Noetherian rings, maximal ideals of polynomial rings, and the Zariski lemma.

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@@ -135,7 +135,7 @@ autrement dit lorsque $\mathfrak{p}\neq A$ et que $ab \in
 \mathfrak{p}$ implique $a \in \mathfrak{p}$ ou $b \in \mathfrak{p}$
 (la réciproque est toujours vraie).
 
-\thingy Dans un anneau (toujours sous-entendu commutatif...),
+\thingy\label{fields-and-maximal-ideals} Dans un anneau (toujours sous-entendu commutatif...),
 l'ensemble noté $A^\times$ des éléments inversibles est un groupe,
 aussi appelé groupe des \textbf{unités} de $A$.
 
@@ -286,7 +286,8 @@ inversible.
 
 \subsection{Algèbre engendrée, extensions de corps}
 
-\thingy Si $A$ est une $k$-algèbre (où $k$ est un anneau), et
+\thingy\label{subalgebra-generated} Si $A$ est une $k$-algèbre (où $k$
+est un anneau), et
 $(x_i)_{i\in I}$ est une famille d'éléments de $A$, l'intersection de
 toutes les sous-$k$-algèbres de $A$ contenant les $x_i$ est encore une
 sous-$k$-algèbre de $A$ contenant les $x_i$, c'est-à-dire que c'est la
@@ -295,7 +296,7 @@ $k$-algèbre \textbf{engendrée} (dans $A$) par les $x_i$ et on la note
 $k[x_i]_{i\in I}$.  Lorsque les $x_i$ sont en nombre fini (le cas qui
 nous intéressera le plus), disons indicés par $1,\ldots,n$, on note
 $k[x_1,\ldots,x_n]$, et on dit que $k[x_1,\ldots,x_n]$ est une
-$k$-algèbre \textbf{de type fini} (comme $k$-algèbre).
+$k$-algèbre \textbf{de type fini} (en tant que $k$-\emph{algèbre}).
 
 \danger On prendra garde au fait que la même notation
 $k[x_1,\ldots,x_n]$ peut désigner soit la $k$-algèbre engendrée
@@ -364,7 +365,7 @@ par les $x_i$ et on la note $k(x_i)_{i\in I}$.  Lorsque les $x_i$ sont
 en nombre fini (le cas qui nous intéressera le plus), disons indicés
 par $1,\ldots,n$, on note $k(x_1,\ldots,x_n)$, et on dit que
 $k(x_1,\ldots,x_n)$ est une extension de $k$ \textbf{de type fini}
-(comme extension de corps).
+(en tant qu'extension de \emph{corps}).
 
 \danger On prendra garde au fait que la même notation
 $k(x_1,\ldots,x_n)$ peut désigner soit la sous-extension engendrée
@@ -481,13 +482,13 @@ irréductibles dans $k[t]$ sont les $t-a$.
 À titre d'exemple, le corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes est
 algébriquement clos (« théorème de D'Alembert-Gauß »).
 
-\thingy Si $k\subseteq K$ est une extension de corps, on peut
-considérer $K$ comme un $k$-espace vectoriel, et sa dimension (finie
-ou infinie) est notée $[K:k]$ et appelée \textbf{degré} de
-l'extension.  Une extension de degré fini est aussi dite
-\textbf{finie} (ainsi, on pourra dire simplement que $K$ est « fini
-sur $k$ » pour dire que son degré est fini).  Il va de soi qu'une
-sous-extension d'une extension finie est encore finie.
+\thingy\label{degree-and-finite-extensions} Si $k\subseteq K$ est une
+extension de corps, on peut considérer $K$ comme un $k$-espace
+vectoriel, et sa dimension (finie ou infinie) est notée $[K:k]$ et
+appelée \textbf{degré} de l'extension.  Une extension de degré fini
+est aussi dite \textbf{finie} (ainsi, on pourra dire simplement que
+$K$ est « fini sur $k$ » pour dire que son degré est fini).  Il va de
+soi qu'une sous-extension d'une extension finie est encore finie.
 
 Il résulte de l'identification de $k(x)$ à $k[t]/(\mu_x)$ que, si $x$
 est un élément algébrique sur $k$, alors $[k(x):k]$ est fini et égal
@@ -1229,10 +1230,11 @@ déjà dans $L$, et en fait $L = M$, ce qui montre que $L$ est
 algébriquement clos.
 \end{proof}
 
-\thingy La fermeture algébrique d'un corps $K$ dans un corps
-algébriquement clos $L$ qui le contient fournit une clôture algébrique
-de $K$ (vérification facile).  À titre d'exemple, puisque $\mathbb{C}$
-est algébriquement clos, la fermeture algébrique de $\mathbb{Q}$
+\thingy\label{algebraic-closure-in-algebraically-closed-field} La
+fermeture algébrique d'un corps $K$ dans un corps algébriquement clos
+$L$ qui le contient fournit une clôture algébrique de $K$
+(vérification facile).  À titre d'exemple, puisque $\mathbb{C}$ est
+algébriquement clos, la fermeture algébrique de $\mathbb{Q}$
 dans $\mathbb{C}$, c'est-à-dire l'ensemble des nombres complexes
 algébriques sur $\mathbb{Q}$, est une clôture algébrique
 de $\mathbb{Q}$.
@@ -1688,7 +1690,7 @@ algébrique de $k$ est séparable.
 
 \begin{prop}\label{separating-transcendence-basis-over-perfect-field}
 Soit $k$ un corps parfait et $k \subseteq K$ une extension de corps de
-type fini (cf. \label{subfield-generated}).  Alors il existe
+type fini (cf. \ref{subfield-generated}).  Alors il existe
 $x_1,\ldots,x_{d+1} \in K$ tels que $K = k(x_1,\ldots,x_{d+1})$ avec
 $x_1,\ldots,x_d$ algébriquement indépendants sur $k$
 (cf. \ref{definition-transcendence-basis}) et $x_{d+1}$ séparable sur
@@ -1889,9 +1891,83 @@ les résultats suivants :
 
 \section{Le Nullstellensatz et les fermés de Zariski}
 
+\subsection{Anneaux noethériens}
+
+\thingy Un idéal $I$ d'un anneau $A$ est dit \textbf{de type fini} (en
+tant qu'\emph{idéal}) lorsqu'il est engendré (en tant qu'idéal !,
+c'est-à-dire en tant que sous-module de $A$) par un nombre fini
+d'éléments, autrement dit, $I = (x_1,\ldots,x_n) := \{\sum_{i=1}^n a_i
+x_i : (a_1,\ldots,a_n) \in A\}$ est l'ensemble des combinaisons
+$A$-linéaires de $x_1,\ldots,x_n$ pour certains $x_1,\ldots,x_n \in
+I$.  Il revient à dire que $I$ est de type fini en tant que
+sous-module de $A$.
+
+Si c'est le cas, en fait, de toute famille $(y_i)_{i\in I}$ d'éléments
+qui engendrent $I$ on peut extraire une sous-famille finie qui
+l'engendre.  En effet, si $I$ est engendré par $x_1,\ldots,x_n$ et est
+aussi engendré par $(y_i)_{i\in I}$, alors l'écriture de chaque $x_j$
+comme combinaison $A$-linéaire des $y_i$ ne fait intervenir qu'un
+nombre fini de ceux-ci, donc un nombre fini des $y_i$ suffit à
+exprimer tous les $x_j$ donc tous les éléments de $I$.
+
+\thingy Un anneau $A$ est dit \textbf{noethérien} lorsque tout idéal
+$I$ de $A$ est de type fini.
+
+Remarquons qu'un \emph{quotient} d'un anneau noethérien est
+noethérien.  En effet, les idéaux de $A/J$ sont de la forme $I/J$ avec
+$I$ un idéal de $A$ contenant $J$, et si $I$ est de type fini alors
+$I/J$ l'est aussi.
+
+\begin{prop}[théorème de la base de Hilbert]
+Si $A$ est un anneau noethérien, alors l'anneau $A[t]$ des polynômes à
+une indéterminée sur $A$ est noethérien.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Soit $I \subseteq A[t]$ un idéal.  Supposons par l'absurde que $I$
+n'est pas de type fini.  On construit par récurrence une suite
+$f_0,f_1,f_2,\ldots$ d'éléments de $I$ comme suit.  Si
+$f_0,\ldots,f_{r-1}$ ont déjà été choisis, comme l'idéal
+$(f_0,\ldots,f_{r-1})$ qu'ils engendrent n'est pas $I$, on peut
+choisir $f_r$ de plus petit degré possible parmi les éléments de $I$
+non dans $(f_0,\ldots,f_{r-1})$.
+
+Appelons $c_i$ le coefficient dominant de $f_i$.  Comme $A$ est
+supposé noethérien, il existe $m$ tel que $c_0,\ldots,c_{m-1}$
+engendrent l'idéal $J$ engendré par tous les $c_i$.  Montrons qu'en
+fait $f_0,\ldots,f_{m-1}$ engendrent $I$ (ce qui constitue une
+contradiction).
+
+On peut écrire $c_m = a_0 c_0 + \cdots + a_{m-1} c_{m-1}$.  Par
+ailleurs, le degré de $f_m$ est supérieur ou égal au degré de chacun
+de $f_0,\ldots,f_{m-1}$ par minimalité de ces derniers.  On peut donc
+construire le polynôme $g = \sum_{i=0}^{m-1} a_i f_i t^{\deg f_m -
+  \deg f_i}$, qui a les mêmes degré et coefficient dominant que $f_m$,
+et qui appartient à $(f_0,\ldots,f_{m-1})$.  Alors, $f_m - g$ est de
+degré strictement plus petit que $f_m$, il appartient à $I$ mais pas
+à $(f_0,\ldots,f_{m-1})$ : ceci contredit la minimalité dans le choix
+de $f_m$.
+\end{proof}
+
+\begin{cor}\label{hilbert-basis-theorem-for-polynomials}
+Soit $k$ un corps ou plus généralement un anneau noethérien.  Alors
+l'anneau $k[t_1,\ldots,t_n]$ des polynômes en $n$ indéterminées
+sur $k$ est un anneau noethérien, et plus généralement toute
+$k$-algèbre de type fini (comme $k$-algèbre !) $k[x_1,\ldots,x_n]$ est
+un anneau noethérien.
+\end{cor}
+\begin{proof}
+La proposition précédente montre que si $k$ est noethérien alors
+$k[t]$ est noethérien, et une récurrence immédiate montre que
+$k[t_1,\ldots,t_n]$ est noethérien.  Or une $k$-algèbre de type fini
+est un quotient de $k[t_1,\ldots,t_n]$
+(cf. \ref{subalgebra-generated-is-polynomials}), et on a expliqué
+qu'un quotient d'un anneau noethérien est noethérien.
+\end{proof}
+
+
 \subsection{Idéaux maximaux d'anneaux de polynômes}
 
-\begin{lem}
+\begin{lem}\label{zeros-over-extensions-of-algebraically-closed-fields}
 Soit $k$ un corps algébriquement clos et $k \subseteq K$ une
 extension.  On suppose que $h_1,\ldots,h_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ ont
 un zéro commun dans $K$ (c'est-à-dire qu'il existe $z_1,\ldots,z_n \in
@@ -1934,6 +2010,104 @@ ce polynôme, on trouve $0$.  Ceci montre que $x_j := \tilde g_j(w)$
 répond au problème posé $h_i(x_1,\ldots,x_n) = 0$.
 \end{proof}
 
+\thingy À titre d'exemple, si $h_1,\ldots,h_m \in
+\mathbb{Q}[t_1,\ldots,t_n]$ ont un zéro commun dans $\mathbb{C}$,
+alors ils en ont un dans l'ensemble $\mathbb{Q}^{\alg}$ des complexes
+algébriques sur $\mathbb{Q}$ (cf. \ref{relative-algebraic-closure}
+et \ref{algebraic-closure-in-algebraically-closed-field}).
+
+\thingy Soit $k$ un corps.  On va s'intéresser aux idéaux
+\begin{align*}
+\mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_n)} &:= \{f \in k[t_1,\ldots,t_n]
+: f(x_1,\ldots,x_n) = 0\}\\
+&= (t_1-x_1,\ldots,t_n-x_n)
+\end{align*}
+pour $(x_1,\ldots,x_n) \in k^n$, et on va expliquer qu'ils sont
+maximaux (cf. \ref{fields-and-maximal-ideals}).
+
+Tout d'abord, expliquons pourquoi l'idéal
+$\mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_n)} := \{f \in k[t_1,\ldots,t_n] :
+f(x_1,\ldots,x_n) = 0\}$ est bien l'idéal $(t_1-x_1,\ldots,t_n-x_n)$
+engendré par les $t_i-x_i$, puis on verra qu'il est maximal.  Comme
+$t_i-x_i$ s'annule sur $(x_1,\ldots,x_n)$, on a
+$\mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_n)} \supseteq (t_1-x_1,\ldots,t_n-x_n)$.
+Mais si un morphisme $k[t_1,\ldots,t_n] \to R$ de $k$-algèbres envoie
+chaque $t_i-x_i$ sur $0$, il envoie $t_i$ sur $x_i$ donc
+$f(t_1,\ldots,t_n)$ sur $f(x_1,\ldots,x_n)$ donc son noyau contient
+$\mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_n)}$, et en particulier ceci s'applique
+au morphisme de quotient par $(t_1-x_1,\ldots,t_n-x_n)$ : donc
+$\mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_n)} \subseteq (t_1-x_1,\ldots,t_n-x_n)$
+et on a égalité.  De plus, comme le morphisme $k[t_1,\ldots,t_n] \to
+k$ envoyant $f(t_1,\ldots,t_n)$ sur $f(x_1,\ldots,x_n)$ est surjectif
+vers un corps et a pour noyau $\mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_n)}$, ce
+dernier est un idéal maximal.
+
+\begin{prop}
+Soit $k$ un corps algébriquement clos.  Les idéaux maximaux de
+$k[t_1,\ldots,t_n]$ sont exactement les idéaux
+$\mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_n)} := \{f \in k[t_1,\ldots,t_n] :
+f(x_1,\ldots,x_n) = 0\}$ pour $(x_1,\ldots,x_n) \in k^n$.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Si $\mathfrak{M}$ est un idéal maximal de $k[t_1,\ldots,t_n]$, alors
+$K := k[t_1,\ldots,t_n]/\mathfrak{M}$ est une extension du corps
+algébriquement clos $k$.  Par ailleurs,
+d'après \ref{hilbert-basis-theorem-for-polynomials}, on peut écrire
+$\mathfrak{M} = (h_1,\ldots,h_m)$ pour certains polynômes
+$h_1,\ldots,h_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$.  En notant $z_j \in K$ la
+classe de $t_j$ modulo $\mathfrak{M}$, on a $h_i(z_1,\ldots,z_n) = 0$
+dans $K$ par définition.
+D'après \ref{zeros-over-extensions-of-algebraically-closed-fields}, il
+existe donc $x_1,\ldots,x_n \in k$ tels que $h_i(x_1,\ldots,x_n) = 0$
+pour chaque $i$.  Ceci signifie que $h_i \in
+\mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_n)}$ pour chaque $i$, donc que
+$\mathfrak{M} \subseteq \mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_n)}$.  Par
+maximalité de $\mathfrak{M}$, cette inclusion est en fait une égalité,
+ce qu'on voulait prouver.
+\end{proof}
+
+\begin{prop}[« lemme de Zariski »]
+Soit $k$ un corps et $k \subseteq K$ une extension de type fini
+\emph{comme $k$-algèbre} (cf. \ref{subalgebra-generated}) : alors $K$
+est en fait une extension \emph{finie}
+(cf. \ref{degree-and-finite-extensions}).
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Soit $K^{\mathrm{alg}}$ une clôture algébrique de $K$ et
+$k^{\mathrm{alg}}$ la fermeture algébrique de $k$
+dans $K^{\mathrm{alg}}$ (cf. \ref{relative-algebraic-closure}) qui est
+donc algébriquement close
+(cf. \ref{algebraic-closure-in-algebraically-closed-field}).  Soient
+$z_1,\ldots,z_n \in K$ tels que $K = k[z_1,\ldots,z_n]$.  Considérons
+le morphisme d'évaluation $k^{\alg}[t_1,\ldots,t_n] \to K^{\alg}$
+envoyant $f$ sur $f(z_1,\ldots,z_n)$ : son image est
+$k^{\alg}[z_1,\ldots,z_n]$
+(cf. \ref{subalgebra-generated-is-polynomials}).
+
+Or $k^{\alg}[z_1,\ldots,z_n]$ est un \emph{corps}, ce qui peut se voir
+d'après \ref{compositum-generated-by-products} (c'est le corps composé
+$k^{\alg}.K$), ou bien directement (si $u \in
+k^{\alg}[z_1,\ldots,z_n]$ n'est pas nul, les coefficients de son
+écriture en fonction de $z_1,\ldots,z_n$ appartiennent à une extension
+finie $k'$ de $k$ d'après \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(1),
+or $k'[z_1,\ldots,z_n]$ est un anneau intègre car il est inclus
+dans $K^{\alg}$, et de dimension finie $\leq [k':k]$ sur
+$k[z_1,\ldots,z_n] = K$ puisque engendré comme $K$-espace vectoriel
+par n'importe quel système générateur de $k'$ comme $k$-espace
+vectoriel, donc d'après \ref{finite-integral-algebra-is-a-field},
+$k'[z_1,\ldots,z_n]$ est un corps et ceci montre que $u$ y est
+inversible).
+
+Le paragraphe précédent implique que le noyau $\mathfrak{M}$ du
+morphisme d'évaluation est maximal.  D'après la proposition
+précédente, $\mathfrak{M} = \mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_n)}$ pour
+certains $(x_1,\ldots,x_n) \in k^{\alg}$, et le fait que $t_i - x_i
+\in \mathfrak{M}$ signifie exactement que $z_i = x_i$ dans $K^{\alg}$,
+c'est-à-dire que finalement $z_1,\ldots,z_n$ appartiennent
+à $k^{\alg}$, et \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(1) montre que
+$K = k[z_1,\ldots,z_n]$ est fini sur $k$.
+\end{proof}
+
 
 
 % TODO: