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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-18 20:18:17 +0100
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-18 20:18:17 +0100
commit41f91cf65d1c424b48733d17b37add64d579245b (patch)
treefb5c3ae47c711b0cba97dfa9ab9a183d9dd4004f
parentee128d37c31f72446c3a39344ee44dbb42af2f91 (diff)
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Another example: the parabola.
-rw-r--r--notes-accq205.tex20
1 files changed, 12 insertions, 8 deletions
diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex
index 5008f5b..0d7ce7c 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -3155,14 +3155,18 @@ Toute cette situation se résume en disant que le cercle $C =
quelconque de caractéristique $\neq 2$), ou rationnellement
paramétrée. Le cadre dans lequel nous considérons les courbes fait
qu'on « ne voit pas » la différence entre les courbes rationnelles et
-la droite.
-
-De façon générale, le même raisonnement va fonctionner pour une
-conique « non-dégénérée » sur un corps de caractéristique $\neq 2$,
-i.e., la courbe définie par un polynôme de degré $2$ qui ne se
-factorise pas même sur la clôture algébrique (géométriquement, ceci
-signifie que la conique ne sera pas réunion de deux droites, même sur
-la clôture algébrique), \emph{à condition d'avoir un point rationnel}
+la droite. (Un exemple encore plus simple d'une courbe rationnelle
+est fourni par la parabole $\{x = y^2\}$, où ici $k(x)[y]/(y^2-x)$ est
+simplement $k(y)$, dans lequel $k(x)$ est vu comme le
+sous-corps $k(y^2)$.)
+
+De façon générale, le même raisonnement que pour le cercle va
+fonctionner pour une conique « non-dégénérée » sur un corps de
+caractéristique $\neq 2$, i.e., la courbe définie par un polynôme de
+degré $2$ qui ne se factorise pas même sur la clôture algébrique
+(géométriquement, ceci signifie que la conique ne sera pas réunion de
+deux droites, même sur la clôture algébrique), \emph{à condition
+ d'avoir un point rationnel}
(cf. \ref{rational-points-of-zariski-closed-sets}) qui puisse jouer le
rôle de $(-1,0)$ dans le paramétrage par des droites de pente
variable. L'exemple qui suit montre que cette hypothèse n'est pas