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\chapter{Méthodes globales}

\section{Fonction zêta de Dedekind}

\begin{thm}\label{pôle en 1 de Dedekind}
Soient $K/\QQ$ une extension finie galoisienne et $\mc{O}_K$ la normalisation
de $\ZZ$ dans $K$. La fonction zêta de Dedekind,
$$
\zeta_K(s):=\prod_{\wp \in \SP\max(\mc{O}_K)} \frac{1}{1-\mathrm{N}\wp^{-s}}
$$
est absolument convergente pour $s$ réel $>1$ et il existe une constante $C_K>0$
telle que 
$$
\zeta_K(s)\sr{s\ra 1+}{\sim} \frac{C_K}{s-1}.
$$
\end{thm}

En particulier, on a bien
$$
\log \zeta_K(s)\sr{s\ra 1+}{\sim} \log(\frac{1}{s-1})
$$
comme utilisé en \ref{point clé Frob}.

\begin{rmr}
On peut montrer plus précisément que $\zeta_K$ se prolonge en une fonction méromorphe
sur $\CC$. La méthode que nous donnons ici, plus élémentaire, prouve
en fait sans beaucoup plus de travail que $\zeta_K$ se prolonge à une fonction
méromorphe sur $\mathrm{Re} s > 1-[K/\QQ]^{-1}$.
\end{rmr}

Dans la première section, nous allons démontrer quelques faits généraux sur
l'anneau $\OO_K$.

\section{Anneaux de Dedekind}

\begin{dfn}
Un anneau intègre $A$ est dit de \emph{Dedekind} s'il est normal, noethérien de dimension $1$.
\end{dfn}

Il en résulte que si $\wp\in \SP\max(A)$, le localisé $A_\wp$ est un anneau
de valuation discrète (cf \ref{dimension localisé}). De plus, tout 
idéal premier non nul est maximal.

\begin{prp}\label{décomposition idéaux}
Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\SP\max(A)$ 
et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_\wp(\got{a})$, $\wp\in S$,
tels que $$\got{a}=\prod_{\wp\in S} \wp^{n_\wp(\got{a})}.$$
De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si 
$n_{\wp}(\got{a})\leq n_{\wp}(\got{a}')$ pour tout $\wp\in \SP\max(A)$,
où l'on pose $n_{\wp}(\got{a})=0$ (resp. $n_{\wp}(\got{a}')=0$) 
pour $\wp\notin S_{\got{a}}$ (resp. $\wp\notin S_{\got{a}'}$).
\end{prp}

\begin{proof}
Pour chaque $\wp\in \SP\max(A)$, notons comme d'habitude $\got{a}A_{\wp}$ 
l'idéal du localisé $A_\wp$ engendré par l'image de $\got{a}$ par $A\ra A_\wp$.
Comme $A_\wp$ est un anneau de valuation discrète, il existe un unique
entier $n_{\wp}\geq 0$ tel que $\got{a}A_{\wp}=\wp^{n_\wp}A_{\wp}$.


Montrons que pour presque tout $\wp$, l'entier $n_\wp$ ainsi défini
est nul. Remarquons que si $n_\wp>0$, $\wp$ contient $\got{a}$
car si $a\notin \wp$, $(a)A_\wp=A_\wp$.
L'anneau quotient $A/\got{a}$ est noethérien et comme $\got{a}\neq 0$, 
il est de dimension nulle. Son spectre est donc fini (\ref{anneau dimension nulle}) ;
il n'existe donc qu'un nombre fini d'idéaux premier $\wp$ contenant $\got{a}$.
Soit $X$ l'ensemble de $\wp$ tels que $n_{\wp}>0$\footnote{On peut
vérifier que c'est l'ensemble des idéaux premiers associés au
$A$-module $A/\got{a}$, cf \ref{idéaux premiers associés}.}.
Considérons l'idéal $\got{a}':=\prod_{\wp\in X} \wp^{n_{\wp}}$.
L'idéal $\got{a}$ et l'idéal $\got{a}'$ coïncident localement :
pour tout $\wp\in \SP(A)$, $\got{a}A_{\wp}=\got{a}'A_{\wp}$. (Pour $\wp=(0)$
cela résulte du fait qu'ils sont tous deux non nuls.)
La conclusion résulte alors du lemme ci-dessous, appliqué aux inclusions
$\got{a}\hra \got{a}+\got{a}'$ et $\got{a}'\hra \got{a}+\got{a'}$. 
L'unicité et le second énoncé découlent de la démonstration.
%[À FAIRE ?]
\end{proof}

\begin{lmm}
Soient $A$ un anneau et $i:M_1\hra M_2$ une injection entre deux $A$-modules.
Supposons que pour tout $\wp\in\SP(A)$, 
$i_\wp:M_1\otimes_A A_\wp\ra M_2\otimes_A A_\wp$ soit un isomorphisme.
Alors, $i$ est un isomorphisme.
\end{lmm}

\begin{proof}
Soit $K$ le conoyau de $i$, \cad le quotient $M_2/M_1$ ; on veut montrer qu'il 
est nul.
La suite exacte $$0\ra M_1\sr{i}{\ra} M_2 \ra K\ra 0$$
induit pour chaque $\wp$, par platitude de la localisation (\ref{platitude localisation})
une suite exacte :
$$
0\ra M_1\otimes_{A} A_\wp \sr{i}{\ra} M_2\otimes_A A_\wp \ra K\otimes_A A_\wp=:K_{\wp}\ra 0.
$$
Notre hypothèse indique que $K_\wp$ est nul pour tout $\wp\in \SP(A)$.
Un tel $A$-module est nécessairement nul. Supposons en effet qu'il existe
$k\in K$ non nul. On a donc une inclusion $A/\got{a}\iso Ak\hra K$, où l'annulateur
$\got{a}$ de $k$ est différent de $A$. Soit $\wp$ un idéal premier de $A$ contenant
$\got{a}$. Par hypothèse, $A/\got{a}\otimes_A A_\wp$ est nul. C'est absurde
car $0\neq A_\wp/\wp A_\wp$ est un quotient  de $A_\wp / \got{a}A_\wp$.
\end{proof}



\begin{prp}
Soit $A$ un anneau de Dedekind. Tout idéal fractionnaire non nul
est inversible.
\end{prp}

Cf. \ref{fractionnaire} et \ref{inversible} pour les définitions.

\begin{proof}
Si $A$ est un anneau de valuation discrète, cela résulte
du fait qu'un tel idéal $I$ est isomorphe comme $A$-module à $A$.
Dans le cas général, on remarque que l'évaluation
$I\otimes_A I^{\vee}\ra A$ est un isomorphisme si et seulement si
c'est vrai après localisation en tous les idéaux maximaux. Comme la
formation du dual commute à la localisation, on se ramène donc au cas précédent.
\end{proof}

On vérifie immédiatement que si $I$ est un idéal fractionnaire non nul,
$$
\begin{array}{l}
\{x\in K, xI\subset A\}\ra \Hom_A(I,A)=:I^{\vee}\\
x \mapsto \big(i\mapsto xi\big)
\end{array}
$$
est un isomorphisme.

\begin{dfn}
Un corps $K$, extension finie de $\QQ$, est appelé un \emph{corps de nombres}.
La normalisation de $\ZZ$ dans ce corps est appelé l'\emph{anneau des entiers} de
$K$.
\end{dfn}


\begin{thm}\label{Pic fini}
Soit $K$ un corps de nombres. Le groupe de Picard de l'anneau
des entiers $\mc{O}_K$ de $K$ est fini.
\end{thm}

Chaque classe $C\in \pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$. 
Pour borner les possibilités sur $\got{c}$, il suffit de borner $N(\got{c}):=\#(\OO_K/\got{c})$.
Supposons en effet qu'il existe une constante $\mu_K$ telle que l'on puisse
supposer $N(\got{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\got{c}$.
Si $\got{c}=\prod \wp^{n_\wp}$, $N(\got{c})=\prod N(\wp)^{n_\wp}$ si bien qu'à la fois
les $N(\wp)$ et les $n_\wp$ sont bornés. Comme $N(\wp)$ est une puissance du nombre premier
$p=\wp\cap \ZZ$, et qu'il existe au plus $[L:K]$ idéaux premiers au-dessus de $p$, 
il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\got{c}=\prod \wp^{n_\wp}$.

Si $\got{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte
du lemme \ref{déterminant-norme} ci-dessous.
Admettons un instant le fait suivant :
\begin{lmm}
Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\got{a}$, il 
existe $0\neq x\in \got{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\got{a})$.
\end{lmm}
Soit $C\in \pic(\mc{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\got{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mc{O}_K$.
et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \got{a}$, il existe
un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$
(cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors
$\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$.

Démontrons le lemme. On a vu en \ref{normalisation finie} que $\OO_K$ est un
$\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$
car $\OO_K\otimes_{\ZZ} \QQ \iso K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}).
Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $\OO_K$ sur $\ZZ$ et notons
$\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K\hra \CC$.
Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$
Soit $\got{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$
tel que 
$$
m^d\leq \mathrm{N}(\got{a}) < (m+1)^d.
$$
Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe
deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence
appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que 
$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD.


\begin{lmm}\label{déterminant-norme}
Soit $u:\QQ^n\ra \QQ^n$ une application linéaire inversible qui stabilise $\ZZ^n$.
Alors,
$$
|\mathrm{d\acute{e}t}(u)|=\#\ZZ^n/u(\ZZ^n).
$$
En particulier, le terme de droite est fini.
\end{lmm}
\begin{proof}
En effet, il existe des bases $e_i,f_j$ de $\ZZ^n$ et des entiers non nuls $d_i$ tels que 
$u(e_i)=d_i f_i$ pour chaque $i\in [1,n]$.
En particulier, $\mathrm{d\acute{e}t}(u)=\prod_i d_i=\# \bigoplus_i \ZZ f_i/d_i\ZZ f_i=\#\ZZ^n/u(\ZZ^n)$.
\end{proof}

%Normaliser notations Spec max (sans point cf. ci-dessous versus avec ci-dessus).


\begin{thm}[Théorème des unités de Dirichlet]\label{Dirichlet-unités}
Soit $K$ un corps de nombres. Soient $r_{\RR},r_{\CC}$ les entiers tels que :
$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR}\isononcan_{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$ 
Alors, le groupe $\OO_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $\OO_K$ 
est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$.
\end{thm}

Compte tenu de la définition, on a $r_\RR+2r_\CC=[K:\QQ]$ : la $\RR$-algèbre $K_\RR$ 
est de dimension $[K:\QQ]$. On dit que $r_\RR$
(resp. $r_\CC$) est le nombre de plongements réels (resp. complexes) de $K$.
%Pour $\iota : K\hra \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ choisi, on notera
%$\iota_\RR$ (resp. $\iota_\CC$) le morphisme $\KK\ra \RR^{r_\RR}$ (resp.
%$K\ra \CC^{r_\CC}$) correspondant.

\begin{proof}
C'est sans surprise que nous allons considérer l'image de $\OO_K$ dans $K_\RR$ :

\begin{lmm2}
Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique
$K\hra K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(\OO_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers
est un \emph{réseau}, \cad un sous-groupe \emph{discret} de $\RR^n$ tel que 
le quotient soit \emph{compact}.
\end{lmm2}
De façon équivalente, son image est un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$
engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants (\cite{Topologie@Bourbaki}, chap.~\textsc{vii}).

\begin{proof}
On sait déjà que $\OO_K$ est un $\ZZ$-module libre de rang $[K:\QQ]$ (l'extension
$K/\QQ$ est séparable) ; il en est donc de même de son image par $\iota$.
Comme $\OO_K\otimes_{\ZZ} \QQ\iso K$, il existe une base de $\OO_K$ sur $\ZZ$
qui  forme une base du $\QQ$-espace vectoriel $K$.
L'image de cette base par $x\mapsto x\otimes_{\QQ} 1_\RR$, $K\ra K_\RR$, est une base
du $\RR$-espace vectoriel $K_\RR$\footnote{Pour une interprétation
à l'aide de discriminants, cf. \ref{covolume-discriminant} \emph{infra}.}.
\end{proof}

\emph{Fixons dorénavant un isomorphisme $K_\RR\isononcan \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}.
Les morphismes $\log_{\RR}:\RR^{\times}\ra \RR$, $x\mapsto \log(|x|)$
et $\log_{\CC}:\CC^{\times}\ra \RR$, $y\mapsto \log(|y|^2)$ définissent
un morphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite)
$$
\log:\big(\RR^{r_{\RR}}\times \CC^{r_\CC}\big)^\times\ra \RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}.
$$
Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}\ra 
\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}\iso \RR^{r_\RR+r_\CC}$.


Soit $u\in \OO_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$, 
est un entier relatif ; comme il en est de même de $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u^{-1})
= \mathrm{N}_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$.
Ceci ce traduit, sur $\RR$, en l'appartenance 
$$
\log \iota(u)\in H=\{(x_i)\in \RR^{r_\RR+r_\CC},\ \sum x_i=0\}.
$$
Cela résulte de l'égalité 
$\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\mathrm{N}_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$,
jointe au fait que sur $K_{\RR}/\RR$ la norme est essentiellement le produit
des coordonnées. Plus précisément, $\mathrm{N}_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$
(de même avec un nombre arbitraire de facteurs) donc
l'égalité $\mathrm{N}_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que
le produit (pondéré) des coordonnées est $\pm 1$. Passant au logarithme
des valeurs absolues, on obtient $0$ en sommant.

Enfin, l'image inverse par $\log: \OO_K^{\times} \ra \RR^{r_\RR+r_\CC}$ 
de toute partie bornée est \emph{finie}.
Soit en effet $E\subset \OO_K^{\times}$, ou plus généralement
$E\subset \OO_K^{\times}$, telle que $\log(E)\subset \RR^{r_\RR+r_\CC}$ soit
bornée. En particulier, l'image $\iota(E)$ de $E$ dans $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ 
est bornée. 
Or, si $e\in E$, les coordonnées de $\iota(e)$, ainsi que leurs conjugués complexes,
sont exactement les racines conjuguées sur $\QQ$ de $e$ dans $\CC$.
Si celles-ci sont bornées en valeur absolue, il en est de même des coefficients
du polynôme minimal de $e$. Comme celui-ci est également à coefficients entiers,
il n'y a qu'un nombre fini de possibilité pour un tel polynôme et finalement
pour $e\in \OO_K$. 

Il en résulte que $\log(\OO_K^{\times})$ est un sous-groupe de $\RR^{r_\RR+r_\CC}$
tel que toute partie bornée soit finie. C'est donc un réseau (\ref{réseau-R^n}),
de rang inférieur à $r_\RR+r_\CC-1$ car il est contenu dans l'hyperplan $H$.

Il en résulte également que le noyau de $\OO_K^{\times}\ra \RR^{r_\RR+r_\CC}$ est \emph{fini}.

Les deux lemmes suivants montrent que ce rang est exactement $r_\RR+r_\CC-1$.

\begin{lmm2}[Lemme chinois non archimédien]
Pour tout $1\leq k \leq r_{\RR}+r_\CC$, il existe $u\in \OO_K^{\times}$ 
tel que $\log_i (u)$, la $i$-ième composante de $\log(u)$, soit $<0$ pour tout $i\neq k$.
\end{lmm2}

\begin{proof}
Commençons pas un résultat que nous allons itérer pour produire $u$ comme plus haut.

\begin{sslmm2}
Il existe une constante $\mu_K$ 
telle que pour tout $0\neq \alpha\in \OO_K$, il existe $0\neq \beta\in \OO_K$ satisfaisant :
$$\left\{ \begin{array}{l}
\log_i(\alpha)>\log_i(\beta),\ i\neq k \\
\mathrm{N}_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K
\end{array}\right.$$
\end{sslmm2}

\begin{proof}[Démonstration du sous-lemme]
Soit $\alpha$ comme ci-dessus. Supposons donnés des nombres réels positifs
satisfaisant $c_{i,\alpha}< \exp(\log_i (\alpha))$ pour $i\neq k$.
Pour chaque constante $C_{k,\alpha}>0$, considérons :
$$
E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha}):=\{(x_i)_{1\leq i \leq r_\RR+r_\CC}\in \RR^{r_\RR}\times 
\CC^{r_\CC},\ 
\left\{ \begin{array}{l}
|x_i|^{1\text{ou }2} \leq c_{i,\alpha}, \text{pour } i\neq k\\
|x_k|^{1\text{ou }2} \leq C_{k,\alpha}
\end{array}\right.\}
$$
(Ici «~$1\text{ou }2$» vaut $1$ si le facteur correspondant est $\RR$ et $2$ sinon.)

On muni chaque facteur $\RR$ et $\CC$ de la mesure de Lebesgue usuelle et 
le produit est muni de la mesure produit.
L'ensemble précédent est une partie de $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ qui est
fermée (donc mesurable), symétrique par rapport 
à l'origine et convexe. Son volume est 
$$2^{r_\RR}\pi^{r_\CC}\big(\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}\big).$$
Soit $\mu_K>0$ une constante telle que 
$$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]} 
\mathrm{covol}(\iota(\OO_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$
À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que 
$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$,
\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour
ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap \OO_K$. Un tel $\beta$ satisfait les 
conditions du lemme.
\end{proof}

Démontrons le «~lemme chinois~».
Choisissons $k$ et considérons un $\alpha\in \OO_K$ non nul quelconque. En vertu
du résultat précédent, on peut construire une suite de $\beta_m$ dont les 
normes sont bornées tels que les $i\neq k$-composantes des logarithmes décroissent
strictement. L'ensemble de idéaux $(\beta_m)$ étant fini (par finitude des normes), il existe
$m'>m$ tel que $(\beta_m)=(\beta_{m'})$. On a alors $\beta_{m'}=\beta_{m} u$ pour
une unité $u\in \OO_K^{\times}$. Elle satisfait les conclusions du lemme.
\end{proof}

\begin{lmm2}
Soit $A$ une matrice telle que les éléments de la diagonale soit $>0$,
ceux hors de la diagonale $<0$ et enfin que la somme des coefficients 
sur une ligne soit nulle.
Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$.
\end{lmm2}
\begin{proof}
Exercice.
%À faire.
\end{proof}
\end{proof}

Revenons à la démonstration du théorème \ref{pôle en 1 de Dedekind}.
\begin{lmm}
Soit $K$ un corps de nombres.
On a 
$$
\zeta_K(s):=\prod_{\wp\in \SP\max(\OO_K)} \frac{1}{1-\mathrm{N}\wp^{-s}}=
\sum_{(0)\neq \got{a}\subset \OO_K} \frac{1}{\mathrm{N}(\got{a})^{s}}
$$
et la série de droite converge absolument pour $s>1$.
\end{lmm}
\begin{proof}
L'égalité de droite résulte de ce que chaque idéal non nul
se décompose en un produit de puissances d'idéaux premiers, comme
dans le cas où $K=\QQ$.
La convergence résulte de ce que pour chaque nombre premier $p$,
et tout $s>0$,
$$\prod_{p|\wp} (1-N\wp^{-s})^{-1}\leq \Big((1-p^{-s})^{-1}\Big)^{[K:\QQ]}.$$
On a donc $\zeta_K(s)\leq \zeta_{\QQ}(s)^{[K:\QQ]}$.
(Voir aussi \ref{point clé Frob}.)


\end{proof}



De façon générale, on appelle \emph{série de Dirichlet} toute
série de la forme $\sum_n \lambda_n n^{-s}$. La fonction zêta
de Dirichlet est donc une série de Dirichlet. Nous renvoyons le
lecteur à  \cite{Cours@Serre}, chapitre ?, 
pour une courte introduction et une démonstration du théorème de la progression
arithmétique à l'aide de ces séries.

Ainsi, $\zeta_K(s)=\sum_{n\geq 1} \frac{N_n}{n^s}$ où $N_n$ est le nombre d'idéaux
de $\OO_K$ de norme $n$. Si l'on note, pour chaque classe $[C]\in \pic(\OO_K)$,
$N_n([C])$ le nombre de tels idéaux dans $[C]$, on a alors tautologiquement :
$$
\zeta_K=\sum_{[C]\in \pic(\OO_K)} \zeta_{K,[C]},
$$
où la somme est \emph{finie} (\ref{Pic fini}) et 
$$
\begin{array}{ll}
\zeta_{K,C}(s)& :=\sum_{\got{a}\in [C]\subset \OO_K} \frac{1}{\mathrm{N}(\got{a})^{s}}\\
& = \sum_{n\geq 1} \frac{N_n([C])}{n^s}
\end{array}
$$

À défaut de pouvoir estimer $N_n([C])$ pour $n$ grand, nous allons estimer
$\sum_{i=1}^n N_i([C])$. Que cela nous suffise est expliqué plus bas.

\begin{thm}
Soit $K$ un corps de nombres. 
Pour toute classe $\mathsf{C}\in \pic(\OO_K)$, il existe une
constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
$$
\{\got{a}\subset \OO_K, \text{tel que } \got{a}\in 
\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\}
$$
soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t\ra +\infty$.
\end{thm}

\begin{proof}
Soit $\mathsf{C}\in \pic(\OO_K)$. Choisissons un idéal $\got{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$.
La correspondance 
$$
\got{a} \mapsto  (\alpha_{\got{a}}):=\got{a}\got{b}_{\mathsf{C}}\subset \OO_K
$$
établit une bijection entre l'ensemble dont on veut estimer la taille et 
$$
\{(\alpha)\subset \OO_K,\ \alpha\in \got{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\ 
|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\got{b}_{\mathsf{C}})\}.
$$
Compter les idéaux principaux $(\alpha)$ revient à « compter les $\alpha$ modulo
les unités ». Le groupe des unités pouvant être infini, il faut faire attention.
Négliger les unités revient à considérer l'ensemble 
quotient $P(\got{b}_\mathsf{C}):=\got{b}_\mathsf{C} / \OO_K^{\times}$,
où $\OO_K^{\times}$ agit naturellement par multiplication : il classifie
en effet les idéaux principaux contenus dans $\got{b}_\mathsf{C}$. 
C'est naturellement un monoïde multiplicatif, à travers lequel
la norme  $x\in \got{b}_\mathsf{C}\subset \OO_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$
se factorise.
Quitte à normaliser $t$, et rajouter l'idéal nul, on veut donc compter 
$$
\{ x \in  P(\got{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}.
$$
Soit $X_{\got{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \got{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur 
$P(\got{b}_\mathsf{C})$ : 
$$
\xymatrix{
\got{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] &  P(\got{b}_\mathsf{C}) \\ 
X_{\got{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] &  K_{\RR}
}
$$
Le sous-ensemble $X_{\got{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$,
dont on veut estimer la taille, est compliqué pour un relèvement
arbitraire.
On va voir, à l'aide du logarithme, qu'il existe une partie 
$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\got{b}_{\mathsf{C}}$), sorte
de  domaine fondamental pour l'action de $\OO_K^{\times}$, telle 
que $X_{\got{b}_\mathsf{C}}=\got{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$
soit égal à $t^{1/[k:\QQ]} X_{1}$.
Le théorème résultera alors du lemme suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$.

\begin{lmm2}
Soient $Y$ une jolie partie, en particulier mesurable et bornée,
de $\RR^{n}$ et $B$ un réseau de $\RR^{n}$. 
Alors, si $\vol(Y)>0$,
$$
\#(B\cap aY)\sr{a\ra +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathrm{covol}(B)} a^{n}.
$$
\end{lmm2}
\begin{proof}
Cf. appendice \ref{calcul volume}, où l'on donne en particulier un sens précis
à l'adjectif « joli ».
\end{proof}

Pour simplifier les notations, posons $\sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}:=\RR^{r_\RR+r_\CC}\coprod 
\{\infty\}$
et posons $\log(x)=\infty$ pour tout $x\in K_{\RR}-K_{\RR}^{\times}$. C'est encore
un morphisme de monoïdes, si l'on pose $v+\infty=\infty$ pour tout $v\in \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$.
On a vu au cours de la démonstration de \ref{Dirichlet-unités} 
que $\log:\OO_K\ra \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini, 
nécessairement contenu dans l'ensemble des unités, et que
l'image de celles-ci forme un réseau $\Lambda$ de l'hyperplan $H:=\{\sum x_i = 0\}$.
Ainsi, le logarithme induit une injection : 
$P(\got{b}_\mathsf{C})\hra \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.

Soit $D:=(\underbrace{1,\dots,1}_{r_{\RR}},\underbrace{2,\cdots,2}_{r_\CC})$ un supplémentaire
de $H$ dans $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ et $P$ un parallélotope fondamental semi-ouvert
de $\Lambda$ dans $H$, de sorte que l'on a une bijection
$D\oplus P \iso \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$ induite par la projection
canonique $D\oplus H=\RR^{r_\RR+r_\CC}\surj \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
%[FIGURE]
Soit $X\subset K_{\RR}$ la préimage de $D\oplus P\coprod \{\infty\}$ par le 
logarithme ; il répond à notre question. En effet, comme
$N(ax)=a^{[K:\QQ]}N(x)$ pour tout $a\geq 0$ et $x\in K_{\RR}$,
la propriété $X_{t}=t^{1/[K:\QQ]}X_1$ est équivalente au fait que pour
tout $a\in \RR$, $aX\subset X$. Or, si $x\in X$, $\log(ax)=\log(x)+ \log(|a|)(1,\cdots,1,2,\cdots,2)$. (On pose $\log(0)v=\infty$.)
Enfin, $X_1$ est mesurable, de volume non nul et même \emph{joli} (exercice).
%DÉFINIR JOLI !!!!
\end{proof}

\begin{lmm}
\begin{enumerate}
\item Soit $\sum_n a_n n^{-s}$ une série de Dirichlet. Supposons que $a_n$ tende vers $0$.
Alors, $\sum_n a_n n^{-s}$ converge pour $s>1$ et $(\sum_n a_n n^{-s})(s-1)$ tend
vers $0$ quand $s$ tend vers $1+$.
\item $\zeta_{\ZZ}(s)\sim \frac{1}{s-1}$.
\end{enumerate}
\end{lmm}

\begin{proof}
Le second point résulte immédiatement de la comparaison entre la série
de Riemann et l'intégrale $\int_1^t \frac{dx}{x^s}$.
Le premier point se démontre avec $2\varepsilon$ de façon parfaitement
standard.
\end{proof}

\begin{crl}
Soit $\sum_n a_n n^{-s}$ une série de Dirichlet telle que $\sum_{i=1}^n a_i:=A_n\sim C n$,
$C\neq 0$.
Alors, $\sum_n a_n n^{-s}$  est convergente pour $s>1$ et $(\sum_n a_n n^{-s})(s-1)$ tend
vers $C$.
\end{crl}

\begin{proof}
Laissée en exercice. Indication : utiliser la transformation d'Abel
et remarquer que 
$$n^{-s}-(n-1)^{-s}=n^{-s}(1-(1-\frac{1}{n})^{-s})=n^{-s}\Big(\frac{-s}{n}+
\mathsf{O}(n^{-2})\Big).$$
\end{proof}

\section{Simple connexité de $\ZZ$ et groupe de Galois de $X^n-X-1$ : énoncés}

\subsection{}
Bien que nous ne considérerons que des anneaux de Dedekind dans les applications,
il est sans doute intéressant de commencer par une définition générale.
Tout d'abord nous allons généraliser la notion d'algèbre étale au cas où
la base n'est pas un corps. Nous verrons plus bas que ces deux notions
coïncident bien.

\begin{dfn}[Algèbre étale sur une autre]
Soit $A$ un anneau.
On dit qu'une $A$-algèbre $B$ est \emph{étale} 
si elle satisfait les conditions suivantes :
\begin{enumerate}
\item $B$ une $A$-algèbre de \emph{présentation finie},
\cad que $B$ est isomorphe à un quotient $A[T_1,\dots,T_n]/\got{a}$, où
$\got{a}$ est un idéal de type fini.
Si $A$ est noethérien, cela revient à dire que $B$ une $A$-\emph{algèbre} de type fini.

\item $B$ est \emph{formellement étale} sur $A$ : pour toute $A$-algèbre test $T$,
et tout idéal $\got{t}\subset T$ de carré nul, l'application
$$
\Hom_A(B,T)\ra \Hom_A(B,T/\got{t})
$$
est une bijection.

\item $B/A$ est \emph{plat}.
\end{enumerate}
\end{dfn}

On peut montrer que la dernière condition est conséquence des deux premières.
Une récurrence immédiate montre que la condition~2 est équivalente 
à la condition~2': pour toute $A$-algèbre test $T$,
et tout idéal $\got{t}\subset T$ tel $\got{t}^N=0$ pour un $N\in \NN$, l'application
$\Hom_A(B,T)\ra \Hom_A(B,T/\got{t})$ est une bijection.

\begin{rmr}
Si l'on remplace dans 2), bijection par injection (resp. surjection),
on dit que $B/A$ est \emph{net} (ou non ramifié) (resp. \emph{lisse}). Nous n'utiliserons
pas ces notions.
\end{rmr}



\begin{lmm}\label{cb-étale}
Soient $B/A$ une algèbre étale et $A'/A$ quelconque.
Alors, $B\otimes_A A'/A'$ est étale.
\end{lmm}

\begin{proof}
Seule la seconde condition (formellement étale) est à vérifier (cf. \ref{cb-plat}
pour la troisième).
Considérons donc un diagramme commutatif en traits pleins :
$$
\xymatrix{
B \ar[r] \ar@{.>}[rrd]  & B' \ar@{.>}[rd]|-{\star} \ar[rrd] & & \\
A \ar[u] \ar[r] & A' \ar[u] \ar[r] & T' \ar@{->>}[r] & T'/\got{t}'
}
$$
où $B'=B\otimes_A A'$, $t'$ est un idéal de $T'$ de carré nul.
On veut montrer l'existence d'une unique flèche $\star$ faisant commuter
le diagramme.
Comme $B/A$ est formellement étale, il existe une unique flèche ($A$-linéaire) $B\ra T'$
faisant commuter le diagramme. Elle induit l'unique application $\star$ ($A'$-linéaire)
relevant $B\ra T'/\got{t}'$.
\end{proof}

\begin{prp}\label{séparable-formellement étale}
Soient $k$ un corps et $K/k$ une extension finie.
Alors, $K/k$ est formellement étale si et seulement elle est séparable.
\end{prp}
\begin{proof}
Montrons que séparable implique formellement étale.
Par hypothèse, il existe $f\in k[X]$ \emph{séparable} tel que
$K\isononcan k[X]/f$. Sous $A$ une $k$-algèbre et $\got{a}$ un idéal de carré nul.
Il s'agit de montrer que l'application de réduction modulo $\got{a}$ induit
une bijection :
$$
\{x\in A, f(x)=0\} \ra \{\sur{x}\in A/\got{a}, f(\sur{x})=0\}.
$$
Injectivité. Soient $x,y\in A$, tels que $f(x)=f(y)=0$ et $x=y+a$, $a\in \got{a}$.
Comme $a^2=0$, la formule de Taylor nous donne $0=f(y+a)=f(y)+af'(y)=af'(y)$.
D'autre part, nous savons que $(f,f')=k[X]$, donc $(f(y),f'(y))=A$. Comme $f(y)$ 
est nul, $f'(y)$ est une unité et finalement $af'(y)=0$ entraîne $a=0$ \cad
$x=y$.

Surjectivité. Soit $x\in A$ tel que $f(x)=a\in \got{a}$. Il s'agit de montrer qu'il 
existe $x'$ congru à $x$ modulo $\got{a}$ tel que $f(x')=0$. L'élément
$f(x)$ étant nilpotent, l'égalité $(f(x),f'(x))=1$ montre que $f'(x)$ est une unité
de $A$. On remarque alors que $f\big(x-f'(x)^{-1}a\big)=a$.


Réciproquement, supposons que $K/k$ est une extension finie de corps
telle que $K/k$ soit formellement étale. Compte tenu de \ref{cb-étale}
et \ref{corps étale}, il s'agit de montrer que si $k$ est un corps
et $A$ une $k$-algèbre finie (locale si l'on veut), formellement étale, $A$ est réduit.
C'est là un fait général, cf. ci-dessous, qui se ramène d'ailleurs à
ce cas particulier.
\end{proof}

\begin{lmm}\label{étale-réduit}
Soient $A$ un anneau local réduit et $B$ une $A$-algèbre finie étale locale telle
que $A\ra B$ soit local. Alors $B$ est réduite.
\end{lmm}

Ce résultat est également valable sans supposer $B/A$ fini.

\begin{proof}[Démonstration dans le cas $A$ noethérien](Nous
renvoyons le lecteur courageux à ÉGA IV, chap 8 pour le cas général, que nous n'utiliserons
pas.)
Sous nos hypothèse, $B/A$ est \emph{fidèlement} plat, cf. \ref{plat-local}.
Ainsi, si $A\hra A'$, $B\hra B_{A'}=B\otimes_A A'$. 
D'après \ref{idéaux premiers minimaux},
$A$ n'a qu'un nombre fini d'idéaux premiers minimaux,
$\wp_i$, $1\leq i \leq n$.
Comme $A$ est \emph{réduit}, il s'injecte dans le produit $\prod A/\wp_i=:A'$. 
Comme $B/\wp_i$ est étale sur $A/\wp_i$, 
on se ramène au cas où $A$ est intègre. 
Dans ce cas, 
on peut considérer $A'=\mathrm{Frac}(A)$ et finalement supposer,
pour la même raison, que $A$ est un corps.

Soit donc $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre finie étale locale. Montrons que
$A$ est réduite \cad est un corps. Comme constaté plus haut, 
on peut supposer $k$ algébriquement clos.
Soit $\MM$ l'idéal maximal de $A$. Le corps résiduel $A/\MM$ est nécessairement
isomorphe à $k$. De plus l'idéal $\MM$ est nilpotent dans $A$.
Ainsi $\Hom_k(A,A)\ra \Hom_k(A,k)$  est une bijection.
Les deux endomorphismes $A\surj k \hra A$ et $A\sr{\mathrm{Id}}{\ra} A$
ayant même image dans $\Hom_k(A,k)$, ils doivent coïncider. On a alors $k\iso A$.
\end{proof}

\begin{dfn}
Soit $A$ un anneau. On dit que $A$ (ou $\SP(A)$) est \emph{connexe}
s'il ne possède pas d'idempotents non triviaux.
\end{dfn}

Tout anneau intègre est connexe, $\ZZ[X]/X^2$ est connexe 
mais $\RR\times \RR$ n'est pas connexe.

\begin{dfn}
Soit $A$ un anneau. Une $A$-algèbre $B$ est un \emph{revêtement étale} de $A$,
si $A\ra B$ est un morphisme \emph{fini} étale.
On dit que $A$ (ou $\SP(A)$) est \emph{simplement connexe}
s'il est connexe et si pour tout revêtement étale $B/A$, avec 
avec $B$ connexe, alors $A\iso B$.
\end{dfn}


Un corps $k$ est donc simplement connexe si et seulement si il est
séparablement clos.
Nous démontrerons plus bas \ref{Spec(Z)} le célèbre théorème :

\begin{thm}[Minkowski]\label{Spec(Z) simplement connexe}
$\SP(\ZZ)$ est simplement connexe.
\end{thm}

\begin{rmr}
En symboles, cela s'écrit :
$$
\gp^{\mathrm{\acute{e}t}}(\SP(\ZZ))=\{1\}.
$$
On renvoie le lecteur curieux à \cite{sga1} pour une définition,
due à A.~Grothendieck, du groupe 
$\gp^{\mathrm{\acute{e}t}}(\SP(A))$ pour tout anneau noethérien connexe $A$.
Cette dernière coïncide, pour $A$ un corps $k$, au groupe de Galois sur $k$
d'une clôture séparable de $k$. Enfin si $A=\CC[X_1,\dots,X_n]/(f_1,\dots,f_r)$
est une $\CC$-algèbre de type fini connexe, on sait montrer (\sga{1}{xii}{5.2}) que si 
l'espace topologique connexe (\emph{op. cit.} 2.6)
$$X=\{\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)\in \CC^n, f_1(\mathbf{x})=\cdots=f_r(\mathbf{x})=0\}$$
est simplement connexe au sens usuel, alors 
$$
\gp^{\mathrm{\acute{e}t}}(\SP(A))=\{1\}.
$$
Par exemple, $\CC[t]$ ne possède pas de revêtement étale connexe non trivial\footnote{
La situation est totalement différente en caractéristique positive : 
si $\FF$ est une clôture algébrique de $\FF_p$,
on peut vérifier que le normalisé de $\FF[t]$ dans l'extension
d'Artin-Schreier $\FF(t)[X]/(X^p-X-t^{-1})$ est (fini) étale 
sur $\FF[t]$, connexe !, et malgré tout de degré $p$ sur $\FF[t]$.}.
Le lecteur pourra consulter par exemple \cite{Douady-Douady}
pour une démonstration élémentaire 
dans le cas particulier où $A$ est régulier de dimension $1$, \cad $X$ une \emph{surface
de Riemann}.
\end{rmr}

Nous en déduirons le théorème suivant :

\begin{thm}[$\got{S}_n$ par simple connexité]\label{S_n-4}
Pour tout $n\geq 1$, le polynôme $X^n-X-1$ est irréductible sur $\QQ$
de groupe de Galois $\got{S}_n$.
\end{thm}

%\section{Critères numériques de non ramification}
\section{Vers des critères numériques de non ramification}


Commençons par un nouveau critère pour décider si une $k$-algèbre est étale.

\begin{prp}\label{trace-étale}
Soit $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre finie.
Elle est étale sur $k$ si et seulement si la trace induit
un isomorphisme
$$
A\ra A^{\vee}:=\Hom_k(A,k).
$$
\end{prp}

\begin{proof}
On a déjà vu que la condition est nécessaire (\ref{trace non dégénérée}).
En procédant comme dans \emph{loc. cit.} (\cad en passant à la clôture
algébrique) on voit qu'il suffit de démontrer
que si la trace est non dégénérée alors $A$ est \emph{réduit}.
Soit $a\in A$ un élément nilpotent. Pour tout $x\in A$, 
$ax$ est également nilpotent donc le morphisme de multiplication
$m_{ax}:A\ra A$ est de trace nulle. Il en résulte que $a$ appartient
au noyau de $A\ra A^{\vee}$ ; il est donc nul.
\end{proof}


\begin{thm}\label{caractérisation nr}
Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions
$K$. Soient $L/K$ une extension finie séparable et $B$ le normalisé de $A$ dans $L$.
Le morphisme $B/A$ est étale si et seulement si l'extension résiduelle 
$k_L/k_K$ est séparable et l'indice de ramification égal à $1$.
\end{thm}

On dit classiquement dans ce cas que l'extension $L/K$ est \emph{non ramifiée}.

\begin{proof}
La condition est nécessaire : si $B/A$ est étale, $B\otimes_A k_K / k_K$ l'est également.
Comme $B\otimes_A k_K=B/\MM_A=B/\pi_B^e$, et comme $B/\pi_B^e$ est réduit (cf. 
\ref{étale-réduit}), on a $e=1$ et $B/\pi_B=k_L$ séparable sur $k_K$.

Réciproquement, supposons $(B/\MM_A)=:k'$ étale sur $(A/\MM_A):=k$ étale (on
vient de voir que l'hypothèse se traduit sous cette forme) et montrons 
que $B/A$ est étale. Comme $k'/k$ est étale donc monogène,
il existe $\sur{P}\in k[X]$ tel que $k'\isononcan k[X]/\sur{P}$. Soit
$P\in A[X]$ un polynôme unitaire relevant $\sur{P}$ et considérons
la $A$-algèbre finie, locale $B':=A[X]/P$. Comme $(P',P)=1$,
on vérifie comme en \ref{séparable-formellement étale} que $B'$
est étale sur $A$. Pour tout $n\in \NN$, considérons
le diagramme obtenu par tensorisation avec $A_n:=A/\MM_A^{n+1}$ :
$$
\xymatrix{
B'_n \ar@{.>}[rd] \ar[rrd]^{\mathrm{isom}.} & & \\
A_n \ar[u] \ar[r] & B_n \ar[r] & k'=B_0\isononcan B'_0
}
$$
Comme $B'_n/A_n$ est étale, il existe un \emph{unique} relèvement $B'_n\ra B_n$,
$A_n$-linéaire, de l'isomorphisme résiduel.
Comme $B'$ et $B$ sont finis sur $A$ donc complet pour la topologie $\MM_A$-adique,
on en déduit un $A$-morphisme $B'\ra B$, qui induit un isomorphisme
après tensorisation avec $k$. C'est donc une surjection en vertu
du lemme de Nakayama. D'autre part, $B'$ est libre sur $A$ de rang $[k':k]$
et $B$ est libre de rang $e[k':k]\geq [k':k]$, où $e$ est l'indice de ramification.
La surjection $B'\ra B$ est donc nécessairement un isomorphisme (et $e=1$).
Comme $B'$ est étale sur $A$, $B/A$ est bien étale.
\end{proof}

Isolons un résultat important de la démonstration :

\begin{thm}
Soit $A$ un anneau local complet\footnote{Ou plus généralement un anneau
local hensélien mais la démonstration est légèrement plus compliquée ; 
cf. \cite{Anneaux@Raynaud}.} de corps résiduel $k$. Alors,
le foncteur
$$
\begin{array}{l}
\{A-\mathrm{Alg}. \text{ finies locales étales}\} \ra  \{\text{extension finies séparables 
de } k\} \\
B\mapsto B\otimes_A k=:\sur{B}
\end{array}
$$
est une \emph{équivalence de catégories}.
En d'autres termes,  toute extension séparable de $k$ s'obtient par ce procédé
et 
pour $B_1,B_2$ comme ci-dessus, on a :
$$
\Hom_{A-\mathrm{Alg}.}(B_1,B_2)\iso \Hom_k(\sur{B_1},\sur{B_2}).
$$
\end{thm}

De même, 
$\{A-\mathrm{Alg}. \text{ finies étales}\} \ra  \{k-\mathrm{Alg}. \text{ finies étales}\}$
est une équivalence de catégories.

\begin{proof}
Il s'agit essentiellement d'une redite.
Pour le second point, on relève un polynôme unitaire définissant 
définissant l'extension monogène. 
Vérifions maintenant que
$\Hom_{A-\mathrm{Alg}.}(B_1,B_2)\iso \Hom_k(\sur{B_1},\sur{B_2})$ est un isomorphisme :
si $\sur{B_1}\ra \sur{B_2}$ est donné, comme $B_1/A$ est étale,
il existe pour chaque $n$ un \emph{unique} morphisme de $A$-algèbres 
$B_1\ra B_{2n}$ relevant le composé $B_1\ra \sur{B_1}=B_{10}\ra B_{20}$.
Comme $B_2\iso\lim_n B_{2n}$ (car $B_2$ est complet, étant de type fini sur $A$),
on a bien un unique morphisme $B_1\ra B_2$.
\end{proof}

\begin{crl}\label{composé non ramifiées}
Soient $A$ et $K$ comme en \ref{caractérisation nr} et $K_1,K_2$ deux extensions
non ramifiées de $K$. Alors, tout extension composée $L$ de $K_1$ et $K_2$ est
non ramifiée.
\end{crl}
\begin{proof}
Soient $A_1$ (resp. $A_2$) l'anneau des entiers de $K_1$ (resp. $K_2$)
et $k_1$ (resp. $k_2$) son corps résiduel. Soit $l$ une extension composée
de $k_1$ et $k_2$ sur $k$. D'après le théorème précédent, il existe
une $A$-algèbre locale finie étale $B$ de corps résiduel $l$. De plus,
$B$ est un anneau de valuation discrète (monogène sur $A$)
et les inclusions $k_i\hra l$ se relèvent en des inclusions $A_i\hra B$.
Le corps des fractions $L'$ de $B$ contient donc $K_1$ et $K_2$ et $L'/K$ 
est non ramifiée sur $K$. Comme $L$ est $K$-isomorphe à un sous-corps
de $L'$, et qu'une sous-extension d'une extension non ramifiée est
non ramifiée, on a le résultat voulu.
\end{proof}



\subsection{Différente}\label{différente}
Soient $A$ un anneau de Dedekind, $K$ son corps des fractions et $L/K$ un extension
finie séparable. Soit $B$ la clôture intégrale de $A$ dans $L$ ; c'est un anneau
de Dedekind (\ref{} [À rédiger]), \emph{localement} libre de type fini sur $A$, de rang $[L:K]$.
Dans tout ce paragraphe, nous faisons l'hypothèse supplémentaire que 
$B/A$ \emph{libre}. C'est le cas pour $A$ local ou plus généralement principal 
(Par exemple $\ZZ$ ou $\FF_p[X]$). 

Dans ce cas, on dispose
d'un morphisme $A$-linéaire trace $\TR_{B/A}:B\ra A$. On pose alors,
comme en \ref{normalisation finie},
$B^{\star}:=\{y\in L,\ \TR_{B/A}(yB)\subset A\}$ ; c'est un idéal fractionnaire non nul de $L$ 
contenant $B$. 
Pour tout idéal fractionnaire non nul $I$ de $L$, notons 
$I^{\vee}:=\{x\in L,\ xI \subset B\}$ ; il est isomorphe au $B$-dual abstrait.


\begin{dfn}
On appelle \emph{différente} de $B/A$, l'idéal ${B^{\star}}^{\vee}$ de $B$.
On note $\mc{D}_{L/K}$ cet idéal.
\end{dfn}

Mesurons l'obstruction à ce que $B\ra B^{\star}$ soit un isomorphisme.

\begin{prp}\label{net-discriminant}
Soient $\wp$ un idéal premier de $B$ et $p:=A\cap \wp$. Alors,
$L/K$ est non ramifiée en $\wp$ (\cad $B_\wp/A_p$ est étale) si et seulement
si $\wp$ ne divise pas $\mc{D}_{L/K}$.
\end{prp}

\begin{proof}
La formation de $\mc{D}_{L/K}$ commute à la localisation et à la complétion.
% Expliquer !
On peut donc supposer $A$ et $B$ des anneaux de valuation complets. 
Le morphisme $B/A$ est non ramifié en $\wp$ si et seulement si
 $B/p$ est étale sur $k=A/p$. C'est équivalent à supposer la trace
de la $k$-algèbre $B/p$ non dégénérée. Soit $(x_i)_{1\dots n}$ une base
de $B$ sur $A$. Comme les $x_i$ modulo $p$ forment une base de $B/p$ sur $k$,
on a finalement montré que $B/A$ est étale si et seulement si
$\deter\big(\TR(x_i x_j)\big)$ est une unité de $A$ (rappelons que $A$ est local).
Le $A$-module $B^\star$ est libre, et les $x_i^{\star}$ définis
par $\TR_{B/A}(x_i x_j^{\star})=\delta_i^j$ en sont une base. L'inclusion
$B\subset B^\star$ se traduit numériquement en les égalités :
$$
x_i = \sum_j \underbrace{\alpha_{i,j}}_{\TR(x_i x_j)} x_j^\star.
$$
Ainsi, $B=u(B^\star)$, pour $u:B^\star\ra B^\star$, dont le déterminant
est précisément $\deter\big(\TR(x_i x_j)\big)$.
Finalement $B=B^\star$ si et seulement si $B/A$ est étale. La première condition
signifie que $\mc{D}_{L/K}=B$, \cad que l'idéal maximal de $B$ ne divise pas
$\mc{D}_{L/K}$.
\end{proof}

\begin{crl}
Presque tous les idéaux maximaux de $B$ sont non ramifiés.
\end{crl}

\subsection{Formes différentielles, suite (facultatif)}\label{dérivations-2}

On continue la discussion commencée en \ref{dérivations-1}.

\begin{prp2}\label{étale implique omega_1 nul}
Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre formellement étale. Alors,
pour tout $B$-module $M$, toute $A$-dérivation $B\ra M$ est nulle.
\end{prp2}

\begin{proof}
Soit $M$ un $B$-module. Munissons $B\oplus M$ d'une structure de $A$-algèbre en posant,
pour tout $b\in B$ et $m\in M$ :
$$
(b,m)\cdot (b',m')=(bb',bm'+b'm).
$$
On notera $M_{\varepsilon}$ cette algèbre ; $M$ en est naturellement
un idéal, de carré nul. L'anneau quotient $M_{\varepsilon}/M$ est canoniquement isomorphe, par la 
première projection, à $B$.
Tautologiquement, toute $A$-dérivation $d:B\ra M$ induit un morphisme
de $A$-algèbres $f_d:B\ra M_{\varepsilon}$ en posant $f_d(b,m)=(b,d(m))$.
Réciproquement, tout morphisme de $A$-algèbres $B\ra M_{\varepsilon}$ induisant
l'identité $B\ra B=M_{\varepsilon}/M$ provient d'une unique $A$-dérivation $B\ra M$.
Plus suggestivement, on a une bijection :
$$
\mathrm{D\acute{e}r}_A(B,M)\iso \Hom_{A-\mathrm{alg}.}(B,M_{\varepsilon})_{\mathrm{Id}}.
$$
On écrira aussi $\Hom_{A-\mathrm{alg}./B}(B,M_{\varepsilon})$ le terme de droite.
Si $B/A$ est formellement étale, comme $M$ est de carré nul,
il existe un \emph{unique} morphisme relevant l'identité $B\ra B$, nécessairement l'application 
$(\mathrm{Id},0):B\ra M_{\varepsilon}$. Finalement $\mathrm{D\acute{e}r}_A(B,M)=\{0\}$,
CQFD.
\end{proof}

On appelle $M_{\varepsilon}$ la $B$-algèbre des nombres duaux sur $M$.




Soit $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. Comme en \ref{graphe endomorphisme},
considérons le noyau $I_{\Delta}$ du morphisme $B\otimes_A B\surj B$.
Considérons le quotient $I_{\Delta}/I_{\Delta}^2=I\otimes_{B\otimes_A B}
B$ ; c'est un $B$-module.
\begin{dfn2}
On note $\Omega^1_{B/A}$ le $B$-module $I/I^2$ ; c'est le module
des différentielles de $B/A$.
On note $d_{B/A}$ le morphisme $A$-linéaire : 
$$
x\mapsto 1\otimes x - x\otimes 1\in \Omega^1_{B/A}.
$$
Il vérifie : $d_{B/A}(xy)=xd_{B/A}(y)+yd_{B/A}(x)$, pour tout $x,y\in B$.
\end{dfn2}

Comme annoncé en \ref{dérivations-1}, on a :

\begin{prp2}
Soit $d:B\ra M$ une $A$-dérivation. Il existe une unique application
$B$-linéaire $f:\Omega^1_{B/A}\ra M$ telle que $d=f\circ d_{B/A}$.
\end{prp2}

\begin{proof}
Vérifions l'existence. Soient $M$ un $B$-module et $d:B\ra M$ une $A$-dérivation.
Considérons l'application 
$$
\begin{array}{l}
\pi:B\otimes_A B \ra M_{\varepsilon}\\
\left\{\begin{array}{l}
b\otimes 1 \mapsto b \\
1\otimes b \mapsto f_d(b)
\end{array}\right.\\
\end{array}\
$$
Comme $\pi(1\otimes b - b\otimes 1)=f_d(b)-b\in M$, on voit que $\pi(I_{\Delta})\subset M$ :
cela résulte du fait que $I_{\Delta}$ est engendré comme $B$-module (via $p_1$)
par les éléments $1\otimes b - b\otimes 1$ (cf. par ex. \ref{points fixes 1}).
Comme $M$ est de carré nul, $\pi$ se factorise en 
$$\widetilde{\pi}:B\otimes_A B / I_{\Delta}^2\ra M_{\varepsilon}.$$
Le sous-$B$-module $\Omega^1_{B/A}=I_{\Delta}/ I_{\Delta}^2$ de $B\otimes_A B / I_{\Delta}^2$
s'envoie donc par $\widetilde{pi}$ dans $M$ ; c'est la factorisation souhaitée
$u:\Omega^1_{B/A}\ra M$.
On vérifie sans difficulté que $u\circ d_{B/A}=d$. En effet,
$u(1\otimes b - b \otimes 1 \mod  I_{\Delta}^2)=f_d(b)-b=d(b)$.

L'unicité résulte de ce que $\Omega^1_{B/A}$ est engendré comme $B$-module 
par les $d_{B/A}(b)$, $b\in B$.
\end{proof}

\begin{prp2}
Soit $B/A$ comme en \ref{différente} et supposons
$B=A[X]/f$ pour un polynôme unitaire $f$.
Alors,
$$\mathrm{Ann}_B(\Omega^1_{B/A})=\mc{D}_{B/A}.$$
\end{prp2}

\begin{rmr2}
Il n'est pas difficile de vérifier que pour tout $A$-algèbre $A'$,
si l'on pose $B':=B\otimes_A A'$, on a $\Omega^1_{B/A}\otimes_B B'\iso \Omega^1_{B'/A'}$.
Comme d'autre part, si $A$ est un anneau de valuation discrète complet
et $B/A$ telle que l'extension résiduelle soit \emph{séparable},
on peut montrer (\cite{CL@Serre}, chap.~\textsc{iii}) que $B/A$ est bien monogène.
Il en résulte que la conclusion de la proposition précédente est
valable dès que les extensions résiduelles sont séparables.
(On utilise implicitement le fait que la différente se comporte également bien
par localisation et complétion.)
\end{rmr2}

\begin{proof}
Il est immédiat que si $B=A[X]/f=A[x]$, $\Omega^1_{B/A}$ est engendré par $dx$,
d'annulateur $f'(x)$. Or, on va voir ci-dessous %(\ref{calcul différente})
que dans ce cas, $\mc{D}_{L/K}=(f'(x))$.
\end{proof}

\subsection{Calcul}

\begin{prp2}\label{calcul différente}
Soit $L/K$ comme en \ref{différente}. Soit $x\in B$ tel que $L=K(x)$ 
et notons $f:=\mathrm{Irr}_K(x)\in A[X]$.
Alors, $\mc{D}_{L/K}$ divise l'idéal $(f'(x))$ et il y a égalité
si et seulement si $B=A[x]$.
\end{prp2}

Notons $n=[L:K]$.
Soit $C:=A[x]\subset B$. Génériquement, $C\ra B$ est un isomorphisme.
\begin{sslmm2}
Le $A$-module $C^\star$ est libre de base les $\frac{x^i}{f'(x)}$ pour
$0\leq i \leq n-1$.
\end{sslmm2}
\begin{proof}[Démonstration du sous-lemme]
Soient $x_1,\dots,x_n$ les racines distinctes de $f$.
L'égalité formelle
$$
\frac{1}{f(X)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{f'(x_k)(X-x_k)}
$$
montre que 
$$\TR\big(\frac{x^i}{f'(x)}\big)=0$$
pour $0\leq i \leq n-2$ et $1$ sinon. La conclusion résulte
alors de la définition de $C^\star$.
Il résulte du sous-lemme que la matrice $\TR\big(x^i\cdot \frac{x^j}{f'(x)})$
est inversible : elle est nulle au-dessus de l'anti-diagonale et les coefficients
anti-diagonaux valent $1$.\end{proof}

Démontrons la proposition.
Notons $\got{r}:=\{t\in C,\ tB\subset C\}$ ; c'est un idéal de $B$
que l'on appelle le \emph{conducteur} de $B$ dans $C$.
Pour démontrer la proposition, il nous suffit de prouver
que 
$$\got{r}=f'(x)\mc{D}_{B/A}.$$
Cela résulte de la chaîne d'équivalence suivante :
$$
\begin{array}{ll}
t\in \got{r} \leftrightarrow & tB\subset C \leftrightarrow f'(x)^{-1}tB\subset C^\star
\leftrightarrow \TR(f'(x)^{-1}tB)\subset A \\
& \leftrightarrow f'(x)^{-1}t \in \mc{D}_{B/A}^{-1}  \leftrightarrow t\in  f'(x) \mc{D}_{B/A}^{-1}
\end{array}
$$
%\begin{crl2}
%Soient $p$ un nombre premier, $f\in \ZZ_p[X]$ un polynôme unitaire irréductible
%et $L$ un corps de décomposition de $f$ sur $\QQ_p$. 
%Alors, $p$ est ramifié dans $L$ si et seulement si
%$f \mod p$ et $f' \mod p$ ont une racine commune modulo $p$.
%\end{crl2}
%\begin{proof}
%Soit $K$ un corps de rupture de $f$ ; $L$ est un composé sur $\QQ_p$ de tels corps.
%\end{proof}



\subsection{Application}

\begin{thm2}
Soit $n\geq 1$. Le polynôme $f_n(X)=X^n-X-1$ est irréductible sur $\QQ$
et de groupe de Galois isomorphe à $\got{S}_n$.
\end{thm2}

Nous allons démontrer ce théorème en admettant le théorème \ref{Spec(Z) simplement connexe}
(démontré en \ref{Spec(Z)}) et l'irréductibilité
de $f_n$ (démontrée en \ref{Selmer})

Soient $K_n$ un corps de décomposition de $f_n$ et $A_n$ son anneau
des entiers. Supposons que le nombre premier 
$p$ soit ramifié dans $K_n$ ; d'après \ref{composé non ramifiées} il est alors
ramifié dans le corps de rupture $\QQ[X]/f_n$ de $f_n$ puisque $K_n$
est le composé de tels corps.
Compte tenu de \ref{calcul différente} (voir aussi
\ref{étale implique omega_1 nul}), $f_n$ et $f_n'$ ont une racine commune
modulo $p$ ; il en est de même de $nf_n=nX^n-nX-n$ et $Xf_n'=nX^n-X$.
Il en résulte que $p$ est premier à $n(n-1)$,
que la racine est congrue à $\frac{n}{n-1}$ modulo $p$
et enfin qu'elle est au plus double : $f_n''(\frac{n}{n-1})\neq 0$.
Nous allons traduire ce dernier point en un énoncé groupique.


Commençons par fixer les notations. Soit $\wp$ un idéal premier de 
$A_n$ au-dessus d'un nombre premier quelconque $p$. Notons $D(\wp)$
le sous-groupe de $G_n:=\ga(K_n/\QQ)$ laissant stable $\wp$.
On a un morphisme canonique de $D(\wp)$ vers
le groupe de Galois de l'extension résiduelle $\ga(\kappa(\wp)/\FF_p)$.
On a vu en \ref{spécialisation} que c'est une surjection
car $\FF_p$ est parfait.

Voici un critère, groupique, de non ramification :

\begin{prp2}\label{net-groupique}
Soient $K/\QQ$ une extension finie galoisienne, $\OO_K$ l'anneau des entiers
de $K$ et $\wp$ un idéal maximal de $\OO_K$.
Alors, $I(\wp)$ est trivial si et seulement si $\wp$ est non ramifié
dans $K$.
\end{prp2}
\begin{proof}
Soit $K_{\wp}$ le corps des fractions du complété de $\OO_K$ en $\wp$.
Comme ce complété est une composante de l'algèbre $\OO_K\otimes_{\ZZ} \ZZ_p$
(cf. \ref{décomposition algèbre artinienne}),
$K_{\wp}$ est un des corps résiduel de la $\QQ_p$-algèbre étale
$K\otimes_{\QQ} \QQ_p$, donc un composé de $K$ et $\QQ_p$ sur $\QQ$.
En particulier (cf. \ref{fonctorialité}) c'est une extension
finie galoisienne de $\QQ_p$.
Tout élément de $\sigma\in D(\wp)$ laisse stable $\wp$, donc
induit une application continue pour la topologie $\wp$-adique $\OO_K\ra \OO_K$ 
qui, par complétion et passage au corps des fractions,
induit un élément $\widehat{\sigma}\in \ga(K_{\wp}/\QQ_p)$.
L'application ainsi définie 
$$D(\wp)\ra \ga(K_{\wp}/\QQ_p)$$ est injective ;
c'est en fait un isomorphisme car l'image de $\ga(K_{\wp}/\QQ_p)$
dans $\ga(K/\QQ)$ par le morphisme de restriction 
se factorise nécessairement à travers $D(\wp)$ (et est un inverse de l'application
précédente) :
$\ga(K_{\wp}/\QQ_p)$ stabilise son anneau de valuation, qui contient $\wp$.
On a vu en \ref{n=ef} que l'extension $K_{\wp}/\QQ_p$ est de degré $ef$ où 
$f=\#\ga(\kappa(\wp)/\FF_p)$ est le degré de l'extension résiduelle 
et $e$ l'indice de ramification.
Ainsi, la surjection $D(\wp)\surj \ga(\kappa(\wp)/\FF_p)$ est un isomorphisme
si et seulement si $e=1$, \cad si l'extension est non ramifiée en $\wp$.
\end{proof}

Appliquons cette proposition dans notre cas particulier
et précisons ce qu'il arrive dans le cas ramifié. 
Notons $X_n$ l'ensemble des racines de $f_n$ dans $K_n$.
\begin{lmm2}
Soit $\wp$ un idéal maximal de $A_n$. Le  sous-groupe $I(\wp)\subset \got{S}_{X_n}$ est 
ou bien engendré par une transposition ou bien trivial. 
\end{lmm2}
\begin{proof}
Supposons $p=\wp\cap \ZZ$ non ramifié dans $K_n$. Dans ce cas,
et seulement dans ce cas, $I(\wp)$ est trivial.

Considérons maintenant le cas où $p$ est ramifié.
Soit $\sur{X_n}$ l'ensemble des racines de $f_n$ dans $\kappa(\wp)$. 
Le morphisme de réduction modulo $\wp$ : $A_n\ra \kappa(\wp)$, induit 
une surjection $X_n\surj \sur{X_n}$. Par hypothèse, $f_n$ a une racine double modulo $p$ ;
on a vu qu'elle est d'ordre exactement deux et unique. En particulier $\sur{X_n}$ 
est d'ordre $n-1$. Notons $x_1,x_2$ les deux seuls éléments de $X_n$ ayant même image
dans $\sur{X}_n$. Soit $\sigma$ un élément du groupe de décomposition
$D(\wp)$ ; comme $\sur{\sigma(x_1)}=\sur{\sigma}(\sur{x_1}=\sur{x_2})=\sur{\sigma(x_2)}$,
on a l'inclusion 
$$D(\wp)\subset \{\sigma \in G_n,\ \sigma\{x_1,x_2\}=\{x_1,x_2\}\}.$$
Il en résulte immédiatement que le groupe d'inertie satisfait :
$$
I(\wp)\subset \mathrm{Ker}\big(\got{S}_{X_n}\cap \mathrm{Stab}_{\{x_1,x_2\}}\ra 
\got{S}_{\sur{X_n}}\big)=\langle (x_1 x_2 ) \rangle.
$$
La conclusion en résulte.
\end{proof}


\begin{prp2}
Soit $K/\QQ$ comme en \ref{net-groupique}. Si $I$ est le sous-groupe de $\ga(K/\QQ)$ engendré
par les groupes d'inertie $I(\wp)$, $\wp\in \SP\mathrm{max}.(\OO_K)$,
l'extension $K^{I}/\QQ$ est non ramifiée.
\end{prp2}
Il résulte alors du théorème \ref{Spec(Z) simplement connexe} que $K^I=\QQ$,
\cad que $I=\ga(K/\QQ)$.
\begin{proof}
Soit $I_p$ le sous-groupe engendré par les $I(\wp)$ où $p|\wp$.
C'est un sous-groupe distingué de $\ga(K/\QQ)$. En effet,
si $\sigma\in \ga(K/\QQ)$, $\sigma(\wp)$ est un idéal
maximal de $\OO_K$ au-dessus de $p$ et l'on a évidemment 
$\sigma D(\wp) \sigma^{-1}=D(\sigma{\wp})$. L'égalité analogue pour 
les groupes d'inertie montre que $I_p\triangleleft \ga(K/\QQ)$.

Comme $\displaystyle K^I=\cap_p K^{I_p}$, il suffit de vérifier que $K':=K^{I_p}$ est non
ramifiée en $p$. Soit 
$$\xymatrix{
K & \wp\\
K'\ar@{-}[u] & \wp'=\wp\cap \OO_{K'} \\
\QQ \ar@{-}[u] & p=\wp\cap \ZZ
}
$$
une tour d'extensions galoisiennes (sans hypothèse supplémentaire sur $K'$) 
et des idéaux maximaux correspondants.
On a une surjection $\ga(K/\QQ)\surj \ga(K'/\QQ)$.
Le lecteur vérifiera sans difficulté (exercice ou \cite{CL@Serre}, chap. \textsc{i}, prop.~22)
% À FAIRE !!
qu'elle induit des surjections naturelles 
$D(\wp)\surj D(\wp')$ et $I(\wp)\surj I(\wp')$.
Dans notre cas, comme $\ga(K'/\QQ)=\ga(K/\QQ)/I_p$, $I(\wp')$ est nul dans ce quotient.
Enfin, on a vu plus haut qu'une extension est non ramifiée dès que ses groupes
d'inerties sont triviaux.
\end{proof}

% COMPLÈTEMENT N'IMPORTE QUOI
%\begin{rmr2}
%En passant à la limite sur les extensions finies de $\QQ_p$ une surjection
%$$D_p:=\ga(\sur{\QQ}_p/\QQ_p)\surj \ga(\FF/\FF_p)\iso \lim_n \ZZ/n\ZZ=: \widehat{\ZZ}.$$
%On peut montrer qu'il existe un générateur $\tau$ du noyau $I_p$
%et un élément $\sigma$ de $\ga(\sur{\QQ}_p/\QQ)$ s'envoyant sur $1\in \widehat{\ZZ}$
%tels que $\langle \tau,\sigma \rangle =\ga(\sur{\QQ}_p/\QQ_p)$ et 
% $$\sigma^{-1}\tau \sigma = \tau^p.$$
%Le groupe de Galois de $\sur{\QQ}_p/\QQ$ a donc une structure relativement simple.
%En particulier il est pro-résoluble, \cad limite projective de groupes
%finis résolubles.
%\end{rmr2}

Il résulte de ces lemmes que le groupe de Galois de $K_n/\QQ$ est engendré 
par des transpositions. Comme c'est un sous-groupe \emph{transitif} de $\got{S}_{X_n}$,
le graphe associé à ces transpositions\footnote{Les sommets
sont les éléments de $X_n$ et $xy$ est une arête si et seulement si
$(xy)$ est une de ces transpositions.} est \emph{connexe}. Il 
en résulte que c'est $\got{S}_{X_n}$ tout entier. Ceci achève
la démonstration de \ref{S_n-4} modulo le résultat des deux sections suivantes.


\subsection{Constante de Minkowski}\label{Spec(Z)}

\begin{thm2}[Minkowski]
Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $\QQ$ partout 
non ramifiée. De façon équivalente, si $A$ est une $\ZZ$-algèbre finie étale
connexe alors $\ZZ\iso A$.
\end{thm2}

La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude du
groupe de Picard.

Quand le corps de base est $\QQ$, on préfère souvent mesurer la ramification
à l'aide d'un entier. Si $K/\QQ$ est finie et $x_1,\dots,x_n$ est une base
de l'anneau des entiers $\OO_K$ sur $\ZZ$, on pose :
$$
\got{d}_{K/\QQ}:=|\mathrm{d\acute{e}t}(\TR_{K/\QQ}(x_ix_j))|.
$$
Cette quantité est indépendante du choix de la base et est appelé
le \emph{discriminant} de l'extension. On a vu 
en \ref{net-discriminant} (démonstration) que $K/\QQ$ est non ramifiée 
en $p$ si et seulement si $p$ ne divise pas $\got{d}_{K/\QQ}$.
Bien que nous n'utiliserons pas ce fait, signalons que 
 $\got{d}_{K/\QQ}=\mathrm{N}(\mc{D}_{K/\QQ})$.

Soient $n=[K:\QQ]$ et $\sigma_i$, $1\leq i \leq n$ les différents plongements
de $K$ dans $\CC$. On a 
$$
\mathrm{d\acute{e}t}(\sigma_i(x_j))^2=\got{d}_{K/\QQ}
$$
car
$\big(\TR_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\big)$.


\begin{lmm2}\label{covolume-discriminant}
Soient $K/\QQ$ une extension finie.
Alors 
$$
\mathrm{covol}(\OO_K\hra K_{\RR})=2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}.
$$
\end{lmm2}
\begin{proof}
Soient $\sigma^{\RR}_1,\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}$ les plongements
$K\hra \RR$ et $\sigma^{\CC}_1,\sur{\sigma^{\CC}_1},\dots,,\sigma^{\CC}_{r_\CC},
\sur{\sigma^{\CC}_{r_\CC}}$ les plongements $K\hra \CC$.
Le morphisme 
$\OO_K\ra K_{\RR}\isononcan \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}\iso \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$
est de la forme 
$$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x),
\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots,
\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$
Passer de la matrice ayant ces colonnes à 
$\big(\sigma_i(x_j)\big)$ se fait par addition, soustraction et $r_{\CC}$ divisions par $2$.
La formule en résulte.
\end{proof}

\begin{thm2}
On a l'inégalité :
$$
\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}}\frac{n^n}{n!},
$$
où $n=[K:\QQ]$.
\end{thm2}

\begin{proof}
Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$.
Soit 
$$
A:=\{x\in K_{\RR}, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+2\big(|y_1|+\cdots+|y_{r_\CC}|\big)\leq n\}
$$
le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_\RR$.
L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point
de $A$ a une norme inférieure à $1$.
Admettons que 
$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
$$t^d  \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
 \geq 2^n \mathrm{covol}(\OO_K)=2^n  2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$
il existe un élément non nul de $tA\cap \OO_K$, nécessairement
de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
L'inégalité en résulte immédiatement.

Effectuons le calcul volumique. Posons 
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
2\big(\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n  f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
$$
où $n=r_{\RR}+2r_\CC$.
En utilisant de façon répétée, pour $r_{\RR}>0$, l'égalité
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=2\int_0^t f_{r_{\RR-1},r_\CC}(u)\mathrm{d} u= 2\int_0^t u^{n-1}
f_{r_{\RR-1},r_\CC}(1)\mathrm{d} u,
$$
on trouve :
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1).
$$
Soit 
$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}}, 
\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$.
Calculons $g$ :
$$\begin{array}{ll}
g_{r}(1)& =\int_0^1 g_{r-1}(1-u)2\pi u \mathrm{d}u\\
& = 2\pi g_{r-1}(1)
\underbrace{\int_0^1 (1-u)^{2r-2}u \mathrm{d}u}_{\frac{1}{2r-1}-\frac{1}{2r}}\\
& = ... \\
& = \frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}.
\end{array}
$$
Finalement, 
$$f_{r_{\RR},r_\CC}(n)=n^n\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}(\frac{1}{2})^{2r_\CC}
\frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}},$$
comme annoncé.

\end{proof}


\subsection{Irréductibilité de $X^n-X-1$ sur $\QQ$}\label{Selmer}

Nous allons reproduire l'ingénieuse démonstration du mathématicien norvégien
Ernst Selmer. parue en \osn{1956}.

Soit $n\geq 2$ un entier et $f_n=X^n-X-1\in \ZZ[X]$. Soient $x_1,\dots,x_n$
les racines, non nulles, de $f$. Considérons :
$$
S(f_n):=\sum_1^n(x_i-x_i^{-1}),
$$
et de même pour tout diviseur potentiel non trivial $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
Il est immédiat que si $f_n=g_1 g_2$, on 
a $S(f_n)=S(g_1)+S(g_2)$. Comme $S(f_n)$ est symétrique en les
racines, et que $f_n$ est unitaire, on a $(x_1\dots x_n)S(f_n)\in \ZZ$ ; comme le 
produit des racines est ici une unité, on a donc $S(f_n)\in \ZZ$ ; 
il en est ansi de tout diviseur $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
En fait, $S(f_n)=1$ : pour $n\geq 3$, $\sum x_i=\sigma_1=0$ tandis
que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$.

Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$, 
si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$,
on a 
$\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$,
en sommant le carré des deux égalités on trouve :
$$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$
En particulier $r\neq 1$ car sinon $\cos(\varphi)=-\frac{1}{2}$ et 
les racines primitives cubiques de l'unité seraient des racines de $f_n$, ce
qui n'est pas le cas.
Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$,
$(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$,
on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus,
$$
\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
$$
Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
$\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc,
la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$,
on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit
l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$.
CQFD.