Various additions or clarifications after course on 2016-04-04.

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@@ -4054,12 +4054,13 @@ Alors :
   petit élément strictement positif du groupe des valeurs, qui
   identifie ce dernier à $\mathbb{Z}$), et en fixant $t$ un élément
   comme on vient de dire (et il en existe),
-\item[(b)]tout élément $x$ de $K$ a une représentation unique sous la
-  forme $x = u t^r$ avec $u \in \mathcal{O}^\times$ et $r \in
+\item[(b)]tout élément $x \neq 0$ de $K$ a une représentation unique
+  sous la forme $x = u t^r$ avec $u \in \mathcal{O}^\times$ et $r \in
   \mathbb{Z}$, auquel cas on a $r = v(x)$,
-\item[(c)]de même, tout idéal $I$ de $\mathcal{O}$ est l'idéal
-  $\{x\in\mathcal{O} : v(x)\geq r\}$ engendré par $t^r$ (en
-  particulier, $\mathcal{O}$ est principal).
+\item[(c)]de même, tout idéal $I \neq (0)$ de $\mathcal{O}$ est
+  l'idéal $\{x\in\mathcal{O} : v(x)\geq r\}$ engendré par $t^r$ (en
+  particulier, $\mathcal{O}$ est principal) pour un certain $r \in
+  \mathbb{N}$.
 \end{itemize}
 
 Un élément $t$ tel que $v(t) = 1$ s'appelle une \defin{uniformisante}
@@ -4122,7 +4123,9 @@ place $v$.
 (Voir aussi le théorème \ref{degree-identity} plus bas pour une
 généralisation de (B) et (C).)
 \begin{proof}
-Pour ce qui est de (A), commençons par supposer $v(x) < 0$ et
+Pour ce qui est de (A), on peut le déduire
+de \ref{valuation-rings-and-integral-closure}, mais on va le faire
+directement.  Commençons par supposer $v(x) < 0$ et
 cherchons à montrer la transcendance de $x$ : on a $v(x^i) = i\,v(x)$,
 et si $a \in k^\times$, comme $v(a) = 0$ (puisque la valuation est
 au-dessus de $k$), on a $v(a x^i) = i\,v(x)$ ; par conséquent, si on a
@@ -4248,7 +4251,18 @@ $\mathscr{V}_K \to k\cup\{\infty\}$).
 On dira symétriquement que $f$ a un \defin[zéro (d'une
   fonction)]{zéro} en la place $v$ lorsque $v(f) > 0$, c'est-à-dire
 que $f(v) = 0$ (le $0$ de $\varkappa_v$ étant défini comme l'idéal
-$\mathfrak{m} := \{x\in \mathcal{O}_v : v(x)>0\}$).
+$\mathfrak{m}_v := \{x\in \mathcal{O}_v : v(x)>0\}$).
+
+Pour récapituler, on pour $f \in K$ et $v \in \mathscr{V}_K$, on a
+trois possibilités exclusives :
+\begin{itemize}
+\item $v(f) > 0$, ce qui équivaut à $f(v) = 0$, ce qui équivaut à $f
+  \in \mathfrak{m}_v$ : on dit que $f$ a un zéro en $v$ ;
+\item $v(f) < 0$, ce qui équivaut à $f(v) = \infty$, ce qui équivaut à
+  $f \not\in \mathcal{O}_v$ : on dit que $f$ a un pôle en $v$ ;
+\item $v(f) = 0$, ce qui équivaut à $f(v) \in \varkappa_v^\times$, ce
+  qui équivaut à $f \in \mathcal{O}_v^\times$.
+\end{itemize}
 
 La valuation $v(f)$ peut également être appelée \defin{multiplicité}
 du zéro de $f$ en $v$ (même si cette terminologie est un peu abusive
@@ -4320,27 +4334,33 @@ décomposition en produit d'irréductibles, et pour une fraction
 rationnelle $f/g$ on peut définir $v_h(f/g) = v_h(f) - v_h(g)$ sachant
 qu'au plus un de ces termes sera non-nul lorsque $f/g$ est en forme
 irréductible, cf. \ref{valuations-on-integral-domains}).  Si on
-préfère, on peut aussi le noter $v_\xi(f)$ où $\xi$ est une racine
-quelconque de $h$ dans une clôture algébrique $k^{\alg}$ fixée.
+préfère, au moins si $k$ est parfait, on peut aussi le noter
+$v_\xi(f)$ où $\xi$ est une racine quelconque de $h$ dans une clôture
+algébrique $k^{\alg}$ fixée (puisque le polynôme $h$ se factorise dans
+$k^{\alg}$ comme le produit des $t-\xi_i$ où $\xi_i$ parcourt les
+conjugués de $\xi$,
+cf. \ref{galois-group-of-polynomial-and-permutations} et
+aussi \ref{function-field-of-the-line}).
 
 Il est facile de vérifier que ces $v_h$ sont bien des valuations au
 sens de \ref{valuation-ring-versus-valuation-function} (il suffit par
 exemple de vérifier les propriétés définissant une valuation sur des
 polynômes, ce qui est immédiat, et de les déduire pour les fractions
-rationnelles).  On peut aussi vérifier directement que $R_h := \{f \in
-k(t) : v_h(f) \geq 0\}$ (c'est-à-dire l'ensemble des fractions
-rationnelles dont $h$ ne divise pas le dénominateur réduit) est bien
-un anneau de valuation.
+rationnelles).  On peut aussi vérifier directement que $\mathcal{O}_h
+:= \{f \in k(t) : v_h(f) \geq 0\}$ (c'est-à-dire l'ensemble des
+fractions rationnelles dont $h$ ne divise pas le dénominateur réduit)
+est bien un anneau de valuation.
 
 \thingy Le corps résiduel $\varkappa_h$ de la place $v_h$ n'est autre
 que le corps de rupture $k[t]/(h)$ de $h$ sur $k$ (si $\deg h = 1$,
 c'est simplement $k$).  En effet, on a \textit{a priori} $\varkappa_h
-= R_h/(h)$ (cf. \ref{discrete-valuation-rings-are-principal}(a)) ;
-mais en fait tout élément de $R_h$ peut s'écrire sous la forme $f/g$
-avec $g$ non multiple de $h$, et quitte à utiliser une relation de
-Bézout $u g + w h = 1$ (avec $u,w \in k[t]$), on voit que $f/g$ est la
-somme de $u f \in k[t]$ et de $w\frac{f}{g} h \in h R_h$, si bien que
-finalement $R_h/(h) = k[t]/(h)$.
+= \mathcal{O}_h/(h)$
+(cf. \ref{discrete-valuation-rings-are-principal}(a)) ; mais en fait
+tout élément de $\mathcal{O}_h$ peut s'écrire sous la forme $f/g$ avec
+$g$ non multiple de $h$, et quitte à utiliser une relation de Bézout
+$u g + w h = 1$ (avec $u,w \in k[t]$), on voit que $f/g$ est la somme
+de $u f \in k[t]$ et de $w\frac{f}{g} h \in h \mathcal{O}_h$, si bien
+que finalement $\mathcal{O}_h/(h) = k[t]/(h)$.
 
 Ce qu'on a appelé degré de la place $v_h$ est donc simplement le degré
 de $h$ ; et les places rationnelles parmi les $v_h$ sont celles avec
@@ -4357,14 +4377,15 @@ de $k$, à savoir celle qui à une fraction rationnelle $f/g$ associe la
 différence $\deg(g) - \deg(f)$ du degré du dénominateur et du degré du
 numérateur.  On la notera $v_\infty$.
 
-L'anneau de valuation $R_\infty$ associé est l'anneau des fractions
-rationnelles dont le degré du dénominateur est supérieur ou égal à
-celui du numérateur, et le corps résiduel est simplement $k$, le
-morphisme d'évaluation dans $R_\infty/(\frac{1}{t}) = k$ étant donné
-par la valeur de la fraction rationnelle en $\infty$ (telle que
-définie en \ref{function-field-of-the-line}).  On peut s'en convaincre
-en remplaçant $t$ par $\frac{1}{t}$, ce qui définit un automorphisme
-de $k(t)$ transformant la place $v_0$ en $v_\infty$ et vice versa.
+L'anneau de valuation $\mathcal{O}_\infty$ associé est l'anneau des
+fractions rationnelles dont le degré du dénominateur est supérieur ou
+égal à celui du numérateur, et le corps résiduel est simplement $k$,
+le morphisme d'évaluation dans $\mathcal{O}_\infty/(\frac{1}{t}) = k$
+étant donné par la valeur de la fraction rationnelle en $\infty$
+(telle que définie en \ref{function-field-of-the-line}).  On peut s'en
+convaincre en remplaçant $t$ par $\frac{1}{t}$, ce qui définit un
+automorphisme de $k(t)$ transformant la place $v_0$ en $v_\infty$ et
+vice versa.
 
 On vient de construire un certain nombre de places de $k(t)$ : en
 fait, ce sont les seules :
@@ -4382,11 +4403,11 @@ On a vu que les places qu'on a dites en sont bien, et elles sont
 visiblement distinctes.  Soit maintenant $v$ une place de $k(t)$.
 
 Considérons d'abord le cas $v(t) \geq 0$.  Alors $v(f) \geq 0$ pour
-tout polynôme $f \in k[t]$ (puisque $R_f$ est un anneau).  Il existe
-nécessairement un $f \in k[t]$ tel que $v(f) > 0$ sans quoi la
-valuation serait triviale.  Mais si $v(f) > 0$, l'un de ses facteurs
-(unitaires) irréductibles, disons $h$, vérifie aussi $v(h) > 0$.  On a
-nécessairement $v(q) = 0$ pour tout autre polynôme unitaire
+tout polynôme $f \in k[t]$ (puisque $\mathcal{O}_v$ est un anneau).
+Il existe nécessairement un $f \in k[t]$ tel que $v(f) > 0$ sans quoi
+la valuation serait triviale.  Mais si $v(f) > 0$, l'un de ses
+facteurs (unitaires) irréductibles, disons $h$, vérifie aussi $v(h) >
+0$.  On a nécessairement $v(q) = 0$ pour tout autre polynôme unitaire
 irréductible $q$ car si $v(q)$ était strictement positif, une relation
 de Bézout $u q + w h = 1$ avec $u,w \in k[t]$ donnerait $v(1) > 0$ ce
 qui est absurde.  Bref, $h$ est le seul polynôme unitaire irréductible
@@ -4519,19 +4540,27 @@ identiquement nulle soit n'a pas de zéro non plus).
 
 \begin{lem}\label{dimension-degree-bound-lemma}
 Soit $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, soient
-$v_1,\ldots,v_n$ des places de $K$ sur $k$ et soient $r_1,\ldots,r_n
-\in \mathbb{N}$.  Alors la dimension du $k$-espace vectoriel $L := \{f
-\in K : (\forall i)\, v_i(f_i) \geq -r_i\}$ est $\leq [\tilde k : k] +
-\sum_{i=1}^n r_i\, \deg(v_i)$ où on rappelle que $\deg(v_i)$ (degré de
-la place $v_i$, cf. \ref{degree-of-a-place}) est $\dim_k(\varkappa_i)$
+$v_1,\ldots,v_n$ des places de $K$ sur $k$ deux à deux distinctes, et
+soient $r_1,\ldots,r_n \in \mathbb{N}$.  Si $v$ est une place de $K$,
+posons $r_v = r_i$ si $v = v_i$ et $r_v = 0$ si $v$ n'est pas l'une
+des $v_i$.  On considère le $k$-espace vectoriel
+\[
+L := \{f \in K : (\forall v)\, v(f) \geq -r_v\}
+\]
+des fonctions $f \in K$ qui ont en $v_i$ un pôle de multiplicité au
+plus $r_i$ et aucun pôle ailleurs qu'en $v_1,\ldots,v_n$.
+
+Alors la dimension de $L$ est $\leq [\tilde k : k] + \sum_{i=1}^n
+r_i\, \deg(v_i)$ où on rappelle que $\deg(v_i)$ (degré de la
+place $v_i$, cf. \ref{degree-of-a-place}) est $\dim_k(\varkappa_i)$
 avec $\varkappa_i := \mathcal{O}_i/\mathfrak{m}_i$ le corps résiduel
 de $v_i$, et où $\tilde k$ est le corps des constantes (fermeture
 algébrique de $k$ dans $K$, cf. \ref{constant-functions-on-a-curve}).
-En particulier, cette dimension est finie.
+En particulier, cette dimension est \emph{finie}.
 \end{lem}
 \begin{proof}
 On procède par récurrence sur $\sum_{i=1}^n r_i$.  Si les $r_i$ sont
-tous nuls, $L = \{f\in K : (\forall i)\, v_i(f_i) \geq 0\}$ est
+tous nuls, $L = \{f\in K : (\forall v)\, v(f) \geq 0\}$ est
 précisément $\tilde k$
 (cf. \ref{valuation-rings-and-integral-closure}), donc la formule est
 vérifiée dans ce cas.
@@ -4551,7 +4580,7 @@ est $L$.  En particulier, $\dim_k(L') \leq \dim_k(\varkappa_i) +
 conclut la récurrence.
 \end{proof}
 
-\begin{thm}\label{degree-identity}
+\begin{thm}[« identité du degré »]\label{degree-identity}
 Soit $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, soit $x \in K$ non
 constant (cf. \ref{constant-functions-on-a-curve}) : alors l'ensemble
 des places où $x$ a un zéro (c'est-à-dire $v(x) > 0$) est fini, et si
@@ -4569,26 +4598,7 @@ soient \emph{toutes} les places où $x$ a un zéro, ce qui prouvera, en
 particulier, qu'il y en a bien un nombre fini (majoré par $[K :
   k(x)]$).
 
-\emph{Montrons d'abord l'inégalité $\geq$.}
-
-Soit $m := [K:k(x)]$ et soit $z_1,\ldots,z_m$ une base de $K$
-comme $k(x)$-espace vectoriel.  Ajoutons aux $v_i$ toutes les places
-où l'un des $z_j$ a un pôle, et posons $r_i = \max(v_i(x),0)$
-(c'est-à-dire $r_i = v_i(x)$ pour les $v_i$ de départ et $r_i = 0$
-pour les nouveaux), et aussi $s_i = \max(\max_j\{v_i(z_j)\},0)$.  Soit
-enfin $L_N$ l'espace vectoriel $\{f \in K : (\forall i)\, v_i(f_i)
-\geq -(s_i + N r_i)\}$ : on a alors $x^{-\ell} z_j \in L_N$ pour tout
-$j$ et tout $0\leq \ell \leq N$, et les $x^{-\ell} z_j$ sont
-linéairement indépendants sur $k$ (puisque $x$ est transcendant
-d'après \ref{constant-functions-on-a-curve} et que les $z_j$ sont
-linéairement indépendants sur $k(x)$).  D'après le
-lemme \ref{dimension-degree-bound-lemma}, on en déduit $N \sum_i
-r_i\,\deg(v_i) + C \geq (N+1) m$ où $C$ est une constante (à savoir
-$\sum_i s_i\,\deg(v_i) + [\tilde k:k]$).  Or ceci n'est possible, pour
-$N$ grand, que si $\sum_i r_i\,\deg(v_i) \geq m$, ce qui montre
-l'inégalité annoncée.
-
-\emph{Montrons maintenant l'inégalité $\leq$.}
+\emph{Montrons d'abord l'inégalité $\leq$.}
 
 Pour chaque $i$, soit $d_i := \deg(v_i)$ et $r_i := v_i(x)$, et soient
 $z_{i,1},\ldots,z_{i,d_i} \in \mathcal{O}_i$ dont les classes
@@ -4642,6 +4652,25 @@ réduisant modulo $\mathfrak{m}_i$, on obtient donc
 modulo $\mathfrak{m}_i$) et au moins un des $f_{i,u,e}(0)$ est non
 nul.  Mais ceci contredit l'indépendance linéaire sur $k$ des
 $z_{i,u}(v_i) \in \varkappa_i$.
+
+\emph{Montrons maintenant l'inégalité $\geq$.}
+
+Soit $m := [K:k(x)]$ et soit $z_1,\ldots,z_m$ une base de $K$
+comme $k(x)$-espace vectoriel.  Ajoutons aux $v_i$ toutes les places
+où l'un des $z_j$ a un pôle, et posons $r_i = \max(v_i(x),0)$
+(c'est-à-dire $r_i = v_i(x)$ pour les $v_i$ de départ et $r_i = 0$
+pour les nouveaux), et aussi $s_i = \max(\max_j\{v_i(z_j)\},0)$.  Soit
+enfin $L_N$ l'espace vectoriel $\{f \in K : (\forall i)\, v_i(f_i)
+\geq -(s_i + N r_i)\}$ : on a alors $x^{-\ell} z_j \in L_N$ pour tout
+$j$ et tout $0\leq \ell \leq N$, et les $x^{-\ell} z_j$ sont
+linéairement indépendants sur $k$ (puisque $x$ est transcendant
+d'après \ref{constant-functions-on-a-curve} et que les $z_j$ sont
+linéairement indépendants sur $k(x)$).  D'après le
+lemme \ref{dimension-degree-bound-lemma}, on en déduit $N \sum_i
+r_i\,\deg(v_i) + C \geq (N+1) m$ où $C$ est une constante (à savoir
+$\sum_i s_i\,\deg(v_i) + [\tilde k:k]$).  Or ceci n'est possible, pour
+$N$ grand, que si $\sum_i r_i\,\deg(v_i) \geq m$, ce qui montre
+l'inégalité annoncée.
 \end{proof}
 
 \begin{cor}
@@ -4658,6 +4687,61 @@ cardinal au plus $[K : k(x)]$, qui est fini ; et pour ce qui est des
 pôles, il suffit de remplacer $x$ par $x^{-1}$.
 \end{proof}
 
+\thingy L'identité du degré généralise le fait qu'un polynôme de
+degré $d$ a au plus $d$ zéros, et même exactement $d$ si on compte les
+zéros avec multiplicité dans une clôture algébrique.  Pour voir le
+rapport, considérons $h \in k[t]$ de degré $d > 0$ : alors $h$ (vu
+comme un élément de $k(t)$) est transcendant sur $k$ d'après
+\ref{key-lemma-on-valuations-of-a-curve}(A), mieux, l'extension $k(h)
+\subseteq k(t)$ est algébrique de degré $d$.  En effet, $t$ est racine
+du polynôme $h(u) - h \in k(h)[u]$ de degré $d$ en
+l'indéterminée $u$ ; et pour montrer que $1,\ldots,t^{d-1}$ sont
+linéairement indépendants sur $k(h)$, supposons que $z_0 + z_1 t +
+\cdots + z_{d-1} t^{d-1} = 0$ avec $z_i \in k(h)$, disons $z_i =
+f_i\circ h$ où $f_i \in k(u)$, quitte à chasser les dénominateurs on
+peut supposer $f_i \in k[u]$ non tous multiples de $u$ et quitte à
+écrire $f_i = c_i + u g_i$ où $c_i = f_i(0) \in k$ non tous nuls et
+$g_i \in k[u]$, c'est-à-dire $z_i = c_i + h\cdot g_i\circ h$, et on a
+$c_0 + c_1 t + \cdots + c_{d-1} t^{d-1} \in k[t]/(h)$, ce qui est
+impossible.  Bref, $[k(t) : k(h)] = \deg h$ dans ce cas, et l'énoncé
+du théorème \ref{degree-identity} est que $\sum_{i=1}^n v_i(h)\,
+\deg(v_i) = \deg h$ où les $v_i$ sont les places où $h$ a un zéro ;
+d'après la section \ref{subsection-places-of-the-projective-line}, les
+$v_i(h)$ sont les multiplicités des facteurs irréductibles $h_i$
+divisant $h$ (i.e., « où $h$ a un zéro »), et les $\deg(v_i)$ sont les
+degrés des facteurs $h_i$ en question.
+
+Si $h \in k(t)$ est une fraction rationnelle, la même formule permet
+de voir que $[k(t) : k(h)]$ est égal à la somme des $v_i(h)\,
+\deg(v_i)$ comme précédemment, c'est-à-dire le degré du numérateur,
+plus éventuellement la contribution de la place $\infty$ (si
+$v_\infty(h)\geq 0$), pour laquelle $\deg(v_\infty) = 1$ et
+$v_\infty(h)$ est le degré du dénominateur moins celui du numérateur.
+Autrement dit, le terme de gauche de l'égalité du
+théorème \ref{degree-identity} est le \emph{maximum} du degré du
+numérateur et du degré du dénominateur : il est raisonnable de définir
+ainsi le degré d'une fraction rationnelle.
+
+En s'inspirant de ces cas particuliers, on fait la définition générale
+suivante :
+
+\begin{defn}
+Soit $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$ et soit $h\in K$ :
+alors on pose $\deg(h) = [K : k(h)]$ si $h$ est non constant, et
+$\deg(h) = 0$ si $h$ est constante (\defin[degré (d'une fonction sur
+  une courbe)]{degré} de $x$).  Ainsi, le
+théorème \ref{degree-identity} se réécrit :
+\[
+\sum_{i=1}^n v_i(h)\,\deg(v_i) = \deg(h)
+\]
+dès que $h \neq 0$, où $v_1,\ldots,v_n$ sont les places où $h$ a un
+zéro.
+\end{defn}
+
+On a vu ci-dessus que si $h$ est un polynôme, $\deg h$ est bien le
+degré au sens usuel, et si $h$ est une fraction rationnelle, $\deg h$
+est le maximum du degré du numérateur et du dénominateur.
+
 
 \subsection{Diviseurs sur les courbes}\label{subsection-divisors-on-curves}