Gauß lemma on irreducible polynomials.

1 files changed, 26 insertions, 1 deletions

diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex
index f2056a7..e70e4d1 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -298,6 +298,30 @@ automatiquement bijective, et en appliquant ce fait à la
 multiplication par un $a\in K$, on voit que tout élément régulier est
 inversible.
 
+\thingy\label{gauss-lemma-on-irreducibility} Rappelons par ailleurs le
+\textbf{lemme de Gauß} concernant les polynômes irréductibles : si $A$
+est un anneau factoriel et $K$ son corps des fractions, alors l'anneau
+$A[t]$ des polynômes en une indéterminée sur $A$ est factoriel ; et
+par ailleurs $f \in A[t]$ est irréductible (dans $A[t]$) si et
+seulement si $f$ est constant et irréductible dans $A$, \emph{ou bien}
+$f$ est irréductible \underline{dans $K[t]$} et le pgcd (dans $A$) des
+coefficients de $f$ vaut $1$ (on dit que $f$ est \textbf{primitif}
+lorsque cette dernière condition est vériifée).  Le point-clé dans la
+démonstration est de montrer que le pgcd $c(f)$ des coefficients d'un
+polynôme dans $A[t]$, aussi appelé \textbf{contenu} de $f$, est
+multiplicatif (i.e., $c(fg) = c(f)\,c(g)$) ; la décomposition en
+facteurs irréductibles dans $A[t]$ d'un élément de $A[t]$ s'obtient
+alors à partir de celle de $K[t]$ et de celle dans $A$ du contenu.
+
+Notamment, le corps $k[z_1,\ldots,z_n]$ des fractions rationnelles en
+$n$ indéterminées sur un corps $k$ est un anneau factoriel, un
+polynôme $f \in k[z_1,\ldots,z_n,t]$ (en $n+1$ indéterminées)
+irréductible et faisant effectivement intervenir $t$ est encore
+irréductible dans $k(z_1,\ldots,z_n)[t]$, et réciproquement, un
+polynôme irréductible dans $k(z_1,\ldots,z_n)[t]$ donne un polynôme
+irréductible dans $k[z_1,\ldots,z_n,t]$ quitte à multiplier par le
+pgcd des dénominateurs.
+
 \subsection{Algèbre engendrée, extensions de corps}
 
 \thingy\label{subalgebra-generated} Si $A$ est une $k$-algèbre (où $k$
@@ -1719,7 +1743,8 @@ sont algébriquement indépendants sur $K$
 algébrique sur $k(w_1,\ldots,w_d)$, donc on peut écrire
 $f(w_1,\ldots,w_d,y) = 0$ avec $f \in k(t_1,\ldots,t_d)[u]$
 irréductible, donc, quitte à chasser les dénominateurs, $f \in
-k[t_1,\ldots,t_d,u]$ irréductible.
+k[t_1,\ldots,t_d,u]$ irréductible
+(cf. \ref{gauss-lemma-on-irreducibility}).
 
 En particulier, on peut trouver un tel polynôme $f \in
 k[t_1,\ldots,t_{d+1}]$ irréductible tel que $f(w_1,\ldots,w_{d+1}) =