Discrete valuation rings are principal, and whatnot.

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@@ -3056,7 +3056,8 @@ qu'on appellera plus bas les courbes « géométriquement intègres »).
 On sera éventuellement amené à restreindre la définition qui vient
 d'être donnée.
 
-\thingy La courbe la plus simple est donnée par le corps $k(t)$ des
+\thingy\label{function-field-of-the-line}
+La courbe la plus simple est donnée par le corps $k(t)$ des
 fractions rationnelles en une indéterminée $t$ (l'extension
 \emph{transcendante pure} de degré de transcendance $1$) : on
 l'appelle \defin{droite projective} (ou simplement « droite »)
@@ -3474,6 +3475,13 @@ non-singulières).
 
 \subsection{Valuations et places}\label{subsection-places-of-function-fields}
 
+Pour comprendre cette section et surtout
+la \ref{subsection-places-of-curves} qui va suivre, on gardera
+l'exemple \ref{function-field-of-the-line} en tête (les $v_h$ ou
+$v_\xi$ introduits à cet endroit sont des exemples de valuations de
+$k(t)$ au-dessus de $k$ comme on va les définir ci-dessous, on verra
+même que ce sont les seules non-triviales).
+
 \begin{defn}\label{definition-valuation-ring}
 Soit $K$ un corps.  On appelle \index{valuation (anneau
   de)}\defin{anneau de valuation} de $K$ un sous-anneau $R$ de $K$
@@ -3488,7 +3496,8 @@ Lorsque de plus $R \neq K$, on dit qu'il s'agit d'un anneau de
 valuation \emph{non-trivial}.
 \end{defn}
 
-\thingy Dans les conditions ci-dessus, $R$ est un anneau intègre
+\thingy\label{valuation-from-valuation-ring}
+Dans les conditions ci-dessus, $R$ est un anneau intègre
 (puisque c'est un sous-anneau d'un corps), et il est clair que $K$ est
 le corps des fractions de $R$ (cf. \ref{definition-fraction-field} ;
 tout élément de $K$ est quotient d'éléments de $R$ puisqu'il est même
@@ -3592,7 +3601,7 @@ et $\infty$.  Dire qu'une valuation est au-dessus de $k$ (sous-corps
 de $K$) signifie qu'elle est nulle sur $k^\times$ (ou positive
 sur $k$, ce qui revient au même).
 
-\begin{prop}
+\begin{prop}\label{valuation-rings-are-local-rings}
 Si $R$ est un anneau de valuation, alors $R$ est un \defin[local
   (anneau)]{anneau local}, c'est-à-dire qu'il a un unique idéal
 maximal, à savoir le complémentaire dans $R$ de l'ensemble $R^\times$
@@ -3621,7 +3630,7 @@ idéal maximal de ce dernier.
 On note parfois $\mathcal{O}_v$ pour l'anneau de valuation d'une
 valuation $v$ et $\mathfrak{m}_v$ pour son idéal maximal, et enfin
 $\varkappa_v$ pour son corps résiduel $\mathcal{O}_v/\mathfrak{m}_v$.
-On remarquera que si la place $v$ est au-dessus de $k$, alors
+On remarquera que si la valuation $v$ est au-dessus de $k$, alors
 $\varkappa_v$ est une extension de $k$.
 
 Une valuation non-triviale au-dessus de $k$ sur un corps $K$ de
@@ -3629,7 +3638,65 @@ fonctions sur $k$ comme en \ref{definition-function-field} s'appelle
 une \defin{place} (ou, s'il faut être plus explicite, une $k$-place)
 de $K$.  (Cette terminologie est essentiellement utilisée pour le
 corps des fonctions d'une courbe, i.e., en degré de
-transcendance $1$.)
+transcendance $1$.)  On notera parfois $\mathscr{V}_K$ (ou, s'il faut
+être plus explicite, $\mathscr{V}_{K/k}$) l'ensemble des $k$-places
+de $K$
+
+\begin{prop}\label{discrete-valuation-rings-are-principal}
+Soit $\mathcal{O}$ un anneau de valuation discrète, dont on note
+$\mathfrak{m}$ l'idéal maximal
+(cf. \ref{valuation-rings-are-local-rings}) et $v$ la valuation.
+Alors :
+\begin{itemize}
+\item[(i)]un élément $t \in \mathcal{O}$ engendre $\mathfrak{m}$ en
+  tant qu'idéal si et seulement si $v(t) = 1$ (où $1$ désigne le plus
+  petit élément strictement positif du groupe des valeurs, qui
+  identifie ce dernier à $\mathbb{Z}$), et en fixant $t$ un élément
+  comme on vient de dire (et il en existe),
+\item[(ii)]tout élément $x$ de $K$ a une représentation unique sous la
+  forme $x = u t^r$ avec $u \in \mathcal{O}^\times$ et $r \in
+  \mathbb{Z}$, auquel cas on a $r = v(x)$,
+\item[(iii)]de même, tout idéal $I$ de $\mathcal{O}$ est l'idéal
+  $\{x\in\mathcal{O} : v(x)\geq r\}$ engendré par $t^r$ (en
+  particulier, $\mathcal{O}$ est principal).
+\end{itemize}
+
+Un élément $t$ tel que $v(t) = 1$ s'appelle une \defin{uniformisante}
+de l'anneau de valuation discrète $\mathcal{O}$.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Montrons le (i).  Si $t$ engendre $\mathfrak{m}$, alors clairement
+$v(t) = 1$ car pour tout $x$ tel que $v(x) > 0$, on peut écrire $x = t
+z$ pour un certain $z \in \mathcal{O}$ (puisque $x \in \mathfrak{m}$
+et que $t$ engerndre cet idéal), donc $v(x) \leq v(t)$ et $t$ est bien
+de la valuation strictement positive la plus petite possible.
+Réciproquement, si $v(t) = 1$ (la valuation strictement positive la
+plus petite possible), et si $x \in \mathfrak{m}$, alors $v(x) \geq
+v(t)$ par la minimalité supposée de $v(t)$, c'est-à-dire $x/t \in
+\mathcal{O}$, ce qui prouve bien $x \in t\mathcal{O}$.
+
+L'existence de $t$ est simplement une conséquence de la définition de
+la valuation (ou de l'élément $1$ dans le groupe des valeurs).
+
+Montrons maintenant le (ii).  Si $v(x) = r$ alors $u := x/t^r$ est de
+valuation nulle, donc il est dans $\mathcal{O}$ et son inverse
+dans $K$ est aussi dans $\mathcal{O}$, c'est-à-dire que $u$ est
+dans $\mathcal{O}^\times$.  Réciproquement, si $x = u t^r$, on a $v(x)
+= v(u) + r v(t) = r$ puisque $v(u)=0$ et $v(t)=1$.
+
+Remarquons que les multiples de $u t^r$ dans $\mathcal{O}$ sont les
+éléments de la forme $uu' t^{r+r'}$ c'est-à-dire les éléments de
+valuation $\geq r$.
+
+Montrons enfin le (iii).  Si $x \in I$ a la plus petite valuation
+possible pour un élément de $I$, disons $x = u t^r$ comme on vient de
+voir, et alors $t^r \in I$ donc $I$ contient l'idéal engendré par
+$t^r$, qui d'après le paragraphe précédent est $\{x\in\mathcal{O} :
+v(x)\geq r\}$ ; mais réciproquement, tout élément de $I$ a une
+valuation supérieure ou égale à $v(x) = r$ par minimalité supposée
+de $x$, donc il y a bien égalité entre $I$ et l'idéal
+$\{x\in\mathcal{O} : v(x)\geq r\}$ engendré par $t^r$.
+\end{proof}
 
 
 \subsection{Places des courbes}\label{subsection-places-of-curves}
@@ -3712,6 +3779,11 @@ $K$ au-dessus de $k$ (=places de $K$) sont \index{discrète
 petit élément strictement positif dans le groupe des valeurs et que
 tous les éléments en sont des multiples entiers, si bien que le groupe
 des valeurs peut s'identifier à $\mathbb{Z}$ pour son ordre usuel.
+
+Notamment, tous les anneaux de valuation non-triviaux de $K$ au-dessus
+de $k$ vérifient les propriétés annoncées
+en \ref{discrete-valuation-rings-are-principal} (par exemple, ce sont
+des anneaux \emph{principaux}).
 \end{prop}
 \begin{proof}
 Soit $v \colon K \to \Gamma\cup\{\infty\}$ une valuation non-triviale
@@ -3739,6 +3811,41 @@ implique $(r+1)\cdot 1 \leq u$ ce qui contredit la minimalité de $r$ :
 on a donc $u = r\cdot 1$, ce qu'on voulait montrer.
 \end{proof}
 
+\thingy La propriété (C) du
+lemme \ref{key-lemma-on-valuations-of-a-curve} montre que, pour toute
+place $v$ d'un corps de fonctions $K$ de courbe sur $k$, le corps
+résiduel $\kappa_v$ est une extension finie, donc algébrique, de $k$.
+Le degré $[\kappa_v : k]$ s'appelle aussi \defin[degré (d'une
+  place)]{degré} de la place $v$.  S'il vaut $1$, c'est-à-dire si
+$\kappa_v = k$, la place $v$ est dite \defin[rationnelle
+  (place)]{rationnelle}.  C'est notamment le cas si $k$ est
+\emph{algébriquement clos}.
+
+\thingy Toujours pour $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, si
+$f\in K$ et si $v \in \mathscr{V}_K$ (i.e., $v$ est une place de $K$),
+on peut définir $f(v) \in \varkappa_v$ comme valant :
+\begin{itemize}
+\item la classe de $f \in \mathcal{O}_v$ modulo $\mathfrak{m}_v$,
+  lorsque $v(f) \geq 0$,
+\item le symbole spécial\footnote{Le symbole $\infty$ introduit ici
+  (pour désigner un pôle d'une fonction) est différent de celui
+  introduit en \ref{valuation-from-valuation-ring} pour la valuation
+  de $0$ : on pourrait noter ce dernier $+\infty$ ou $\infty_\Gamma$
+  pour éviter la confusion, mais en pratique il y a peu de chances de
+  se tromper.} $\infty$ lorsque $v(f) < 0$ (on peut dire que $f$ a un
+  \defin[pôle (d'une fonction)]{pôle} en $v$).
+\end{itemize}
+Ceci permet de voir un élément de $K$ comme une fonction sur
+$\mathscr{V}_K$ (mais comme elle prend des valeurs dans des ensembles
+$\kappa_v$ différents, ce n'est pas très agréable, sauf si $k$ est
+algébriquement clos auquel cas on a bien affaire à une fonction
+$\mathscr{V}_K \to k\cup\{\infty\}$).
+
+On dira symétriquement que $f$ a un \defin[zéro (d'une
+  fonction)]{zéro} en la place $v$ lorsque $v(f) > 0$, c'est-à-dire
+que $f(v) = 0$ (le $0$ de $\varkappa_v$ étant défini comme l'idéal
+$\mathfrak{m} := \{x\in \mathcal{O}_v : v(x)>0\}$).
+