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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-17 17:50:24 +0100
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-03-17 17:50:24 +0100
commit65828b1c1eeb8eaee00e7c87fcf2588aa68ac4ed (patch)
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index 40231cf..15fe7e7 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -2941,6 +2941,62 @@ c'est redondant). On rappelle
$Z(I)$ est dit « irréductible » lorsqu'il n'est pas réunion de deux
fermés strictement plus petits.
+\thingy Mentionnons encore quelques exemples de courbes rationnelles
+données par des fermés de Zariski ayant des points \emph{singuliers}.
+On dit qu'un point (à coordonnées dans la clôture algébrique !) du
+fermé de Zariski $\{P=0\}$ (avec $P \in k[x,y]$ non constant) est
+\textbf{singulier} lorsque $P'_x$ et $P'_y$ s'y annulent
+simultanément.
+\begin{itemize}
+\item La courbe d'équation $y^2 = x^3 + x^2$ sur un corps de
+ caractéristique $\neq 2$. (Note : le polynôme $x^3 + x^2 - y$ est
+ irréductible car un facteur de degré $1$ serait de la forme $x - c$
+ en regardant les termes de plus haut degré, et on se convainc
+ facilement que cette courbe ne contient pas de droite verticale
+ $x=c$.) Cette courbe porte le nom standard de « cubique nodale »,
+ et le point $(0,0)$ est y appelé un « point double ordinaire ».
+ (Formellement un point est un point double ordinaire de $\{P=0\}$
+ avec $P$ irréductible lorsque $P'_x$ et $P'_y$ s'y annulent mais que
+ le polynôme $P''_{x,x} + P''_{x,y} u + P''_{y,y} u^2$ — qui définit
+ les directions des tangentes — n'a pas de zéro multiple sur la
+ clôture algébrique.) On peut la paramétrer rationnellement en
+ utilisant $t$ la pente d'une droite variable par le point double
+ ordinaire $(0,0)$ et en cherchant les coordonnées de son autre point
+ d'intersection avec la courbe : en injectant $y = tx$ dans $y^2 =
+ x^3 + x^2$ on trouve le paramétrage $(x,y) = (t^2-1, t^3-t)$. On
+ remarquera que ce paramétrage parcourt deux fois le point $(0,0)$
+ (une fois pour $t=+1$ et une fois pour $t=-1$), essentiellement une
+ fois par direction tangente en ce point (les deux tangentes sont
+ $y=x$ et $y=-x$).
+\item La courbe d'équation $y^2 = x^3 - x^2$ sur un corps de
+ caractéristique $\neq 2$ dans lequel $-1$ n'est pas un carré, par
+ exemple le corps des réels. (De nouveau, on vérifie que ce polynôme
+ est irréductible.) Le point $(0,0)$ est de nouveau un « point
+ double ordinaire », mais cette fois ses deux tangentes ne sont pas
+ rationnelles (« rationnelles » au sens « définies sur $k$ »). On
+ peut toujours paramétrer rationnellement la courbe utilisant $t$ la
+ pente d'une droite variable par le point double ordinaire $(0,0)$ et
+ en cherchant les coordonnées de son autre point d'intersection avec
+ la courbe : en injectant $y = tx$ dans $y^2 = x^3 - x^2$ on trouve
+ le paramétrage $(x,y) = (t^2+1, t^3+t)$. On remarquera que cette
+ fois le point $(0,0)$ est atteint par des coordonnées qui ne sont
+ pas dans $k$ (à savoir $\pm\sqrt{-1}$).
+\item La courbe d'équation $y^2 = x^3$ (toujours irréductible). Cette
+ courbe porte le nom de « cubique cuspidale » parce que le point
+ $(0,0)$ est un « cusp ». Le même procédé de paramétrage que
+ ci-dessus donne $x = t^2$ et $y = t^3$ (par ailleurs trouvable
+ directement). Cette fois-ci, il y a bien bijection, sur n'importe
+ quel corps $k$, entre les solutions de $y^2 = x^3$ et les éléments
+ de $k$.
+\end{itemize}
+
+Dans chacun de ces exemples, le corps $k(C)$ des fonctions de la
+courbe est simplement le corps $k(t)$ (pour le paramétrage qu'on a
+donné), mais le fermé de Zariski $\{P=0\}$ présente des complications
+géométriques, et on pourrait se convaincre que l'anneau $k[x,y]/(P)$
+des fonctions régulières sur $\{P=0\}$ \emph{n'est pas}
+l'anneau $k[t]$.
+