
\item si $\wp_B\subsetneq \wp_B'$ sont deux idéaux premiers distincts de $B$,
$\wp_B\cap A\neq  \wp'_{B}\cap A$.

\end{enumerate}
\end{lmm}
\begin{proof}
Soit $\wp\in \SP(A)$ ; l'anneau localisé en $\wp$, $A_\wp$ est 
naturellement un sous-anneau de l'algèbre $B_{\wp}=B\otimes_A A_\wp$. 
Considérons le diagramme commutatif :
$$\xymatrix{
\SP(B_{\wp}) \ar@{^(->}[r] \ar[d] & \SP(B) \ar[d] \\
\wp\in \SP(A_\wp) \ar@{^(->}[r] & \SP(A) 
}$$
Comme $B_{\wp}/A_{\wp}$ entière (cf. \ref{normalisation et localisation}),
$\wp$ --- identifié à son image dans $\SP(A)$ --- appartient à l'image de la 
flèche verticale de gauche (\ref{going-up1}). La surjectivité en découle. L'inégalité
sur le cardinal des fibres résulte également de \ref{going-up1}.

Supposons maintenant qu'il existe une inclusion stricte 
$\wp_B\subset \wp_B'\subset B$ telle que $\wp_B\cap A= \wp'_{B}\cap A=\wp_A$.
Quitte à remplacer $A$ par $A_\wp$, on peut supposer $A$ local d'idéal maximal $\wp$.
(Cette réduction est légitime car $\wp_B$ et $\wp_B'$, qui contiennent $\wp$,
appartiennent tous deux à $\SP(B_{\wp})\hra \SP(B)$.)
On a vu en \ref{going-up1} que les idéaux de $B$ au-dessus $\wp$ sont tous maximaux.
Il ne peut donc pas y avoir d'inclusion stricte.
\end{proof}

\begin{dfn}\label{dimension}
Soit $A$ un anneau. On appelle \emph{dimension} de $A$ la borne supérieure 
des entiers $d$ tels qu'il existe une chaîne strictement croissante
$$
\wp_0\subsetneq \wp_1 \subsetneq \cdots \subsetneq \wp_{d}\subset A
$$
d'idéaux premiers.
\end{dfn}

Un corps est de dimension nulle ; un anneau de valuation discrète est de dimension
$1$.


\begin{rmr}\label{rmr-dimension}
Prendre garde que même si $A$ est noethérien, il peut être
de dimension infinie.
%(par exemple : [...]). 
Par contre, on peut montrer que tout anneau \emph{local} noethérien
est de dimension finie (cf. \cite{Algebre@Serre}).
\end{rmr}



Voici une généralisation de \ref{structalgdimfinie}.

\begin{prp}\label{décomposition algèbre artinienne}
Soient $A$ un anneau local noethérien complet et $B$ une $A$-algèbre finie.
Alors le spectre maximal $\SP\max(B)$ est fini et 
$$
B\iso \prod_{\wp\in \SP\max(B)} B_{\wp}.
$$
\end{prp}

Un anneau local satisfaisant cette propriété (pour tout $B$) est appelé un anneau
local \emph{hensélien}. Ils jouent un rôle crucial en géométrie algébrique.
Il résulte immédiatement de la propriété ci-dessus que si $A$ est local hensélien
et $B$ est une $A$-algèbre finie locale, $B$ est également hensélien.

\begin{lmm2}\label{anneau dimension nulle}
Soit $C$ un anneau noethérien de dimension nulle. Alors, $\SP(C)$ est fini
et $C\iso \prod_{\wp\in \SP(C)}C_\wp$. 
\end{lmm2}

Remarquons que nous appliquerons ce lemme à l'anneau $B/\MM_A^n$, dont on sait déjà
que son spectre est fini. Le lecteur pourra donc omettre le passage correspondant
de la démonstration qui va suivre dans conséquence.

\begin{proof}


\begin{itemize}

\item Un anneau noethérien de dimension nulle est \emph{artinien} : toute suite décroissante
d'idéaux est stationnaire. \\
En effet, 
d'après \ref{idéaux premiers associés}, il existe une filtration 
$0=C_{-1}\subset C_0 \subset \cdots \subset C_n=C$ de $C$ par des idéaux
dont les quotients successifs sont isomorphes, comme
$C$-modules, à $C/\wp$ pour $\wp\in \SP(C)$ variable.
Comme $C$ est de dimension nulle, tout idéal premier est maximal ; $C/\wp$ est donc
un corps et $C$ est de longueur finie (comme $C$-module). 
La conclusion résulte de \ref{longueur finie et artinien}.
\item Le spectre $\SP(C)$ est fini. \\
Soient $\wp_1,\dots,\wp_n$ des idéaux premiers distincts
de $C$. Comme ils sont maximaux par le théorème de Bézout,
$$
C\surj \prod_1^n C/\wp_i.
$$
D'après \ref{additivité longueur}, $\mathrm{long}_C(C)\geq \mathrm{long}_C(\prod_1^n C/\wp_i)$.
Comme $\mathrm{long}_C(\prod_1^n C/\wp_i)=\sum_1^n \mathrm{long}_C  C/\wp_i\geq n$
et que chaque $C/\wp_i$ est de longueur $1$, on voit que le nombre d'idéaux maximaux
de $C$ est borné par $\mathrm{long}_C(C)<+\infty$.

\item Soit $\wp_1,\dots,\wp_r$ les idéaux premiers de $C$. Le nilradical
de $C$, $\mc{N}=\cap_{\wp\in \SP(C)} \wp$ est de type fini : il existe donc
$N\in \NN$ tel que $\mc{N}^N=(0)$. Il en résulte, comme dans la démonstration
de \ref{structalgdimfinie}, que $\cap_{\wp} \wp^N=(0)$
et finalement que 
$$
C\ra \prod_{\wp\in \SP(C)} C/\wp^{N}
$$
est un isomorphisme.

\item Chaque $C/\wp^{N}$ est isomorphe à $C_{\wp}$.\\
Ces anneaux sont locaux : tout idéal maximal contenant $\wp^N$ contient $\wp$.
La conclusion résulte de \ref{spectre d'un produit}.
\end{itemize}
\end{proof}

Nous allons démontrer la proposition en appliquant le lemme précédent
aux quotients $B_n:=B/\MM_A^{n+1}$, pour $n$ variable et passer à la limite.

Il est intéressant que pour autant que les anneaux $B_n$ grossissent,
leurs spectres sont tous canoniquement en bijection :

\begin{lmm2}\label{épaississements}
Soit $C$ un anneau et $I$ un idéal de $C$. Pour tout $n\in \NN$,
l'application canonique 
$$
\SP(C/I)\ra \SP(C/I^{n+1})
$$
est une bijection.
\end{lmm2}
\begin{proof} En effet, si $I^{n+1}\subset \wp$, $I\subset \wp$.\end{proof}


Fixons $n\in \NN$. L'anneau quotient $A_n=A/\MM_A^{n+1}$ est noethérien, local
et de dimension nulle (tout idéal premier contenant $\MM_A^{n+1}$ est égal à $\MM_A$).
Il en résulte que la $A_n$ algèbre finie $B_n:=B\otimes_A A_n=B/\MM_A^{n+1}B$
est noethérien et de dimension nulle (\ref{épaississements} et  \ref{structalgdimfinie}).

Nous avons vu plus haut que $\SP(B_0)$ est canoniquement en bijection
avec $\SP\max(B)$.
Ainsi, le lemme précédent, appliqué aux $B_n$ se réécrit :
$$
B_n \iso \prod_{\wp_n\in \SP(B_n)} (B_n)_{\wp_n}\isononcan \prod_{\wp\in \SP\max(B)}
B_{\wp}/\MM_A^{n+1}.
$$
On utilise implicitement le lemme suivant pour identifier $(B_n)_{\wp_n}$
à $B_{\wp}/\MM_A^{n+1}$ si $\wp$ est l'image de $\wp_n$ par $\SP(B_n)\ra \SP(B)$.

\begin{lmm2}
Soient $A$ un anneau, $I$ un idéal et $\wp_I\in \SP(A/I)$. Soit $\wp$
l'image inverse de $\wp_I$ dans $A$. Alors,
il existe un isomorphisme canonique 
$$
(A_{\wp})/(IA_{\wp})\isononcan (A/I)_{\wp_I}.
$$
\end{lmm2}
\begin{proof}
En effet, ces deux anneaux représentent le foncteur 
$$C\in \ob \mathsf{Ann} \mapsto \{f\in \Hom(A,C),\ f(I)=0\ \& \  f(A-\wp)\in C^{\times}\}\in
\ob \Ens.$$
\end{proof}

Comme $B$ est un $A$-module \emph{libre} de type fini, il est \emph{séparé} et \emph{complet}
pour la topologie $\MM_A$-adique : $B\ra \widehat{B}$ est un isomorphisme.


Ainsi, 
$$
B\iso \lim_n B_n=\prod_{\wp\in \SP\max(B)} \lim_n (B_\wp)/\MM_A^{n+1}=\prod_{\wp\in
\SP\max(B)} \widehat{B_\wp}.
$$
Nécessairement (cf. \ref{spectre d'un produit}), 
$B_\wp\iso \widehat{B_\wp}$.

Soient $A,L/K,B$ comme dans le théorème \ref{normalisation avd}.
On a vu que $B$ est intègre donc local, normal, noethérien, de type fini sur $A$, complet.
Il est de dimension $1$ car il est de dimension inférieure à $1$
(cf \ref{going-up}) sans être un corps (cf \ref{entier sur corps}). 
Il reste à vérifier que c'est un anneau de valuation discrète.

\begin{lmm2}
Tout anneau local normal noethérien de dimension $1$ est un anneau
de valuation discrète : son idéal maximal est principal.
\end{lmm2}

\begin{proof}
Soient $C$ un tel anneau, $\MM_C$ son idéal maximal et $x\in \MM_C-\MM_C^2$.
(D'après \ref{Nakayama2}, $\MM_C^2\subsetneq \MM_C$.)
Le quotient $C/(x)$ est de dimension nulle donc il existe $n$ tel que
$\MM_{C/(x)}^n=(0)$. En d'autres termes, $\MM_{C}^n\subset (x)$. Considérons
$n$ minimal pour cette propriété, de sorte qu'il existe $y\in \MM_C^{n-1}-(x)$.
Comme $$\left\{\begin{array}{l} \MM_C y \subset (x) \\ y\notin (x) \end{array}\right.,$$
on voit que $\MM_C (\frac{y}{x})\subset C$.
Deux cas se présentent.
\begin{itemize}
\item $\MM_C (\frac{y}{x})\subset \MM_C$, auquel cas $\frac{y}{x}$ est algébrique
sur $C$ (rappelons que $\MM_C$ est de type fini), donc appartient à $C$. Absurde !
\item $\MM_C (\frac{y}{x})=C$, auquel cas $1=\pi\frac{y}{x}$, pour un $\pi\in \MM_C$.
Mézalor, pour tout $m\in \MM_C$, $m=\underbrace{\frac{my}{x}}_{\in A}\pi$, \cad
$(\pi)=\MM_C$.
\end{itemize}
\end{proof}

Achevons la démonstration de \ref{normalisation avd}.
Fixons les notations :
$$
\xymatrix{
k_L:=B/\pi_L \ar@{-}[d]^{\deg=:f} &  \ar@{->>}[l] B \ar@{^(->}[r] \ar@{-}[d] & L 
\ar@{-}[d]^{\mathrm{s\acute{e}p},\deg=n}   \\
k_K:=A/\pi_K  &  A \ar@{->>}[l] \ar@{^(->}[r]  & K 
}
$$
où $\pi_K$ et $\pi_L$ sont des uniformisantes respectives des anneaux
de valuation discrète $A$ et $B$. Soit $e\geq 1$, tel que $\pi_K=\pi_L^{e}u_B$, pour
une unité $u_B\in B^{\times}$ : $e=v_L(\pi_K)$. 
L'extension $k_L/k_K$ est appelée \emph{extension résiduelle}.

\begin{lmm2}\label{n=ef}
Avec les notations précédentes, $$n=ef.$$
\end{lmm2}

\begin{proof}
On a vu (\ref{} [À rédiger]) que $B$ est libre de rang $n$. La $k_K$-algèbre $B\otimes_A k_K=B/\pi_K=
B/\pi_L^e$ est donc de dimension $n$. D'un autre côté, on peut filtre $B/\pi_L^e$
par les sous-$k_K$-module $\pi_L^{i}B/\pi_L^e$, pour $i=0,\dots,e$.
Les gradués de cette filtration décroissante sont les $(\pi_L^{i})/(\pi_K^{i+1})$ ($0\leq i \leq 
e-1$). La conclusion résulte de ce que ces $k_k$-espaces vectoriels
sont tous isomorphes à $k_L=\pi_L^0/\pi_L^1$, donc de $k_K$-dimension $f$.
En effet, 
$$
\begin{array}{l}
k_L\ra (\pi_L^{i})/(\pi_K^{i+1})\\
(B\ni b \mod \pi_L)\mapsto (b\pi_L^i \mod \pi_L^{i+1})
\end{array}
$$
est un isomorphisme.
\end{proof}


\begin{dfn2}
On dit qu'une extension $L/K$ comme plus haut est \emph{totalement ramifiée}
si $e=n$, autrement dit, si l'extension résiduelle correspondante est triviale.
De façon générale, on appelle $e$ l'\emph{indice de ramification} de l'extension
considérée.
\end{dfn2}

C'est donc automatiquement le cas si $k_K$ est algébriquement clos, par exemple
si $A=\CC[[t]]$.

\begin{exm2}
$\QQ_p(\sqrt{p})/\QQ_p$ : $n=e=2$, $f=1$.
\end{exm2}

\begin{crl2}\label{extension-va}
Sous les hypothèses du théorème, il existe une unique valeur absolue $|\cdot|_L$
sur $L$ prolongeant celle de $K$, $|\cdot|_K$.
\end{crl2}

\begin{proof}
L'existence résulte de la définition suivante : $|x|_L=a^{v_L(x)/e}$, pour $x\in L$,
où $a\in ]0,1[$ est tel que $|x|_K=a^{v_K(x)}$ pour tout $x\in K$.
\end{proof}

On peut remarquer que cette valeur absolue coïncide nécessairement avec
$|\mathrm{N}_K(x)|_K^{1/n}$ (exercice).

\begin{crl2}
Sous les hypothèses précédentes, si $L/K$ est galoisienne,
on a $v_L(x)=v_L(\sigma x)$ pour tout $\sigma\in \ga(L/K)$ et tout $x\in L$.
\end{crl2}

\begin{proof}
Cela revient à démontrer que $|x|_L=|\sigma x|_L$. Cela découle
de l'unicité de la valuation prolongeant $|\cdot|_K$.
\end{proof}

\section{Puiseux-Newton}

\begin{dfn}
Soient $K$ un corps muni d'une valuation discrète et $f=a_nX^n+\cdots+a_0$
un polynôme à coefficients dans $K$. On appelle \emph{polygone de Newton}
l'enveloppe convexe de l'ensemble des points de $\RR^2$ au-dessus 
des couples $(i,v(a_i))$, avec $0\leq i \leq n$ et $a_i\neq 0$.
\end{dfn}


\begin{thm}\label{polygone de Newton}
Soient $K$ le corps des fractions d'un anneau de valuation discrète
complet et $f=a_nX^n+\cdots+a_0\in K[X]$ un polynôme séparable de degré $n$.
Soient $L$ un corps de décomposition de $f$ et $v_L$ la valuation de $L$ prolongeant
celle de $K$. Soient $(x_i,y_i)$, $i=1,\dots,r$ les sommets 
du polygone de Newton. Alors, 
$$
f=g_1\cdots g_r
$$
où :
\begin{enumerate}
\item Chaque polynôme $g_i\in K[X]$ est de degré $x_i-x_{i-1}$,
\item Les racines de $g_i$ sont toutes de $v_L$-valeur absolue :
$$
-\frac{y_i-y_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}=:v_i.
$$
\end{enumerate}
\end{thm}

\begin{crl}[Eisenstein]\label{Eisenstein}
Soit $f=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_0\in K[X]$ un polynôme à coefficients dans $\ZZ$.
Supposons qu'il existe un nombre premier $p$ tel que $p|a_i$ mais $p^2$ ne divise pas $a_0$.
Alors $f$ est irréductible.
\end{crl}

\begin{proof}

\end{proof}

\begin{exm}
Exemple numérique pour montrer qu'un polynôme n'est pas irréductible.
\end{exm}

\begin{proof}
Quitte à diviser les coefficients par $a_n$, ce qui a pour effet de translater verticalement
le polygone, et aucun effet sur les racines, on peut supposer que $a_n=1$.
Soient $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ les racines de $f$ dans $L$ ordonnées par valuation :
$$
\underbrace{\alpha_1,\dots,\alpha_{d_1}}_{v_1},\underbrace{\alpha_{d_1+1},\dots,
\alpha_{d_1+d_2}}_{v_2},\dots,\underbrace{\alpha_{d_1+\cdots+d_{r-1}+1},\dots,
\alpha_{d_1+\cdots+d_{r-1}+d_r=n}}_{v_r},
$$
où $v_1<\cdots < v_r$.
Le terme constant $a_0$ est, au signe près, le produit des racines ;
sa valuation est :
$$
v(a_0)=d_1v_1+\cdots+d_r v_r.
$$
Pour chaque $0\leq i < d_r$, $a_i$ est, au signe près, une somme de $n-i$ produits de racines ;
ainsi :
$$
v(a_i)\geq d_1v_1+\cdots+d_{r-1}v_{r-1}+(d_r-i)v_r\ (0\leq i < d_r).
$$
Comme, au signe près, 
$$a_{d_r}=\alpha_1\cdots\alpha_{n-d_r}+\big(\text{somme dont chaque terme a 
une valuation}>\big),$$
on a :
$$
v(a_{d_r})= d_1v_1+\cdots+d_{r-1}v_{r-1}.
$$
De même, on montre
que pour $i\in [1,r]$,
$$
v(a_{d_r+\cdots+d_i})=d_1v_1+\cdots+d_{i-1}v_{i-1}
$$
et, pour $0\geq j < d_{i-1}$,
$$
v(a_{d_r+\cdots+d_i+j})\geq d_1v_1+\cdots+(d_{i-1}-j)v_{i-1}.
$$
Enfin $v(a_n)=0$.
Ces égalités et inégalité traduisent exactement le fait que 
les sommets du polygone de Newton sont du type indiqué dans l'énoncé.

Enfin, si $g_i:=\prod_{f(\alpha)=0,\,v_L(\alpha)=v_i}(X-\alpha)$
appartient à $K[X]$ car deux racines conjuguées ont la même valuation.
%[FIGURE !]
\end{proof}

Nous utiliserons ce théorème dans deux cas : $K=\QQ_p$ ou $K=k((t))$.
Commençons par une application.

\section{Groupe de Galois de l'exponentielle tronquée}

\textbf{Cette section est une traduction rapide, non relue, du franglais vers le français
de l'examen final.}

\subsection{Énoncé ; résultats $p$-adiques}

Soit $f_n(X)=1+X+\frac{X^2}{2}+\cdots+\frac{X^n}{n!}\in \QQ[X]$
le $n$-ième polynôme de Taylor à l'origine de la fonction exponentielle.

Nous allons démontrer, suivant Robert F. Coleman \cite{} :

\begin{thm2}[Issai Schur, 1930 : $\got{S}_n$ par voie $p$-adique]\label{S_n-2}
Le groupe de Galois de $f_n$ est soit le groupe alterné 
$\got{A}_n$ si $4|n$ soit le groupe symétrique $\got{S}_n$.
\end{thm2}

Ce théorème est à comparer avec \ref{S_n-1} (cf. \ref{S_n}).

Fixons un nombre premier $p$.

Écrivons $n=b_1p^{n_1}+b_2p^{n_2}+\cdots+b_s p^{n_s}$, où $n_1>n_2>\cdots>n_s$ et $0<b_i<p$.
Posons $x_i=b_1p^{n_1}+b_2p^{n_2}+\cdots+b_i p^{n_i}$.
Alors, les sommets du polygone de Newton $p$-adique de $f_n$ sont les 
$$
\big(x_i,-v_p(x_i !)\big),\ 1\leq i \leq s.
$$

Il en résulte que :
\begin{itemize}
\item Si $p^m$ divise $n$, $p^m$ divise également le degré de chaque facteur de 
$f_n$ sur $\QQ_p$.
\item Si $p^k\leq n$, $p^k$ divise le degré du corps de décomposition de
$f_n$ sur $\QQ_p$.
\end{itemize}

Il résulte que $f_n$ est irréductible.
De plus, si $\frac{n}{2}<p\leq n$ est un nombre premier, 
$\ga_{\QQ}(f_n)$ contient un $p$-cycle.

Pour distinguer $\got{A}_n$ de $\got{S}_n$ nous aurons besoin de connaître 
le discriminant de $f_n$ :

\begin{lmm2}
Le discriminant $D_n$ de $f_n$ is $(-1)^{\binom{n}{2}}(n!)^n$.
\end{lmm2}
\begin{proof}
On écrit $D_n$ comme le produit de dérivées ; produit que l'on calcule
en remarquant que $f'_n(X)=f_n(X)-\frac{X^n}{n!}$.
\end{proof}

On achève la démonstration du théorème, pour $n\geq 8$ en faisant appel
au postulat de Bertrand \ref{Bertrand} et au théorème de Jordan \ref{Jordan} ci-dessous. 
Les cas restants se traitent à la main par des techniques semblables (exercice).

\subsection{Un théorème de Jordan}

On veut démontrer :

\begin{thm2}\label{Jordan}
Soit $G$ un sous-groupe transitif de $\got{S}_n$ qui contient un $p$-cycle
pour un nombre premier $p$ strictement compris entre  $\frac{n}{2}$ et $n-2$.
Alors $G$ contient $\got{A}_n$.
\end{thm2}

Nous ferons usage de la terminologie suivante :

\begin{dfn2}
Soit $X$ un ensemble fini. Un sous-groupe $G$ de $\got{S}_X$ agissant
transitivement sur $X$ est dit \emph{primitif} si les seuls sous-ensembles
$Y\subset X$ tels que pour tout $g\in G$, $g(Y)\cap Y\in\{\vide,Y\}$ 
sont $\vide,X$, et les singletons.
\end{dfn2}
De façon équivalente, on demande qu'il n'y ait pas de 
partition\footnote{En particulier, par définition, 
chaque constituant est non vide.}
$\{Y_1,\dots,Y_s\}$ de $X$ avec $\#X>s>1$, stable
sous l'action de $G$ (au sens où, pour tout $i$, il existe
un indice $j$ tel que $g(Y_i)=Y_j$).

Établissons quelques lemmes généraux.

\begin{lmm2}
Un groupe transitif agissant sur un ensemble d'ordre premier est primitif.
\end{lmm2}

\begin{lmm2}
Soient $G$ un groupe agissant transitivement sur un ensemble fini $X$,
$H$ un sous-groupe de $G$ et $P$ une orbite de $H$. Supposons que $H$ 
agit transitivement sur $P$ et que $\# X < 2 \# P$. Alors,
$G$ agit également transitivement sur $X$.
\end{lmm2}

Ainsi, sous l'hypothèse du théorème de Jordan ci-dessus, $G$ est un sous-groupe
primitif de $\got{S}_n$ contenant un $p$-cycle.

\begin{lmm2}
Soient $G$ un sous-groupe $f$-transitif de $\got{S}_X$, $C$ un sous-groupe
de $G$ tel que le cardinal de $F=\mathrm{Fix}(C)\subset X$ soit égal à $f$.
Alors, si $C$ est conjugué and $G_F$ à tout sous-groupe de $G_F$ conjugué
\emph{dans $G$} à $C$, le normalisateur de $C$ dans $G$ agit $f$-transitivement
sur $F$.
\end{lmm2}

\begin{lmm2}
Soit $X=F\cup P$ une partition de $X$ telle que $\# P>1$ et $2\#P>\#X$.
Supposons que $G$ soit un sous-groupe primitif de $\got{S}_X$ tel que $G_F$ agisse
transitivement sur $P$. Alors, l'action de $G$ est doublement transitive.
(C'est-à-dire : $G$ est transitif et pour chaque $x$, $G_x$ agit
transitivement sur $X-x$.)
\end{lmm2}
\begin{proof}
Faisons le par récurrence sur $f$. Le cas $f=1$ est tautologique.
\begin{itemize}
\item Si $\alpha$ et $\beta$ sont deux éléments distincts de $F$,
il existe un $g\in G$ tel que $\alpha\in g(F)$ mais $\beta\notin g(F)$.
En effet, considérons $\displaystyle E=\cap_{g\in G: \alpha \in g(F)} g(F)$ et
remarquons que si $g'(E)\cap E\neq \vide$, alors $g'(E)=E$.
(Commencer par le voir dans le cas $\alpha\in g'(E)$.)

\item  Le sous-groupe $H=\langle G_F, gG_F g^{-1}\rangle$  agit transitivement
sur $P\cup g(P)$. (Rappel :  $2\#P>\#X$.)

\item  Soit $F'=F\cap g(F)$, \cad l'ensemble des éléments qui
sont fixes par tout élément de $H$. On conclut en utilisant l'hypothèse de récurrence.
\end{itemize}
\end{proof}

\begin{thm2}[Camille Jordan, 1870]
Soit $G$ un sous-groupe primitif de $\got{S}_X$, où $\#X=n=p+f$, $p$ est premier
et $f\geq 3$. Si $G$ contient un cycle de longueur $p$ alors $G$
contient $\got{A}_n$.
\end{thm2}

\begin{proof}[Démonstration dans le cas où $2p>n$.]
La démonstration du théorème est divisée en quelques étapes :
$G$ est primitif, doublement transitif, $f$-transitif, puis contient $\got{A}_n$.
Nous n'utiliserons que le cas $2p>n$ (cf. \ref{Jordan}), hypothèse que
nous supposons satisfaite.
En particulier, $G$ est primitif. Notons $c$ un cycle de longueur $p$
dans $G$, et $F$ (resp. $P=X-F$) l'ensemble des points fixes de $c$ ;
on a donc $\#F=f$ (resp. $\#P=p$).
Notons $G_F=G\cap \got{S}_F\subset \got{S}_X$ le sous-groupe de $G$ agissant trivialement
sur $F$, et de même pour divers sous-groupes et sous-ensembles.\\
Par récurrence sur $f$, on voit que $G$ est $f$-transitif.\\
Soient $C=\langle c \rangle$ le sous-groupe d'ordre $p$ et $N$ son
normalisateur dans $G$. On démontre les faits suivants :
\begin{itemize}
\item  Le sous-groupe $N$ est $f$-transitif sur $F$ (rappelons
que $C$ est un $p$-Sylow) et donc $N\surj \got{S}_F$, via le morphisme
de restriction, bien défini ici.
\item pour tout $\pi\in P$, $N_{\pi}:=\mathrm{Stab}_N(\pi)$ satisfait
$N_{\pi}\surj \got{S}_F$. En effet, $N=N_{\pi} G_F$ car $G_F$ agit
transitivement sur $P$ et $N$ agit sur $P$. 
\item Pour tout $\pi\in P$, l'image de $N_{\pi}$ dans $\got{S}_{P}$
est isomorphe à un sous-groupe de $\Aut(C)$ et est donc abélienne.
\item Soit $D$ le groupe dérivé de $N_{\pi}$ ; on a vu que l'image
de $D\ra \got{S}_P$  est le groupe trivial $\{1\}$. Il en résulte que $D\surj A_F$.
\end{itemize}
\end{proof}

Voici enfin le dernier ingrédient, plus classique, pour achever la
démonstration du  théorème.

\subsection{Le postulat de Joseph
Bertrand}\label{Bertrand}

On veut démontrer :

\begin{thm2}[Pafnuty Tschebyshef, 1852]
Pour tout entier $n\geq 2$, il existe un nombre premier $\frac{n}{2}<p\leq n$.
\end{thm2}

De la même façon, on voit que pour $n\geq 8$, $n-2$ convient.

Soit $n\geq 3$ et posons $N=\binom{2n}{n}$. 

\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item De l'inégalité $v_p(N)\leq \log_p(2n)$, il résulte que
pour $p>\sqrt{2n}$, la valuation $p$-adique de $N$ est au plus~$1$.
\item Observons que si $p$ satisfait : $\frac{2}{3}n<p\leq n$ alors $p$ ne divise pas $N$.
\item Enfin, pour tout nombre réel $x\geq 2$, 
$$\prod_{p\leq x} p \leq 4^{x-1}.$$
\end{enumerate}
Il résulte de ces faits que si $n$ est un contre-exemple
au théorème, on a :
$$\frac{4^{n}}{2n}\leq (2n)^{\sqrt{2n}}4^{\frac{2}{3}n-1}.$$
C'est absurde, du moins pour $n$ grand ; plus exactement $>4000$.
Enfin, du fait que 
$$2,3,5,7,13,23,43,83,163,317,631,1259,2503,4001$$
sont des nombres premiers, la conclusion du théorème est également
valable pour $n$ petit.
\end{proof}

\subsection{Laguerre polynomials}

$$L_n(X)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{(-X)^k}{k!}.$$

\section{Théorème de Puiseux}

\begin{thm}\label{Puiseux}
Soit $k$ un corps algébriquement clos de caractéristique nulle.
Alors, 
$$k((t))\sep=\cup_{n\geq 1} k((t^{1/n})).$$
\end{thm}

Nous aurons besoin de la proposition suivante :

\begin{prp}
Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet, $K$ son corps des fractions,
et $L/K$ une extension séparable de degré $n$. Soit $B$ la normalisation de $A$ dans
$K$.  On suppose l'extension résiduelle $k_L/k_K$ triviale, \cad
$L/K$ \emph{totalement ramifiée}.
Alors, $A[X]/f\iso B=A[\pi_B]$ où $\pi_B$ est une uniformisante
de $B$ et $f$ est le polynôme minimal de $\pi_B$ sur $K$.
C'est un polynôme d'Eisenstein, \cad unitaire, chaque $a_i$ appartenant à $\MM_A$ et 
le terme constant $a_0$ n'appartenant pas à $\MM_A^2$.
\end{prp}

\begin{proof}
%Comme $k_L/k_K$ est finie séparable, il existe $\sur{x}\in k_L$ qui engendre $k_L$
%sur $k_K$. Soit $x\in B$ arbitraire le relevant. Noson  $f$ son polynôme minimal
%sur $K$. Ses coefficients sont entiers sur $A$ et dans $K$ donc $f\in A[X]$.
%Comme $\sur{f}(\sur{x})=f(x) \mod \MM_A = 0$,
%par concordance des degrés, $\sur{f}$ est le polynôme minimal de $\sur{f}$ ; 
%en particulier, il est irréductible. L'anneau quotient $A_f:=A[X]/f$
%est donc local : $A[X]
Écrivons $f=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_n$. Ses coefficients sont entiers sur $A$ 
et dans $K$. Comme la valuation $\MM_A$-adique (étendue à $L$) de $x$ est $1/e=1/n$,
le polygone de Newton de $f$ a pour unique pente
$-\frac{1}{n}$ (cf. \ref{polygone de Newton}).
%[DESSIN ; cf. p 25']. 
Il en résulte que $v(a_0)=1$ et que
$v(a_i)\geq 1$ pour chaque $a_i$.
Le morphisme $A[X]/f\ra B$ est injectif car $f$ est le polynôme minimal de $x$.
Il devient un isomorphisme une fois tensorisé avec $A/\MM_A=:k_A$ :
Cela résulte des propriétés des coefficients de $f$ pour le premier et de l'hypothèse de
ramification totale pour le second.
Le lemme de Nakayama \ref{Nakayama} montre donc que c'est une surjection donc
un isomorphisme.
\end{proof}

\begin{dfn}\label{dfn-ramification}
Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions $K$, 
$L/K$ une extension galoisienne totalement ramifiée de groupe $G$
et $B$ le normalisé de $A$ dans $L$.
Soit $\pi_L$ une uniformisante de $B$. On pose, pour $i\ge -1$,
$$
G_i:=\{\sigma\in G,\ v_L(\sigma(\pi_L)-\pi_L)\geq i+1\}
$$
Ce sont les sous-groupes de \emph{ramification} de $G$. Ils forment
une filtration décroissante de $G$.
\end{dfn}

Plus généralement on définit classiquement de tels sous-groupes en supposant
seulement $k_L/k_K$ séparable. Récemment, 
斎藤毅 (SAITÔ Takeshi) et Ahmed Abbes
ont étendu cette construction au cas général en utilisant des méthodes
de géométrie algébrique « rigide » (cf. \cite{imparfait-I@Abbes-Saito} 
et \ref{intersection} pour une interprétation
plus géométrique des groupes ci-dessus).

Étudions les gradués de la filtration précédente.

\begin{prp}
Soit $G$ comme en \ref{dfn-ramification}.\\
Introduisons une filtration décroissante du groupe des unités de $B$,
$B^{\times}=:U^{(0)}_L$, notée $U^{(i)}_L:=1+\MM_B^i$ pour $i\geq 1$.
\begin{enumerate}
\item $G_0\iso G$,
\item Chaque $G_i$ est un sous-groupe de $G$, indépendant du choix de $\pi_L$,
\item L'application 
$$\left\{\begin{array}{l}G_i\ra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\\ \sigma\mapsto
\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\end{array}\right.$$ est indépendante du
choix de $\pi_L$, et induit une injection canonique
$$
G_i/G_{i+1}\hra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L.
$$
\item On a des isomorphismes canoniques :
$$
\begin{array}{l}
 U^{(0)}_L/U^{(1)}_L\iso k_L^{\times}\\
 U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\iso \MM_B^i/\MM_B^{i+1}
\end{array}
$$
pour tout $i\geq 1$. De plus, $\MM_B^i/\MM_B^{i+1}\isononcan k_L$, non canoniquement.
\end{enumerate}
\end{prp}

\begin{proof}
1) Montrons que l'extension étant totalement ramifiée, $G_0\iso G$.
Soit $\sigma\in G$. Comme $B$ est local, $\sigma(\MM_B)=\MM_B$ et $\sigma$
induit donc un automorphisme de $k_L$ sur $k_K$, nécessairement trivial (car
$k_L=k_K$). Ainsi $\sigma(x)=x \mod \MM_B$ pour tout $x$, \cad
$v_L(\sigma(x)-x)\geq 1$ et, en prenant $x=\pi_L$, $\sigma\in G_0$.
Remarquons que comme, d'après la proposition précédente, $B=A[\pi_L]$, 
réciproquement, si $\sigma\in G_i$,
pour tout $x\in B$, on a $v_L(\sigma(x)-x)\geq i+1$.

2) Pour $\sigma,\sigma'\in G_i$, l'égalité 
$$\sigma'\sigma(\pi_L)-\pi_L=\sigma'\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big)+\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big),
$$
où deux termes de droite appartiennent à $\MM_L^{i+1}$, suffit à montrer
que $G_i\subset G$ est un sous-groupe.

3) Montrons que pour chaque $\sigma\in G_i$, la quantité
$\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\in U^{(i)}_L$ est, modulo $U_L^{(i+1)}$, indépendante du choix de 
l'uniformisante $\pi_L$. Soit $u\in B^{\times}$ une unité. L'égalité
$$
\frac{\sigma(u\pi_L)}{u\pi_L}=\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\frac{\sigma(u)}{u}.
$$
jointe au fait que pour un tel $\sigma$, $\sigma(u)-u\in \MM_L^{i+1}$, et  donc
$\frac{\sigma(u)}{u}\in 1+ \MM_L^{i+1}$, montre que modulo $U_L^{(i+1)}$ cette image est 
bien indépendante du choix de l'unité $u$.

Pour tout $\sigma\in G$, $\sigma(\pi_L)$ est une uniformisante. Il en résulte
que pour chaque $\sigma'\in G_i$, 
$$
\frac{\sigma'\big(\sigma(\pi_L)\big)}{\sigma(\pi_L)}=
\frac{\sigma'(\pi_L)}{\pi_L} \mod U^{(i+1)}_L.
$$
Ainsi, pour $\sigma,\sigma'\in G_i$,
l'égalité
$$
\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\pi_L}=\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\sigma(\pi_L)}
\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}
$$
entraîne que $G_i\ra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L$ est un morphisme de groupe ; son
noyau est par définition $G_{i+1}$.

4) L'anneau $B$ étant local, la surjection canonique $B\surj k_L$ induit
un isomorphisme $B^{\times}\ra 1+\MM_B\ra k_L^{\times}$. 
Enfin, 
$$
\begin{array}{l}
U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\ra \MM_B^{i}/\MM_B^{i+1}\\
1+x\mapsto x
\end{array}
$$
est un isomorphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite). 
Comme $\MM_B$ est principal, le terme de droite est un $k_L$-espace
vectoriel de dimension $1$.
\end{proof}

\begin{crl}
Sous les hypothèses précédentes :
\begin{enumerate}
\item $G_0/G_1$ est cyclique d'ordre premier à la caractéristique de $k_K$,
\item si $\mathrm{car}(k_K)=0$, $G_1=\{1\}$ et $G_0$ est cyclique.
\end{enumerate}
\end{crl}

\begin{proof}
Comme $G_0/G_1$ est isomorphe à un sous-groupe fini de $k^{\times}$, il est cyclique
et d'ordre premier à la caractéristique.

Enfin, pour $i\geq 1$, $U^{(i)}_L / U^{(i+1)}_L\isononcan k_L$ n'a pas de sous-groupe
fini si $k_L$ est de caractéristique nulle. En particulier $G_i/G_{i+1}=\{1\}$,
pour tout $i>0$. Comme $G_i=\{1\}$ pour $i\geq N:=\max_{\sigma\in G-\{e\}} v_L(\sigma(\pi_L)-
\pi_L)$, on a bien $G_1=G_2=\cdots = G_N=\{1\}$.
\end{proof}


Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le théorème \ref{Puiseux}.

Soit $L$ une extension finie g aloisienne de $K=k((t))=\mathrm{Frac}(k\[t\])$ où  
$k$ est algébriquement clos de caractéristique nulle. En particulier
$L/K$ est totalement ramifiée. Il résulte du corollaire
précédent que $G=\ga(L/K)$ est cyclique d'ordre $[L:K]$. 
Comme $k$ est algébriquement clos et contient donc $n$ racines
de l'unité, l'extension (de Kummer) $K_n:=K(\sqrt[n]{t})/K$ est galoisienne
de groupe $\mu_n(k)$.
Considérons une extension composée $L_n=L K_n$ :
$$
\xymatrix{
L \ar@{-}[d] \ar@{-}[r] & L_n \\
K=k((t)) \ar@{-}[r] & K_n=k((t^{1/n})) \ar@{-}[u]
}
$$
L'extension $L_n/K$ est elle aussi galoisienne, de groupe cyclique.
Son groupe de Galois étant cyclique, il n'a donc qu'un seul quotient isomorphe à $\ZZ/n$.
Cela se traduit par l'égalité $L=K_n$
et finalement $K\sep=\cup_n K_n$. 

Pour l'application que nous avons en vue (\ref{Irréductibilité-Hilbert}), nous aurons besoin
d'une variante complexe analytique du théorème précédent.


\section{Groupes de ramification et nombres d'intersection 
(facultatif)}\label{intersection}

Une fois familiarisé avec les définitions, les résultats de cette section 
sont de nature essentiellement tautologique
mais ont l'intérêt d'ouvrir 
la voie vers une géométrisation de la ramification via la théorie des schémas.

\begin{dfn}
Soit $k$ un corps. On appelle \emph{courbe affine}  sur $k$
toute $k$-algèbre de type fini $C$ qui est de dimension $1$.
On dit que $C$ est \emph{régulière} en un idéal premier $c$
si son localisé en ce point est un anneau de valuation discrète (pour $c$ maximal)
ou un corps (pour $c$ premier non maximal). L'ensemble 
des idéaux premiers réguliers est noté $\reg{\SP(C)}$.
\end{dfn}

De façon générale, un anneau local noethérien $A$, d'idéal maximal $\MM_A$
et de corps résiduel $k$, est dit \emph{régulier} si $\dim(A)=\dim_k \MM_A/\MM_A^2$ 
(cf. \ref{rmr-dimension}).

Par la suite, on dira souvent « point » en lieu et place de « idéal premier ».

\begin{exm}
La $\QQ$-algèbre $C_{\mathrm{rebr}}:=\QQ[X,Y]/(Y^2-X^3)$ est une $\QQ$-courbe affine.
On peut montrer qu'elle est intègre mais non normale : $z:=y/x\in 
\mathrm{Frac}(C_{\mathrm{rebr}})$ est entier sur $C_{\mathrm{rebr}}$ car
$z^2=x$ mais $z$ n'appartient pas à $C_{\mathrm{rebr}}$. 
Elle n'est pas régulière en « l'origine » $(X,Y)$
mais l'est en tout autre point (exercice).
\end{exm}

\begin{dfn}\label{graphe endomorphisme}
Soit $g$ un $k$-endomorphisme d'une $k$-courbe affine $C$.
On appelle \emph{graphe} de $g$, et on note $\Gamma_g$, l'idéal de 
$C\otimes_k C$ noyau du morphisme 
$$\begin{array}{l}
C\otimes_k C \sr{m_g}{\ra} C\\
a\otimes b \mapsto a\cdot g(b).
\end{array}
$$
On note $\Delta=\Gamma_{\mathrm{Id}}$ le graphe de l'identité, appelé 
\emph{diagonale}. C'est le noyau de la multiplication
$m:C\otimes_k C \surj C$.
\end{dfn}

Rappelons qu'en \ref{auto décomposition}, nous avons déjà considéré
une situation semblable en dimension nulle : la $k$-algèbre considérée 
était alors \emph{finie} sur $k$.

\begin{lmm}\label{points fixes 1}
Soient $C,g$ comme ci-dessus et munissons $C\otimes_k C$ d'une structure
de $C$-module par multiplication sur le facteur de gauche.
L'idéal $\Gamma_g$ est engendré comme $C$-module par les
$g(b)\otimes 1 - 1 \otimes b$, où $b\in C$.
\end{lmm}

\begin{proof}
Les éléments ci-dessus appartiennent tautologiquement à $\Gamma_g$, qui 
est un idéal. Réciproquement, si $x=\sum a_i\otimes b_i$ est tel que
$\sum a_i g(b_i)=0$, on a $x=\sum \big(a_ig(b_i)\otimes 1 - a_i\otimes b_i\big)$.
Le terme entre parenthèse n'est autre que $a_i\cdot\big(g(b_i)\otimes 1 - 1 \otimes b_i\big)$.
\end{proof}

Le lemme suivant justifie s'il en était besoin la terminologie :

\begin{lmm}\label{points fixes 2}
Soit $x\in \SP(C\otimes_k C)$. Si 
$$\Delta\subset x$$
on a 
$$
p_1^{-1}(x)=p_2^{-1}(x).
$$
\end{lmm}

Rappelons que $p_1,p_2$ sont les deux morphismes $C\rra C\otimes_k C$. 


\begin{proof}
Soient $x$ un idéal contenant la diagonale 
et $a\in p_1^{-1}(x)\subset C$. Par hypothèse, $p_1(a)=a\otimes 1 \in x$ ;
comme $p_1(a)-p_2(a)=a\otimes 1 - 1 \otimes a \in \Delta\subset x$, on a également
$p_2(a)\in x$. 
L'inclusion opposée se démontre de même.
\end{proof}

\begin{dfn}
Sous les hypothèses précédentes, on dit que $c\in \SP(C)$ est un 
\emph{point fixe} si $(\Delta,\Gamma_g)\subset m^{-1}(c)$ et
on note $F_g$ leur ensemble. 
Enfin, on dit que les points fixes sont \emph{isolés}
si l'anneau quotient
$$
(C\otimes_k C)/\mathrm{Fix}(g)
$$
est de dimension finie sur le corps $k$.
\end{dfn}

Dans ce cas, on considère $\dim_k (C\otimes_k C)/\mathrm{Fix}(g)$
comme le « nombre d'intersection » de la diagonale $\Delta$ 
avec le graphe $\Gamma_g$ de $g$ (cf. \emph{infra}).

Les points fixes de l'identité ne sont jamais isolés car
$F_{\mathrm{Id}}\iso C$ n'est pas de dimension finie sur
$k$. En effet, s'il en était ainsi, pour tout $\wp\in \SP(C)$, $C/\wp$ serait
intègre et de dimension finie sur $k$ donc un corps, \cad
$\wp$ maximal. Par hypothèse, $\dim(C)=1$ donc il existe
un idéal premier non maximal.

Cette terminologie est également justifiée par le lemme suivant :

\begin{lmm}
Soient $C$ une $k$-courbe affine et $g$ un $k$-endomorphisme.
\begin{enumerate}
\item Si $c\in F_g$ est un point fixe, on a 
$g^{-1}(c)=c$.
\item Si $k$ est \emph{algébriquement clos},
et $c$ est un idéal \emph{maximal} de $C$, si $g^{-1}(c)=c$,
$c$ est un point fixe.
\item Si les points fixes sont isolés, les points fixes sont tous 
des idéaux maximaux.
\item Supposons pour simplifier $C$ intègre.
Si les points fixes sont isolés, $\SP(m):\SP(C)\ra \SP(C\otimes_k C)$
induit une bijection entre $F_g$ et 
le sous-ensemble $\SP((C\otimes_k C)/\mathrm{Fix}(g))$ de $\SP(C\otimes_k C)$.
\end{enumerate}
\end{lmm}


\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Compte tenu de \ref{points fixes 1}
et du fait que l'on a toujours l'inclusion $\Delta=m^{-1}(\{0\})\subset m^{-1}(c)$,
l'inclusion $\mathrm{Fix}(g)\subset m^{-1}(c)$
est équivalente au fait que $g(a)-a\in c$ pour tout $a\in C$.

\item Soit $c\in \SP(C)$ tel que $g^{-1}(c)=c$. Le morphisme $g$ induit donc 
par passage au quotient un morphisme $k$-linéaire $\sur{g}:C/c\ra C/c$.
Si $c$ est un idéal maximal et $k$ algébriquement clos, on a $k\iso C/c$
(cf. \ref{Nullstellen}). Nécessairement $\sur{g}=\mathrm{Id}$,
\cad $g(a)-a\in c$ pour tout $a\in C$, \cad $\mathrm{Fix}(g)\subset m^{-1}(c)$.

\item Si $c\in F_g$,
on a la chaîne de surjections $C\otimes_k C / \mathrm{Fix(g)} \surj C\otimes_k C / m^{-1}(c) 
\iso C/c$. Si les points fixes sont isolés, $C/c$ est donc de dimension
finie sur $c$ ; cela n'est possible que si c'est un corps \cad $c$ maximal.

\item
Supposons donc l'anneau quotient $C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g)$ artinien
et considérons $\wp\in \SP(C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g))$.
Alors (\ref{points fixes 2}) $p_1^{-1}(\wp)=p_2^{-1}(\wp)=:c$. De plus,
$c\neq (0)$\footnote{Il faudrait modifier légèrement la rédaction
pour couvrir le cas où $C$ n'est pas intègre.}, sans quoi $C\hra C\otimes_k C/\wp$ où le
terme de droite est de dimension finie sur $k$.

On vérifie sans peine que $m^{-1}(c)\subset \wp$ :
si $\alpha=\sum a_i\otimes b_i\in m^{-1}(c)$,
on a $p_1m(\alpha)=\sum a_ib_i\otimes 1\in \wp$. 
Comme 
$$a_ib_i\otimes 1=(a_i\otimes 1)\big(\underbrace{b_i\otimes 1 -1 \otimes b_i}_{\in \wp}\big)+
a_i\otimes b_i$$
on a bien $\alpha\in \wp$.
Finalement, $m^{-1}(c)$ étant maximal (car $C\otimes_k C/m^{-1}(c)\iso C/c$ et $c$ est
non nul donc maximal), on a $\wp=m^{-1}(c)$.
\end{enumerate}
\end{proof}

En d'autres termes, dans le cas des singularités isolées
sur un corps algébriquement clos, les idéaux premiers de $\SP((C\otimes_k C)/\mathrm{Fix(g)})$ 
correspondent bijectivement, via $\SP(m):\SP(C)\ra \SP(C\otimes_k C)$,
aux idéaux maximaux $c$ de $\SP(C)$ tels que $g^{-1}(c)=c$.



Avant d'énoncer le résultat principal de cette section, fixons quelques notations.
Si $x\in F_g$, le morphisme $g:C\ra C$ induit un morphisme également noté
$g$ entre les localisés en $x$ : $g:C_x\ra C_x$. (Cela résulte
de ce que $g^{-1}(x)=x$). Si de plus $x\in \reg{\SP(C)}$ est un idéal
maximal, l'anneau $C_x$ est un anneau de valuation discrète. Nous noterons
$v_x$ la valuation associée et $\pi_x$ une uniformisante.

\begin{prp}
Soient $k$ un corps \emph{algébriquement clos}, $C$ une courbe affine intègre sur $k$,
$g$ un $k$-endomorphisme de $C$ dont les points fixes sont isolés.
Supposons que $F_g \subset \reg{\SP(C)}$.
On a alors,
$$
\dim_k C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g) = \sum_{x\in F_g} v_x(g(\pi_x)-\pi_x)).
$$
\end{prp}

Ainsi l'entier $v_x(g(\pi_x)-x))$, qui est la contribution
du point fixe à $ \dim_k C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g)$, peut à juste titre
être considéré comme la multiplicité d'intersection
en $x$ de la diagonale et du graphe de $g$.

%[DESSIN!]

\begin{proof}
Ainsi, l'isomorphisme 
$$
C\otimes_k C / \Delta \sr{m}{\iso} C
$$
induit un isomorphisme 
$$
C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g)\iso C/\langle g(a)-a ,\ a\in C\rangle.
$$
L'isomorphisme
$$
C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g)\iso \prod_{\wp\in \SP(C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g))} 
\Big(C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g)\Big)_{\wp},
$$
et la bijection $F_g\iso \SP(C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g))$
se traduisent donc en :
$$
C\otimes_k C / \mathrm{Fix}(g)\iso \prod_{x\in F_g} C_x/\langle g(a_x)-a_x ,\ a_x\in C_x\rangle.
$$
La conclusion résulte aussitôt du fait que $\langle g(a_x)-a_x ,\ a_x\in C_x\rangle=
\big(g(\pi_x)-\pi_x\big)$ et du fait que pour $r\neq 0$, $\dim_k C_x/(r)=v_x(r)$.
\end{proof}



Ainsi, la filtration de ramification (du moins dans les cas
anneaux de valuation discrètes qui sont des $k$-algèbres), correspond
à la filtration par le nombre d'intersection du graphe avec la diagonale.

\section{Théorème de irréductibilité de Hilbert}

\begin{thm}\label{Puiseux-analytique}
Soit $f(t,X)\in \CC[t,X]$ un polynôme unitaire en $X$ de degré $n$.
Il existe $\varphi(t)=\sum_{i\geq 0} c_i t^{i/n}\in \CC\[t^{1/n}\]$ telle que
$f(t,\varphi(t))=0$ et la série entière complexe $\sum_{i\geq 0} c_i X^i$ soit
convergente au voisinage de $0$.
\end{thm}

Nous en donnerons une démonstration plus bas.

\begin{crl}
Soit $f(t,X)=X^n+a_1(t)X^{n-1}+\cdots+a_n(t)\in \CC(t)[X]$.
Il existe un entier relatif $r$, un réel $R>0$ et une série
de Puiseux $\varphi(t)=\sum_{i\geq -r} c_i t^{-i/n}$ tels que 
$\varphi$ converge absolument pour tout nombre réel $t>R$ et 
que pour de tels $t$ on ait $f(t,\varphi(t))=0$.
\end{crl}

\begin{proof}
C'est un simple changement de variable, dont voici les détails.
Pour passer d'un voisinage de l'origine à un voisinage de $+\infty$, on 
pose $t_{\infty}=\frac{1}{t}$. On a alors,
en mettant au même dénominateur les $a_i(t_{\infty})\in \CC(t_\infty)$,
on a $f(t_{\infty},X)=X^n+\frac{\widetilde{a_1}(t_\infty)}{P(t_\infty)}X^{n-1}
+\cdots+\frac{\widetilde{a_n}(t_\infty)}{P(t_\infty)}$
pour un $P(t_\infty)\in \CC[t_\infty]-\{0\}$ et des $\widetilde{a_i}(t_\infty)\in \CC[t_\infty]$.
Finalement, $f(t_{\infty},X)=\frac{1}{P^n(t_\infty)} g(t_\infty,(P(t_\infty)X))$, où 
$g\in \CC[t_\infty,Y]$. D'après le théorème précédent, il 
existe une série $\sum_{i\geq 0} c_i t_\infty^{i/n}$ racine de $g$ 
qui converge pour $|t_\infty^{1/n}|$ assez petit.
Il en résulte que $\frac{1}{P(1/t)}\sum_{i\geq 0} c_i t^{-i/n}$ est une racine
de $f(t,X)$, qui converge pour $|t^{1/n}|$ suffisamment grand. 
Comme $\frac{1}{P(1/t)}$ est une série de Puiseux en $1/t$ convergente
pour $t\gg 0$, on a le résultat.
\end{proof}

Démontrons le théorème précédent. Compte tenu de \ref{Puiseux}, quitte
à effectuer un changement de variable $t\mapsto t^{n}$, il
nous suffit de démontrer le théorème suivant :

\begin{thm}\label{clôture algébrique C[[t]]}
Tout élément de $\CC\[t\]$ algébrique sur $\CC[t]$ 
est convergent dans un voisinage de $0$.
\end{thm}

En d'autres termes, $\CC[t]$ est algébriquement clos dans $\CC\[t\]$.
\begin{rmr}
L'argument que nous allons donner montre d'une part que l'anneau
$\CC\{t\}$ des séries convergentes au voisinage de $0$ est également
algébriquement clos dans $\CC((t))$ et d'autre part qu'il 
en est plus généralement ainsi si l'on remplace $\CC$ par un corps $k$
muni d'une valuation non triviale pour laquelle il est complet.
\end{rmr}

\begin{proof}[Démonstration de \ref{clôture algébrique C[[t]]}]
Soit $\varphi=\sum_{0}^{\infty} \alpha_i t^i$ algébrique sur $\CC[t]$.
Notons $f(t,X)$ son polynôme minimal sur $\CC(t)$ :
$$f(t,X)=\prod_{i=1}^d (X-\varphi_i),$$
où $\varphi_i \in \sur{\CC((t))}$ et $\varphi_1=\varphi$. 
Rappelons que le corps $\CC((t))$ peut-être muni d'une valeur absolue
en posant $|t|=c$ pour un $c\in ]0,1[$. Fixons $c$ et notons encore $|\cdot|$ l'unique
extension de celle-ci à $\sur{\CC((t))}$ (\ref{extension-va}).
Comme $f$ est séparable, ses racines $\varphi_i$ sont distinctes et 
$\delta:=\min_{i>1}|\varphi-\varphi_i|>0$. Pour un entier $N$ indéterminé,
introduisons $Y$ défini par 
$$
X=Y+\sum_{0}^N \alpha_i t^i.
$$
Réécrivant $f$ en termes de $Y$, on a :
$$
f(t,X)=f(t,Y+\sum_{j=0}^N \alpha_j t^j)=g(t,Y),
$$
où les racines de $g$ sont maintenant les $\psi_i:=\varphi_i-\sum_{0}^N \alpha_j t^j$.
Remarquons que $\varphi_1=\varphi$ est convergente si et seulement si
il en est ainsi de $\psi:=\psi_1$. De plus $|\psi|\leq |t|^{N+1}$.
Pour $i>1$, on a $|\psi_1-\psi|=|\varphi_i-\varphi|\geq \delta$ ;
pour $N$ suffisamment grand (de sorte que $|\psi|$ soit suffisamment petit), on 
a donc $|\psi_i|\geq \delta$. Enfin, pour ces valeurs de $N$, les $\mu_i:=\frac{\psi_i}{t^N}$
satisfont : $|\mu_1|\leq |t|<1$ et $|\mu_i|\geq \frac{\delta}{|t|^N}$, pour $i>1$.
Pour $N$ plus grand encore, le terme de droite est strictement supérieur à $1$.
La convergence de $\mu_1$ étant équivalente à celle de $\varphi$, on
a donc vérifié que l'on peut supposer notre élément $\varphi$ de valeur
absolue $<1$ et de conjugués $\varphi_i$, $i>1$, de valeurs absolues $>1$.
Le produit $f(t,X)=\prod_i (X-\varphi_i)$ appartient maintenant à 
$\CC(t)[X]$ car on a divisé un élément algébrique sur $\CC[t]$ par $t^N$.
Quitte à multiplier $f$ par une puissance convenable de $t$, on peut 
écrire :
$$
f(t,X)=\underbrace{(\sum_{i\geq 0} b_{0,i}t^i)}_{a_0(t)}+
\underbrace{(\sum_{i\geq 0} b_{1,i}t^i)}_{a_1(t)}X+\cdots +
\underbrace{(\sum_{i\geq 0} b_{d,i}t^i)}_{a_d(t)}X^d
$$
où l'un des coefficients constant $b_{j0}$ est non nul.

Compte tenu de notre hypothèse sur les valuations des racines, 
le polygone de Newton de son image dans $\CC((t))[X]$
n'a qu'une pente strictement négative, de longueur horizontale $1$, les autres 
étant strictement 
positives. (Ce qui ne contredit \emph{pas}
l'irréductibilité sur $\CC(t)$.)
Ce polygone est au-dessus de la droite  des abscisses
%[FIGURE ; page 27']
%\begin{figure}[htbp]
%   \begin{center}
%      \includegraphics[angle=-90]{puiseux}
%   \end{center}
%   \caption{\footnotesize Polygone de Newton}
%\end{figure}

Il en résulte que $v(a_1)=0$, \cad que $b_{1,0}\neq 0$, les autres coefficients
constants étant tous nuls :
$$
f(t,X)=(\sum_{j\geq 1} b_{0,j}t^j)+(\underbrace{b_{1,0}}_{\neq 0}+\cdots)X+\sum_{i=2}^d
\big(\sum_{j\geq 1} b_{i,j}t^j\big)X^i.
$$
Comme $\varphi$ est une racine de $f$, on a donc 
$$
-b_{1,0}\varphi=\underbrace{a_0(t)}_{\mathrm{val}\geq 1}+
\underbrace{\widetilde{a_1}(t)}_{\mathrm{val}\geq 1}\varphi + \sum_{i=2}^d 
\underbrace{a_i(t)}_{\mathrm{val}\geq 1}\varphi^i,
$$
ce que l'on réécrit :
$$
\varphi=\sum_{i=0}^d\big(\sum_{j\geq 1} c_{i,j}t^j\big)\varphi^i.
$$
On sait d'autre part que $\varphi=\sum_{i\geq 1} \alpha_i t^i$ ;
l'équation précédente se traduit en un système d'équations
polynomiales :
$$
(\star)\ \alpha_{m+1}=P_m(\alpha_1,\dots,\alpha_m; (c_{i,j})),
$$
où les polynômes $P_m$, $m\geq 1$, sont à coefficients dans $\NN$ (et donc \emph{positifs}).
Les coefficients $c_{i,j}$ sont en nombre fini ; notons $M:=\max_{i,j} |c_{i,j}|$.
Considérons le cas universel où $d$ est infini et les coefficients $c_{i,j}$ tous égaux
à $M$, pour $j\in \NN-\{0\}$, $i\in \NN$.
Soit $\varphi_M\in \CC\[t\]$, racine de l'équation :
$$
\varphi_M=\sum_{i\geq 0} (Mt+Mt^2+\cdots)\varphi_M^i.
$$
Le terme de droite n'est autre que la série formelle
$$\big(\frac{Mt}{1-t}\big)\frac{1}{1-\varphi_M},$$
et comme $\varphi_M$ s'annule en $0$,
$$\varphi_M=\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{Mt}{1-t}}.$$

Soient $\beta_i$, $i\geq 1$, les coefficients de cette série \emph{convergente}.
Le premier coefficient $\beta_1=M$ est positif ; il résulte
de l'équation $(\star)$ (ou bien de la formule explicite pour cette racine
carrée) que tous les $\beta_m$  sont positifs. Enfin, la même équation, et l'inégalité
$$
|\alpha_{m+1}|\leq P_m(|\alpha_1|,\dots,|\alpha_m|,|c_{i,j}|)
$$
montre par récurrence que pour chaque $m$, $|\alpha_m|\leq \beta_m$.
On amorce cette récurrence en remarquant que par hypothèse sur $M$, 
$|\alpha_1|=|c_{1,0}|\leq M=\beta_1$.
\end{proof}

Voici l'énoncé du théorème d'irréductibilité de Hilbert :

\begin{thm}[Hilbert]\label{Irréductibilité-Hilbert}
Soit $f\in \QQ(t)[X]$ irréductible sur $\QQ(t)$ de degré $d$ et de groupe de Galois 
$G_{f,\mathrm{g\acute{e}n}}$. Notons $\Sigma_f\subset \QQ$ l'ensemble des pôles
de coefficients de $f$. Alors, il existe une infinité de $a\in \ZZ-\Sigma_f$
tels que $f_a:=f(a,X)$ soit irréductible sur $\QQ$, de groupe de Galois 
$G_{f,\mathrm{g\acute{e}n}}$.
\end{thm}

\begin{exm}
On peut montrer que le groupe de Galois de l'équation $X^n-X-t$ est $\got{S}_n$.
%\ref{} [À FAIRE !])
Il en résulte qu'il existe une infinité de $a\in \ZZ$
tel que $f_a=X^n-X-a$ soit irréductible sur $\QQ$ de groupe de Galois $\got{S}_n$.
%(On a vu en \ref{Selmer}, que par exemple $X^n-X-1$ est irréductible.)
\end{exm}

\begin{prp}\label{Hibert-n variables}
Variante sur $\QQ(t_1,\dots,t_n)$.
\end{prp}
%À faire !


\begin{lmm}[Lemme clé]
Soit $\varphi(t)=\sum_{i\geq -r} c_i t^{-i/n}$ une série de Puiseux à coefficients
réels, convergente pour $t\geq R$ qui n'est pas un polynôme à coefficients
rationnels. Soit 
$$\Omega_{\varphi}:=\{t\in \ZZ\cap [R,+\infty[,\ \varphi(t)\in \ZZ\}.
$$
Il existe $\varepsilon>0$ tel que 
$$
\# \Omega_{\varphi}\cap [1,B]\sr{B\ra +\infty}{=}\mathsf{O}(B^{1-\varepsilon}).
$$
\end{lmm}

\begin{proof}
Si $\varphi$ est un polynôme, à coefficients non tous rationnels,
il ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs rationnels en des entiers.
On donc supposer dans la suite que $\varphi$ n'est pas un polynôme.
Il existe $n\geq 1$ tel que les exposants de la dérivée $(n-1)$-ième
$\varphi^{(n-1)}$ sont tous négatifs  (et $\varphi^{(n-1)}\neq 0$).
En particulier, 
$$\varphi^{(n-1)}(t)\sr{t\ra +\infty}{\sim} c_1 t^{-\mu}$$
pour une constante $c_1\in \RR^{\times}$ et un nombre rationnel $\mu>0$.

\begin{sslmm}Il existe $\alpha,c>0$ tels que si $t\gg 1$,
$[t,t+ct^{\alpha}]\cap \Omega_{\varphi}$ contient au plus $n-1$ points.
\end{sslmm}
\begin{proof}
Soient $t_1<\cdots<t_n$ $n$ points de $\Omega_\varphi$ et posons
$y_i:=\varphi(t_i)\in \ZZ$.
Il existe un unique polynôme $P$ de degré $n-1$ interpolant $\varphi$ en les 
$t_i$ :
$$
P(t)=\sum_j y_j \frac{\prod_{i\neq j}(t-t_i)}{\prod_{i\neq j}(t_j-t_i)}.
$$
La fonction $\varphi-P$ étant nulle en ces $n$ points, il existe $\xi\in [t_1,t_n]$
tel que $\varphi^{(n-1)}(\xi)=P^{(n-1)}(\xi)$. Le terme de droite
est, à un facteur près, le coefficient dominant de $P$ :
$$
P^{(n-1)}(\xi)=(n-1)!\sum_j \frac{y_j}{\prod_{i\neq j}(t_j-t_i)}\in \QQ.
$$
En particulier, le dénominateur est inférieur à $|\prod_{i\neq j}(t_j-t_i)|\leq 
|t_n-t_1|^{\frac{n(n-1)}{2}}$. Pour $t_1$ suffisamment grand,
$$0<|\varphi^{(n-1)}(\xi)\leq c_2t_1^{-\mu}$$
pour une constante $c_2>0$ si bien que si $l:=t_n-t_1$ on a à la fois :
$$
\left\{\begin{array}{l}
1\leq l^{\frac{n(n-1)}{2}}|\varphi^{(n-1)}(\xi)| \\
l^{\frac{n(n-1)}{2}}  c_2t_1^{-\mu} \geq 1
\end{array}\right.
$$
Il en résulte que $$l\geq c_3 t_1^{\alpha}$$ où
$\alpha=\frac{2\mu}{n(n-1)}$ et $c_3>0$. 
\end{proof}

Posons $\varepsilon:=\frac{1}{1+\alpha}<1$.
Pour $B>1$ fixé, décomposons $[1,B]$
en $[1,B^\varepsilon]\cap [B^\varepsilon,B]$. Dans le premier intervalle, le nombre d'éléments
de $\Omega_{\varphi}$ est tautologiquement $\mathsf{O}(B^{\varepsilon})$.
L'intervalle restant $[B^\varepsilon,B]$ se décompose en intervalles de longueur
$cB^{\alpha \varepsilon}$, qui s'intersectent en au plus $n-1$ points avec $\Omega_{\varphi}$.
Ces intervalles étant en nombre $\mathsf{O}(B/B^{\alpha\varepsilon})$,
on a donc
$$\# \Omega_{\varphi}\cap [1,B]=\mathsf{O}(B^{\varepsilon}+B^{1-\alpha\varepsilon})=
\mathsf{O}(B^\varepsilon).$$
\end{proof}

Soit $f$ comme dans \ref{Irréductibilité-Hilbert}.
Chaque $a\in \ZZ$ définit une surjection 
$A=\QQ[t]\ra \QQ$, $t\mapsto a$, \cad un idéal maximal $\MM_a=(t-a)$
de $\QQ[t]$. On a vu a plusieurs reprises (cf. par exemple \ref{spécialisation})
que le groupe de Galois de $f_a$ est isomorphe à un 
sous-groupe de $G_{f,\mathrm{g\acute{e}n}}$ : le groupe de Galois de la spécialisation 
est plus petit que le groupe de Galois « générique ».
On veut montrer qu'ils sont en fait souvent isomorphes.
Par un argument relativement standard de théorie de Galois, nous ramènerons
cette question à la proposition suivante (qui donne son nom au théorème).

\begin{prp}\label{Irréductibilité-prp}
Sous les hypothèses de \ref{Irréductibilité-Hilbert}, il existe une infinité de $a\in 
\ZZ-\Sigma_f$ tel que $f_a$ soit irréductible sur $\QQ$. Plus généralement,
on a un énoncé semblable avec un nombre arbitraire fini de polynômes.
\end{prp}

\begin{proof}
Quitte à remplacer $f(t,X)$ en $f(t,q(t)X)$, pour un polynôme $q\neq 0$,
et factoriser, on peut supposer $f\in \QQ[t,X]$, unitaire en $X$.
D'après le théorème de Puiseux, et sa variante analytique, il existe un 
entier $e\in \NN-\{0\}$ (qui divise le degré $d$ de $f$ en $X$) et 
$d$ séries $\varphi_1,\dots,\varphi_d\in \sur{\QQ}((t^{-1/e}))$ convergentes pour
tout $|t|\gg 1$ (on suppose choisi un plongement $\sur{\QQ}\hra \CC$) telles
que $$f(t,X)=\prod_{i=1}^d(X-\varphi_i(t)).$$ 
Pour tout sous-ensemble $I\subset [1,d]$, notons
$$g_I(t,X):=\prod_{i\in I}(X-\varphi_i(t))$$
le produit des facteurs correspondants.
Comme $f$ est supposé irréductible dans $\QQ(t)[X]$, si 
$I$ n'est ni $\vide$, ni $[1,d]$, $g_I\notin \QQ(t)[X]$.
Pour tout tel $I$, il existe donc un coefficient $c_I$ de $g_I$ qui appartienne
à $\sur{\QQ}((t^{-1/e}))-\QQ(t)$. D'autre part, les $c_I$ sont entiers sur 
$\QQ[t]$ (car les $\varphi_i$ le sont) si bien qu'il existe $N\in \ZZ-\{0\}$
tel que si $c_I(a)\in \QQ$ pour un $a\in \ZZ$, $Nc_I(a)\in \ZZ$. D'après le
lemme clé précédent, appliqué aux parties réelles et imaginaires des
$Nc_I$, il existe une
infinité de $a\in \ZZ$ tels que les $c_I(a)$ n'appartiennent pas à $\QQ$. Pour
de telles valeurs, les $g_I(a,X)$, qui sont les diviseurs non triviaux
de $f_a$ dans $\CC[X]$, n'appartiennent pas à $\QQ[X]$. Ainsi $f_a$ est irréductible
sur $\QQ$. L'énoncé avec plusieurs polynômes se démontre de même. 
\end{proof}

On laisse le soin au lecteur de préciser une version quantitative de la proposition
précédente et du théorème de Hilbert.

\begin{proof}[Fin de la démonstration de \ref{Irréductibilité-Hilbert}]
Supposons $f\in \QQ[t,X]$ unitaire (cf. \emph{supra}).
Soit $K$ une clôture galoisienne de $\QQ(t)_f:=\QQ(t)[X]/f$ ; d'après le théorème
de l'élément primitif, il existe $F\in \QQ[t,X]$ séparable unitaire tel que $K$ soit
$\QQ(t)$-isomorphe à $\QQ(t)_F:=\QQ(t)[X]/F$. Ainsi, $G_{F,\mathrm{g\acute{e}n}}$
est isomorphe à $G_{f,\mathrm{g\acute{e}n}}$.

Le discriminant de $f$ (resp. $F$) est un polynôme en $t$, non nul par hypothèse. 
Ces deux polynômes n'ont donc qu'un nombre fini de zéros dans $\QQ$ si bien que pour
presque tout $a\in \QQ$ (\cad tous sauf un nombre fini), $f_a$ et $F_a$ sont séparables.
D'après la proposition \ref{Irréductibilité-prp}, il existe une infinité de $a\in \ZZ$
tels que $F_a:=F(a,X)$ et $f_a:=f(a,X)$ soient irréductibles sur $\QQ$, et séparables.
Pour ces valeurs, le groupe de Galois $G_{F_a}$ de la spécialisation est
isomorphe à un sous-groupe de $G_{F,\mathrm{g\acute{e}n}}$, \emph{a priori} plus
petit. Comme d'une part $\# G_{F,\mathrm{g\acute{e}n}}=\deg_X F$ 
(car $\QQ(t)_F/\QQ(t)$ est galoisienne)
et d'autre part $\#G_{F_a}\geq \deg_X F_a=\deg_X F$ 
(car $F_a$ est supposé irréductible), on a finalement
$G_{F_a}\isononcan G_{F,\mathrm{g\acute{e}n}}\isononcan G_{f,\mathrm{g\acute{e}n}}$ 
pour $a\in A\subset \ZZ$, où $A$ est infini. Pour conclure, il nous suffit de démontrer
que pour $a$ comme précédemment, $f_a$ et $F_a$ ont des corps de décomposition
sur $\QQ$ isomorphes, sauf éventuellement pour un nombre fini de valeurs.
On aura alors $G_{f_a}\isononcan G_{F_a}$ donc isomorphe à $G_{f,\mathrm{g\acute{e}n}}$. 


L'idée est la suivante : il existe des critères
simples en terme d'algèbre linéaire pour tester si une extension
contient une clôture galoisienne d'une extension séparable donnée ou bien si elle est contenue
dans une telle clôture. La nature même de ces énoncés fait que
leur validité « générique » (\cad sur $\QQ(t)$) entraîne leur validité
pour presque tout $a$ comme ci-dessus. Voici les détails.

Par hypothèse $\QQ(t)_F$ décompose $f$ : on a un isomorphisme
de $\QQ(t)_F$-algèbres, $\QQ(t)_f\otimes_{\QQ(t)} \QQ(t)_F\isononcan \QQ(t)_F^d$.
Heuristiquement, on veut «~étendre~» cet isomorphisme à un «~ouvert~» de 
$\QQ[t]$\footnote{Le langage des schémas permet de rendre formaliser cette heuristique
en topologisant $\SP(\QQ[t])$, de telle sorte que l'ensemble à un élément
$\SP(\QQ(t))\hra \SP(\QQ[t])$ soit un point \emph{générique}, \cad d'image dense (sic!).}.
Plus précisément : $\QQ(t)_f=\big(\QQ[t,X]/f\big)\otimes_{\QQ[t]}\QQ(t)$,
et de même pour $F$, si bien que l'isomorphisme précédent se réécrit 
$$
\big((\QQ[t,X]/f)\otimes_{\QQ[t]} \QQ[t,X]/F\big)\otimes_{\QQ[t]} \QQ(t)
\isononcan \big(\QQ[t,X]/F\big)^d \otimes_{\QQ[t]} \QQ(t).
$$
Considérons $A_1:=(\QQ[t,X]/f)\otimes_{\QQ[t]} (\QQ[t,X]/F)$ et $A_2:=\big(\QQ[t,X]/F\big)^d$. Ce
sont des $(\QQ[t,X]/F)$-algèbres,  finies et libres, qui sont « génériquement » isomorphes,
\cad que $A_1\otimes_{\QQ[t]} \mathrm{Frac}(\QQ[t])\isononcan_{\QQ(t)_F}
A_2\otimes_{\QQ[t]} \mathrm{Frac}(\QQ[t])$.
Un tel isomorphisme n'est pas nécessairement défini sur $\QQ[t]$ mais c'est 
le cas presque partout : il suffit d'éviter les pôles, cf. \ref{isomorphisme-générique}.
%[DÉTAILLER ! FAIRE ATTENTION QUE COMME MODULE C'EST TRIVIAL : ON VEUT
%UN MORPHISME D'ALGÈBRES !]
Pour chaque $a\in \QQ$, la $\QQ$-algèbre $\QQ_{f_a}:=\QQ[X]/f_a$ est la réduction 
modulo $(t-a)$ de $\QQ[t,X]/f$ : $$\QQ[X]/f_a\isononcan_{\QQ} (\QQ[t,X]/f)\otimes_{\QQ[t],a} 
\QQ,$$ où $\QQ[t]\ra \QQ$ est le morphisme d'évaluation en $t$, $t\mapsto a\in \QQ$.
On vient de voir que, quitte à restreindre $A$, on peut donc supposer que 
pour $a\in A\subset \ZZ$, $\QQ_{f_a}$ 
soit décomposée par l'extension $\QQ_{F_a}$ au sens où
$$\QQ_{f_a}\otimes_{\QQ} \QQ_{F_a}\isononcan_{\QQ_{F_a}} \QQ_{F_a}^d.$$
Comme $\QQ_{F_a}$ est un corps, cela signifie simplement que 
$\QQ_{F_a}$ est un corps de décomposition de $f_a$\footnote{Remarquez que 
l'on retrouve ainsi sans usage de discriminant le fait que $f_a$ est 
presque toujours séparable.}.
On veut montrer qu'en fait $\QQ_{F_a}$ est une clôture normale de $\QQ_{f_a}$.
Pour cela nous ferons usage du lemme suivant qui permet de passer
simplement d'un énoncé générique à un énoncé spécialisé.

\begin{sslmm2}\label{critère-linéaire-normal}
Soient $L/K$ une extension finie séparable de degré $d$
et $L'/L$ est une clôture galoisienne de $L/K$. Alors, il existe
une $K$-surjection 
$$
L\otimes_K \cdots \otimes_K L=:L^{\otimes_K d!}\surj L'.
$$
Réciproquement si $L'/K$ satisfait ce critère,
elle est contenue dans une clôture galoisienne de $L/K$.
\end{sslmm2}
\begin{proof}
Soit $L'/K$ une clôture galoisienne de $L/K$, de groupe de Galois 
$G=\ga(L'/K)$. Par hypothèse, $L'$ est engendré par les sous-corps $g(L)$
conjugués de $L$. Il 
en résulte que le morphisme
$$\begin{array}{l}
\underbrace{L\otimes_K \cdots \otimes_K L}_{\# G\text{\ fois}}\ra L'\\
\otimes_{g\in G} a_g \mapsto \prod_{g\in G} g(a_g)
\end{array}
$$
est une surjection. Comme $\# G\leq d!$
et que pour tout $r\geq 1$ il existe une surjection $L^{\otimes_K r}\surj L$,
il existe au moins une surjection $L^{\otimes_K d!}\surj L^{\otimes_K \# G}$ qui 
permet, par composition, de répondre à la question.

Réciproquement, soient $L'/K$ comme plus haut. Si $\widetilde{L}/K$ est 
une clôture galoisienne de $L/K$, on a une inclusion de $K$-algèbres :
$$
L^{\otimes_K d!}\hra \widetilde{L}^{\otimes_K d!}.
$$
Par hypothèse $L'$ est un corps résiduel de la $K$-algèbre étale de gauche.
Une algèbre étale sur $K$ étant isomorphe au produit de ses corps résiduels, 
$L'$ est donc un sous-corps d'un corps résiduel de l'algèbre de droite.
Or on sait (d'après \ref{auto décomposition} et une récurrence) que le terme
de droite est une $K$-algèbre isomorphe à un produit de copies de $\widetilde{L}$.
Finalement $L'$ est isomorphe à un sous-corps de $\widetilde{L}$.
\end{proof}

Par hypothèse $\QQ(t)_F/\QQ(t)$ est une clôture galoisienne de $\QQ(t)_f/\QQ(t)$ :
il existe donc une surjection $\QQ(t)_f^{\otimes_{\QQ(t)} d!}\surj \QQ(t)_F$,
où $d=\deg_X f$. Comme
$$
\QQ(t)_f^{\otimes_{\QQ(t)} d!}\isononcan_{\QQ(t)} \big((\QQ[t,X]/f)^{\otimes_{\QQ[t]} d!}\big)
\otimes_{\QQ[t]} \QQ(t),
$$
la proposition \ref{isomorphisme-générique} montre comme plus haut
que pour presque toute les valeurs de $a\in \QQ$, 
il existe une surjection de $\QQ$-algèbres $\QQ_{f_a}^{\otimes_{\QQ} d!}\surj \QQ_{F_a}$.
D'après le lemme précédent, cela montre que $\QQ_{F_a}$ est contenue dans 
une clôture normale de $\QQ_{f_a}$ (pour $a\in A-\{\text{ens. fini}\}$).
Comme on sait déjà que pour ces valeurs $\QQ_{F_a}/\QQ$ diagonalise $\QQ_{f_a}$,
on a bien montré que c'est une clôture normale de $\QQ_{f_a}$.
CQDF.
\end{proof}

Enfin, voici une application :

\begin{thm}[$\got{S}_n$ par voie générique]\label{S_n-3}
Pour tout $n\geq 1$, il existe une infinité
d'entiers $a_0,\dots,a_{n-1}\in \ZZ$ tel que le polynôme
$X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_0$ soit irréductible sur $\QQ$
de groupe de Galois $\got{S}_n$.
\end{thm}

\begin{proof}
Cela résulte d'une part du fait que le groupe de Galois sur $\QQ(t_0,\dots,t_{n-1})$
de $X^n-t_{n-1}X^{n-1}+\cdots+(-1)^n t_0$ est $\got{S}_n$ et d'autre part du 
théorème d'irréductibilité de Hilbert sous la forme
\ref{Hilbet-n variables} [À rédiger : variantes à
plusieurs variables].
\end{proof}