Yet more on the exercise.

1 files changed, 28 insertions, 0 deletions

diff --git a/exercices-courbes.tex b/exercices-courbes.tex
index 6192b9d..81bd76c 100644
--- a/exercices-courbes.tex
+++ b/exercices-courbes.tex
@@ -664,6 +664,34 @@ $\frac{dx}{y} = \frac{1}{x^3 + ax + b}\,y\,dx = \frac{1}{3x^2+a}\,dy$
 répond à la question.
 \end{corrige}
 
+\smallbreak
+
+(15) Si $D$ est un diviseur de degé $1$ sur $E$, montrer que $\ell(D)
+= 1$.  En déduire que tout diviseur $D$ de degré $0$ est linéairement
+équivalent à $(M) - (\heartsuit)$ pour une place $M$ de degré $1$ (on
+considérera un élément non nul dans $\mathscr{L}(D + (\heartsuit))$).
+Montrer que cette place est unique, i.e., que $(M) - (\heartsuit)$
+n'est linéairement équivalent à $(M') - (\heartsuit)$ que pour $M'=M$
+(on pourra noter que tout élément de $\mathscr{L}((M))$ est une
+constante).
+
+\begin{corrige}
+D'après \ref{degree-of-canonical-divisor}(B), si $D$ est de degré $1 >
+2g-2$, on a $\ell(D) = \deg D + 1 - g = 1$.  Si maintenant $D$ est de
+degré $0$, alors $D + (\heartsuit)$ est de degré $1$, donc on vient de
+voir qu'il existe $z \in \mathscr{L}(D + (\heartsuit))$ non nul,
+c'est-à-dire $\divis(z) + D + (\heartsuit) \geq 0$, or le membre de
+gauche est de degré $1$, et un diviseur effectif de degré $1$ est
+évidemment de la forme $(M)$ pour $M$ une place rationnelle.  On a
+donc $\divis(z) + D + (\heartsuit) = (M)$, ce qui donne bien $D \sim
+(M) - (\heartsuit)$.  Enfin, $M$ est unique sous ces conditions, car
+si $(M') - (\heartsuit) \sim (M) - (\heartsuit)$, autrement dit $(M')
+- (M) = \divis(u)$ pour un certain $u\in K^\times$, on a $u \in
+\mathscr{L}((M))$, et on vient de voir que $\ell((M)) = 1$,
+c'est-à-dire que $\mathscr{L}((M))$ ne contient que les constantes,
+bref, $\divis(u) = 0$ et $M = M'$.
+\end{corrige}
+
 
 
 %