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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-02-10 16:05:28 +0100
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-02-10 16:05:28 +0100
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More about algebraic extensions. Transcendence degree.
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--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -34,6 +34,7 @@
%
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
+\newcommand{\degtrans}{\operatorname{deg.tr}}
%
\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
%
@@ -162,6 +163,43 @@ premier mais non maximal puisque $k[x,y]/(y) \cong k[x]$, tandis que
l'idéal $(x,y)$ (des polynômes s'annulant à l'origine) est maximal
puisque $k[x,y]/(x,y) \cong k$.
+\bigbreak
+
+Le résultat ensembliste suivant sera admis :
+\begin{lem}[principe maximal de Hausdorff]\label{hausdorff-maximal-principle}
+Soit $\mathscr{F}$ un ensemble de parties d'un ensemble $A$. On
+suppose que $\mathscr{F}$ est non vide et que pour toute partie non
+vide $\mathscr{T}$ de $\mathscr{F}$ totalement ordonnée par
+l'inclusion (c'est-à-dire telle que pour $I,I' \in \mathscr{T}$ on a
+soit $I \subseteq I'$ soit $I \supseteq I'$) la réunion $\bigcup_{I
+ \in \mathscr{T}} I$ soit contenue dans un élément de $\mathscr{F}$.
+Alors il existe dans $\mathscr{F}$ un élément $M$ maximal pour
+l'inclusion (c'est-à-dire que si $I \supseteq M$ avec $I \in
+\mathscr{F}$ alors $I=M$).
+\end{lem}
+
+\begin{prop}\label{existence-maximal-ideals}
+Dans un anneau $A$, tout idéal strict (=autre que $A$) est inclus dans
+un idéal maximal.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Si $I$ est un idéal strict de $A$, on applique le principe maximal de
+Hausdorff à $\mathscr{F}$ l'ensemble des idéaux stricts de $A$
+contenant $I$. Si $\mathscr{T}$ est une chaîne (=partie totalement
+ordonnée pour l'inclusion) de tels idéaux, la réunion $\bigcup_{I \in
+ \mathscr{T}} I$ en est encore un\footnote{La réunion de deux idéaux
+ n'est généralement pas un idéal, car si $x\in I$ et $x' \in I'$, la
+ somme $x+x'$ n'a pas de raison d'appartenir à $I\cup I'$. En
+ revanche, si $\mathscr{T}$ est une famille d'idéaux totalement
+ ordonnée par l'inclusion, alors $\bigcup_{I \in \mathscr{T}} I$ est
+ un idéal : si $x\in I$ et $x' \in I'$, où $I,I'\in \mathscr{T}$, on
+ peut écrire soit $I \subseteq I'$ soit $I'\subseteq I$, et dans un
+ cas comme dans l'autre on a $x+x' \in \bigcup_{I \in \mathscr{T}}
+ I$.} (pour voir que la réunion est encore un idéal strict, remarquer
+que $1$ n'y appartient pas). Le principe maximal de Hausdorff permet
+de conclure.
+\end{proof}
+
\thingy Si $A$ est un anneau intègre, on définit un corps $\Frac(A)$,
dit \textbf{corps des fractions} de $A$, dont les éléments sont les
symboles formels $\frac{a}{q}$ avec $a \in A$ et $q \in A
@@ -241,6 +279,14 @@ $k$-algèbre de type fini $k[x_1,\ldots,x_n]$ est la même chose qu'un
\emph{quotient} de l'algèbre de polynômes $k[t_1,\ldots,t_n]$ (par le
noyau du morphisme d'évaluation).
+Pour ce qui est du cas infini : la $k$-algèbre $k[x_i]_{i\in I}$
+engendrée par une famille quelconque $(x_i)_{i\in I}$ d'éléments de
+$A$ est la \emph{réunion} des algèbres $k[x_i]_{i\in J}$ engendrées
+par toutes les sous-familles finies (i.e., $J\subseteq I$ fini) de la
+famille donnée. (Autrement dit, $y \in A$ appartient à $k[x_i]_{i\in
+ I}$ si et selement si il existe $J\subseteq I$ fini tel que $y$
+appartienne à $k[x_i]_{i\in J}$.)
+
\thingy Une \textbf{extension de corps} est un morphisme d'anneaux $k
\to K$ entre corps (c'est-à-dire que $K$ est une $k$-algèbre qui est
un corps). Un tel morphisme est automatiquement injectif (car son
@@ -285,6 +331,14 @@ sommes, produits et inverses (d'éléments non nuls). Autrement dit, ce
sont les valeurs des fractions rationnelles à coefficients dans $k$
évalués en des $x_i$ (à condition d'être bien définies).
+Pour ce qui est du cas infini : la sous-extension $k(x_i)_{i\in I}$
+engendrée par une famille quelconque $(x_i)_{i\in I}$ d'éléments de
+$K$ est la \emph{réunion} des sous-extensions $k(x_i)_{i\in J}$
+engendrées par toutes les sous-familles finies (i.e., $J\subseteq I$
+fini) de la famille donnée. (Autrement dit, $y \in K$ appartient à
+$k(x_i)_{i\in I}$ si et selement si il existe $J\subseteq I$ fini tel
+que $y$ appartienne à $k(x_i)_{i\in J}$.)
+
\subsection{Extensions algébriques et degré}
\thingy\label{monogeneous-extensions-dichotomy} Si $k \subseteq K$ est
@@ -349,7 +403,8 @@ de $k(x) = k[t]/(\mu)$ s'identifie avec $a \in k$).
\thingy Une extension de corps $k\subseteq K$ est dite
\textbf{algébrique} lorsque chaque élément de $K$ est algébrique
-sur $k$.
+sur $k$. On dit aussi que $K$ est algébrique « au-dessus de » $k$ ou
+« sur » $k$.
Un corps $k$ est dit \textbf{algébriquement clos} lorsque la seule
extension algébrique de $k$ est $k$ lui-même : d'après les remarques
@@ -360,7 +415,8 @@ irréductibles dans $k[t]$ sont les $t-a$.
considérer $K$ comme un $k$-espace vectoriel, et sa dimension (finie
ou infinie) est notée $[K:k]$ et appelée \textbf{degré} de
l'extension. Une extension de degré fini est aussi dite
-\textbf{finie}.
+\textbf{finie}. Il va de soi qu'une sous-extension d'une extension
+finie est encore finie.
Il résulte de l'identification de $k(x)$ à $k[t]/(\mu_x)$ que, si $x$
est un élément algébrique sur $k$, alors $[k(x):k]$ est fini et égal
@@ -371,29 +427,63 @@ montré que : \emph{l'extension monogène $k\subseteq k(x)$ est finie si
\thingy On aura également besoin du fait que si $k \subseteq K
\subseteq L$ sont deux extensions imbriquées alors
-$[L:k] = [K:k] \, [L:K]$ (au sens où le membre de gauche est fini si et
-seulement si les deux facteurs du membre de droite le sont, et dans ce
-cas leur produit lui est égal). Cela résulte du fait plus précis que
-si $(x_\iota)_{\iota\in I}$ est une $k$-base de $K$ et
-$(y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ une $K$-base de $L$, alors $(x_\iota
-y_\lambda)_{(\iota,\lambda)\in I\times\Lambda}$ est une $k$-base
-de $L$ (vérification aisée).
+$[L:k] = [K:k] \, [L:K]$ (au sens où le membre de gauche est fini si
+et seulement si les deux facteurs du membre de droite le sont, et dans
+ce cas leur produit lui est égal). Cela résulte du fait plus précis
+que si $(x_i)_{i\in I}$ est une $k$-base de $K$ et $(y_j)_{j\in J}$
+une $K$-base de $L$, alors $(x_i y_j)_{(i,j)\in I\times J}$ est une
+$k$-base de $L$ (vérification aisée).
-\thingy Les deux faits suivants sont à noter :
+\thingy\label{basic-facts-algebraic-extensions} Les faits suivants sont à noter :
-Une extension de corps engendrée par un nombre fini d'éléments
+(1) Une extension de corps engendrée par un nombre fini d'éléments
algébriques est finie (en effet, si $x_1,\ldots,x_n$ sont algébriques
sur $k$, alors chaque extension $k(x_1,\ldots,x_{i-1}) \subseteq
k(x_1,\ldots,x_i)$ est monogène algébrique, donc finie, donc leur
composée est fini).
-Une extension $k\subseteq K$ est finie si et seulement si elle est à
-la fois algébrique et de type fini. (Le sens « si » résulte de
-l'affirmation précédente ; pour le sens « seulement si », remarquer
-que pour tout $x\in K$, l'extension $k\subseteq k(x)$ est finie donc
+(2) Une extension $k\subseteq K$ est finie si et seulement si elle est
+à la fois algébrique et de type fini. (Le sens « si » résulte de
+l'affirmation (1) ; pour le sens « seulement si », remarquer que pour
+tout $x\in K$, l'extension $k\subseteq k(x)$ est finie donc
algébrique, et qu'une base de $K$ comme $k$-espace vectoriel engendre
certainement $K$ comme extension de corps de $k$.)
+(3) Une extension de corps engendrée par une famille quelconque
+d'éléments algébriques est algébrique (en effet, si $K = k(x_i)_{i\in
+ I}$ et $y \in K$, alors, cf. \ref{subfield-generated-is-quotients},
+$y$ appartient à $k(x_i)_{i\in J}$ pour une sous-famille finie des
+$x_i$, et d'après le (1), cette extension est finie sur $k$ donc
+$k(y)$ l'est, c'est-à-dire que $y$ est algébrique sur $k$).
+Concrètement, donc, les sommes, différences, produits et inverses de
+quantités algébriques sur $k$ sont algébriques sur $k$.
+
+(4) Si $k\subseteq K$ et $K\subseteq L$ sont algébriques alors
+$k\subseteq L$ l'est (en effet, si $y \in L$, et si $x_1,\ldots,x_n
+\in K$ sont les coefficients du polynôme minimal de $y$ sur $L$, alors
+$y$ est algébrique sur $k(x_1,\ldots,x_n)$, qui est une extension
+finie de $k$ d'après (1), donc $k(x_1,\ldots,x_n,y)$ est une extension
+finie de $k(x_1,\ldots,x_n)$ donc de $k$, donc $k(y)$ est une
+extension finie de $k$, donc $y$ est algébrique sur $k$).
+
+\thingy L'observation (3) ci-dessus entraîne que si $k\subseteq K$ est
+une extension de corps, l'extension de $k$ engendrée par tous les
+éléments de $K$ algébriques sur $k$ est tout simplement
+l'\emph{ensemble} de tous les éléments de $K$ algébriques sur $k$,
+c'est-à-dire que cet ensemble est un corps, qui est manifestement la
+plus grande extension intermédiaire algébrique sur $k$ : on l'appelle
+la \textbf{fermeture algébrique} de $k$ dans $K$ (la précision
+« dans $K$ » est importante).
+
+Si c'est précisément $k$, on dit que $k$ est \textbf{algébriquement
+ fermé} dans $K$ : autrement dit, cela signifie que tout élément
+de $K$ est soit transcendant sur $k$ soit élément de $k$ (=algébrique
+de degré $1$). Un corps algébriquement clos est algébriquement fermé
+dans toute extension, mais un corps peut être algébriquement fermé
+dans une extension sans pour autant être algébriquement clos (par
+exemple $\mathbb{Q}$ dans le corps $\mathbb{Q}(t)$ des fractions
+rationnelles).
+
\subsection{Bases et degré de transcendance}
@@ -401,22 +491,24 @@ certainement $K$ comme extension de corps de $k$.)
Si $k\subseteq K$ est une extension de corps, une famille finie
$x_1,\ldots,x_n$ d'éléments de $K$ est dite \textbf{algébriquement
indépendante} (il serait plus logique de dire « collectivement
-transcendante ») lorsque le seul polynôme $P \in k[t_1,\ldots,t_n]$ à
-coefficients dans $k$ et tel que $P(x_1,\ldots,x_n) = 0$ est le
-polynôme nul, autrement dit, lorsque le morphisme « d'évaluation »
-$k[t_1,\ldots,t_n] \to K$ (avec $k[t_1,\ldots,t_n]$ l'anneau des
-polynômes en $n$ indéterminées) envoyant $P$ sur $P(x_1,\ldots,x_n)$
-est injectif. En particulier, chacun des $x_i$ est transcendant
-sur $k$.
+ transcendante ») sur $k$ lorsque le seul polynôme $P \in
+k[t_1,\ldots,t_n]$ à coefficients dans $k$ et tel que
+$P(x_1,\ldots,x_n) = 0$ est le polynôme nul, autrement dit, lorsque le
+morphisme « d'évaluation » $k[t_1,\ldots,t_n] \to K$ (avec
+$k[t_1,\ldots,t_n]$ l'anneau des polynômes en $n$ indéterminées)
+envoyant $P$ sur $P(x_1,\ldots,x_n)$ est injectif. En particulier,
+chacun des $x_i$ est transcendant sur $k$ ; et un unique élément $x$
+de $K$ est algébriquement indépendant sur $k$ si et seulement si il
+est transcendant sur $k$.
On dit d'une famille infinie $(x_i)$ d'éléments de $K$ qu'elle est
-algébriquement indépendante lorsque toute sous-famille finie d'entre
-eux l'est.
+algébriquement indépendante sur $k$ lorsque toute sous-famille finie
+d'entre eux l'est.
Une famille $(x_i)$ d'éléments de $K$ est appelée \textbf{base de
transcendance} de $K$ sur $k$ lorsqu'elle est algébriquement
-indépendante est $K$ est une extension algébrique de l'extension
-$k(x_i)$ de $k$ engendrée par les $x_i$.
+indépendante sur $k$ et que $K$ est algébrique au-dessus de
+l'extension $k(x_i)$ de $k$ engendrée par les $x_i$.
\end{defn}
\thingy Il est trivialement le cas que $t_1,\ldots,t_n$ sont
@@ -462,6 +554,120 @@ Si $x_i$ est une base de transcendance de $K$ sur $k$, celle-ci
\subseteq k(x_i)$ est transcendante pure, et l'extension $k(x_i)
\subseteq K$ est algébrique.
+\begin{prop}\label{transcendence-basis-facts}
+Soit $k \subseteq K$ une extension de corps.
+
+(1a) Toute famille algébriquement indépendante sur $k$ d'éléments
+de $K$ se complète en une base de transcendance de $K$ sur $k$. (Ceci
+s'applique notamment à la famille vide, donc il existe toujours une
+base de transcendance de $K$ sur $k$.) (1b) De toute famille qui
+engendre $K$ en tant qu'extension de corps de $k$ (ou même : qui
+engendre un corps intermédiaire $E$ au-dessus duquel $K$ est
+algébrique) on peut extraire une base de transcendance.
+
+(2) \textit{Lemme d'échange :} Si $z_1,\ldots,z_n$ est une base de
+transcendance finie de $K$ sur $k$ et $t$ un élément de $K$ tel que
+$z_1,\ldots,z_\ell,t$ soient algébriquement indépendants sur $k$ (pour
+un certain $\ell$, qui peut être $0$), alors il existe $j$ entre
+$\ell+1$ et $n$ tel qu'en remplaçant $z_j$ par $t$ dans la base de
+transcendance $z_1,\ldots,z_n$ on obtienne encore une base de
+transcendance.
+
+(3) Deux bases de transcendance de $K$ sur $k$ ont toujours le même
+cardinal.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+(1a) Le principe de maximalité de
+ Hausdorff (\ref{hausdorff-maximal-principle}, appliqué à l'ensemble
+ $\mathscr{F}$ des familles algébriquement indépendantes sur $k$)
+ montre que toute famille algébriquement indépendante est contenue
+ dans une famille algébriquement indépendante maximale. Montrons
+ qu'une telle famille est une base de transcendance : si $(x_i)_{i\in
+ I}$ est une famille algébriquement indépendante maximale, on veut
+ donc prouver que $K$ est algébrique sur $k(x_i)_{i\in I}$ ; pour
+ cela, soit $t \in K$, on veut montrer qu'il n'est pas transcendant
+ sur $k(x_i)_{i\in I}$. Mais s'il l'est, on observe que la famille
+ obtenue en rajoutant $t$ à la famille $(x_i)_{i \in I}$ est encore
+ algébriquement indépendante : en effet, si on avait un polynôme
+ $P(t,(x_i))$ qui l'annulât, en considérant $P$ comme polynôme de la
+ seule variable $t$ (dont il dépend effectivement, sinon il donnerait
+ une relation de dépendance algébrique entre les $x_i$, chose qui
+ n'existe pas) on contredirait la transcendance de $t$ sur
+ $k(x_i)_{i\in I}$. Par maximalité de $(x_i)_{i\in I}$, ceci ne peut
+ pas se produire : donc $K$ est bien algébrique sur $k(x_i)_{i\in I}$
+ et $(x_i)_{i\in I}$ est une base de transcendance.
+
+(1b) Soit maintenant $(x_i)_{i\in J}$ une famille génératrice (i.e.,
+ $K = k(x_i)_{i \in J}$) ou telle que $K$ soit algébrique sur $E =
+ k(x_i)_{i \in J}$ : soit $I$ une partie maximale de $J$ telle que
+ $(x_i)_{i\in I}$ soit algébriquement indépendante (de nouveau on
+ utilise le principe de maximalité), et on va montrer qu'il s'agit
+ d'une base de transcendance. Si ce n'est pas le cas, l'extension
+ $K$ de $k(x_i)_{i\in I}$ n'est pas algébrique, donc
+ (cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(3)) elle ne peut pas
+ être engendrée uniquement par des éléments algébriques, autrement
+ dit il existe $j\in J$ (et évidemment $j\not\in I$) tel que $x_j$
+ soit transcendant sur $k(x_i)_{i\in I}$, et par ce qu'on vient
+ d'expliquer la famille obtenue en rajoutant $j$ à $I$ contredit la
+ maximalité de $I$.
+
+(2) Soit $z_1,\ldots,z_n$ une base de transcendance (finie) et $t \in
+ K$ tel que $z_1,\ldots,z_\ell,t$ soient algébriquement indépendants.
+ Puisque $t \in K$ est algébrique sur $k(z_1,\ldots,z_n)$, on peut
+ trouver une relation de dépendance algébrique $P(t,z_1,\ldots,z_n) =
+ 0$ ; comme $z_1,\ldots,z_\ell,t$ sont algébriquement indépendants
+ par hypothèse, le polynôme $P$ ne peut pas dépendre que de ces
+ variables, donc il doit faire intervenir $z_j$ pour un certain $j$
+ entre $\ell+1$ et $n$. Soit $z'_i$ défini par $z'_i = z_i$ si
+ $i\neq j$ et $z'_j = t$. La relation $P(t,z_1,\ldots,z_n) = 0$, ou,
+ quitte à échanger deux variables, $\hat P(z_j,z'_1,\ldots,z'_n) =
+ 0$, se lit aussi comme affirmant que $z_j$ est algébrique sur
+ $k(z'_1,\ldots,z'_n)$ : il s'ensuit que $K$ est algébrique sur
+ $k(z'_1,\ldots,z'_n)$ (puisqu'il est algébrique sur
+ $k(z_1,\ldots,z_n)$ et qu'on vient de voir que ce dernier est
+ algébrique sur $k(z'_1,\ldots,z'_n)$,
+ cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions} (3) et (4)). D'autre
+ part, les $z'_i$ sont algébriquement indépendants : car s'ils ne
+ l'étaient pas, comme les $z_1,\ldots,z_n$ le sont, une relation
+ $Q(z'_1,\ldots,z'_n)=0$ ferait intervenir $z'_j = t$, c'est-à-dire
+ que $t$ serait algébrique sur les autres $z'_i$, donc $z_j$ serait
+ algébrique sur les $z'_i = z_i$ pour $i \neq j$ (vu qu'on sait déjà
+ qu'il est algébrique sur tous les $z'_i$), or par hypothèse ce n'est
+ pas le cas. On a bien prouvé que les $z'_i$ forment une base de
+ transcendance de $K$ sur $k$.
+
+(3) Tout d'abord, s'il existe une base de transcendance finie
+ $z_1,\ldots,z_n$, alors toute famille algébriquement indépendante
+ $x_1,\ldots,x_{n'}$ vérifie $n' \leq n$. En effet, si $n'>n$, le
+ lemme d'échange permet de remplacer un des $z_i$, mettons $z_1$, par
+ $x_1$, puis un des $z_i$ autre que $z_1$, mettons $z_2$, par $x_2$,
+ et ainsi de suite, toujours en obtenant des bases de transcendance.
+ Finalement, on voit que $x_1,\ldots,x_n$ est une base de
+ transcendance, contredisant le fait supposé que les $x_i$ pour
+ $n<i\leq n'$ sont encore transcendants dessus. (Ici, on a supposé
+ la famille $x_1,\ldots,x_{n'}$ finie, mais de façon générale on voit
+ que toute sous-famille finie d'une famille algébriquement
+ indépendante doit avoir au plus $n$ éléments donc toute famille
+ algébriquement indépendante est finie.)
+
+Enfin, si on a une base de transcendance infinie $(x_i)_{i\in I}$,
+d'après ce qu'on vient de voir, toute autre base de transcendance
+$(y_j)_{j\in J}$ est également infinie ; par ailleurs, tout élément
+$y_j$ de $K$ est algébrique sur le sous-corps engendré par une
+sous-famille \emph{finie} des $x_i$, donc on a une application de $J$
+vers les parties finies de $I$ telle que l'image réciproque d'une
+partie finie donnée de $I$ soit finie, et ceci prouve bien que $I$ et
+$J$ ont même cardinal (en utilisant le fait que, pour $I$ infini, $I$
+est équipotent à l'ensemble de ses parties finies).
+\end{proof}
+
+\begin{defn}
+Si $k \subseteq K$ est une extension de corps, le cardinal d'une base
+de transcendance de $K$ sur $k$ (dont on vient de montrer qu'il ne
+dépend pas du choix de celle-ci) s'appelle \textbf{degré de
+ transcendance} de $K$ sur $k$ et se note $\degtrans_k(K)$.
+\end{defn}
+
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