Definition of functions fields of curves.

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@@ -123,7 +123,8 @@ $k$-algèbre est donc un $k$-espace vectoriel muni d'une multiplication
 $k$-bilinéaire qui en fait un anneau, et le morphisme structural est
 automatiquement injectif si l'algèbre n'est pas l'algèbre nulle.
 
-\thingy Un élément $a$ d'un anneau $A$ (sous-entendu : commutatif) est
+\thingy\label{regular-elements-and-prime-ideals}
+Un élément $a$ d'un anneau $A$ (sous-entendu : commutatif) est
 dit \textbf{régulier}, resp. \textbf{inversible}, lorsque $x \mapsto
 ax$ est injectif, resp. bijectif, autrement dit lorsque $ax = 0$
 implique $x = 0$ (la réciproque est toujours vraie), resp. lorsqu'il
@@ -177,6 +178,10 @@ premier mais non maximal puisque $k[x,y]/(y) \cong k[x]$, tandis que
 l'idéal $(x,y)$ (des polynômes s'annulant à l'origine) est maximal
 puisque $k[x,y]/(x,y) \cong k$.
 
+Plus généralement, dans un anneau factoriel $A$, tout idéal de la
+forme $(f)$ avec $f \in A$ irréductible, est premier (mais ce ne sont,
+en général, pas les seuls).
+
 \bigbreak
 
 Le résultat ensembliste suivant sera admis :
@@ -284,6 +289,9 @@ cf. ci-dessous) qui prolonge $\varphi$ (i.e., $\hat\varphi(a) =
 \varphi(a)$ si $a\in A$).  En effet, il suffit de définir
 $\hat\varphi(\frac{a}{q})$ par $\varphi(a)/\varphi(q)$.
 
+Ainsi, $\Frac(A)$ est \emph{engendré en tant que corps} par les
+éléments de $A$ (comparer \ref{subfield-generated}).
+
 \thingy Le corps des fractions de l'anneau $k[t_1,\ldots,t_n]$ des
 polynômes en $n$ indéterminées $t_1,\ldots,t_n$ sur un corps $k$ est
 appelé corps des \textbf{fractions rationnelles} (ou parfois
@@ -981,7 +989,7 @@ $J$ ont même cardinal (en utilisant le fait que, pour $I$ infini, $I$
 est équipotent à l'ensemble de ses parties finies).
 \end{proof}
 
-\begin{defn}
+\begin{defn}\label{definition-transcendence-degree}
 Si $k \subseteq K$ est une extension de corps, le cardinal d'une base
 de transcendance de $K$ sur $k$ (dont on vient de montrer qu'il ne
 dépend pas du choix de celle-ci) s'appelle \textbf{degré de
@@ -2106,6 +2114,10 @@ contredisant la minimalité de $n$.
 \end{proof}
 
 
+%
+%
+%
+
 \section{Le Nullstellensatz et les fermés de Zariski}
 
 \subsection{Anneaux noethériens}
@@ -2398,7 +2410,8 @@ $p_1 h_1 + \cdots + p_m h_m = g^\ell$, ce qu'on voulait montrer.
 
 \subsection{Fermés de Zariski}
 
-\thingy Un idéal $\mathfrak{r}$ d'un anneau $A$ est dit
+\thingy\label{radical-ideals}
+Un idéal $\mathfrak{r}$ d'un anneau $A$ est dit
 \textbf{radical} lorsque l'anneau $A/\mathfrak{r}$ est réduit
 (cf. \ref{nilpotent-element-and-reduced-ring}), c'est-à-dire que si
 $x^n \in \mathfrak{r}$ implique $x \in \mathfrak{r}$ (pour $x\in A$ et
@@ -2411,6 +2424,10 @@ aussi l'intersection des idéaux premiers de $A$ contenant $I$ ; et cet
 idéal est lui-même radical.  On l'appelle le radical de l'idéal $I$ et
 on le note $\surd I$.
 
+Un idéal premier (cf. \ref{regular-elements-and-prime-ideals}), et
+\textit{a fortiori} un idéal maximal, est en particulier un idéal
+radical.
+
 \bigbreak
 
 Dans ce qui suit, soit $k$ un corps et $k^{\alg}$ une clôture algébrique.
@@ -2545,7 +2562,7 @@ coordonnées sur la base $(v_i)$ sont $0$ sauf sur $v_0$, donc il
 appartient bien à $I$.
 \end{proof}
 
-\begin{prop}
+\begin{prop}\label{zeros-and-ideals-bijections}
 Soit $k$ un corps et $k^{\alg}$ une clôture algébrique.  On utilise
 les notations $Z$ et $\mathfrak{I}$ introduites en
 \ref{notation-zeros-of-polynomials} et \ref{notation-polynomials-vanishing}.
@@ -2604,6 +2621,122 @@ Avec le point de vue choisi ici, on a $Z(t^2+1) = \{\pm i\} \subseteq
 de Zariski défini sur $\mathbb{R}$ (c'est, en revanche, un fermé de
 Zariski défini sur $\mathbb{C}$).
 
+\thingy\label{regular-functions-on-a-zariski-closed-set} Si $I$ est un
+idéal radical de $k[t_1,\ldots,t_d]$ si bien que $\mathfrak{I}(Z(I)) =
+I$ comme on vient de le voir en \ref{zeros-and-ideals-bijections}, on
+peut donner une interprétation de $k[t_1,\ldots,t_d]/(I)$ comme suit :
+
+Considérons l'application qui à un polynôme $f \in k[t_1,\ldots,t_d]$
+associe la restriction à $Z(I)$ de ce polynôme, vu comme une
+application de $(k^{\alg})^d$ vers $k^{\alg}$ ; autrement dit,
+\begin{align*}
+k[t_1,\ldots,t_d] &\to (k^{\alg})^{Z(I)}\\
+f &\mapsto ((x_1,\ldots,x_d) \mapsto f(x_1,\ldots,x_d))
+\end{align*}
+Il s'agit manifestement d'un morphisme d'anneaux (en munissant
+$(k^{\alg})^{Z(I)}$ des opérations point à point) dont le noyau est
+$\mathfrak{I}(Z(I))$ par définition.  Il s'ensuit que son image,
+c'est-à-dire les restrictions à $Z(I)$ des polynômes dans
+$k[t_1,\ldots,t_d]$, s'identifie à
+$k[t_1,\ldots,t_d]/\mathfrak{I}(Z(I))$, c'est-à-dire
+$k[t_1,\ldots,t_d]/I$.  Cet anneau quotient s'appelle l'\textbf{anneau
+  des fonctions régulières} du fermé de Zariski $Z(I)$ (une fonction
+régulière est donc simplement la restriction d'un polynôme).
+
+
+%
+%
+%
+
+\section{Corps de courbes algébriques}
+
+\subsection{Définition}
+
+\thingy Soit $k$ un corps.  On appelle \textbf{corps de fonctions de
+  dimension $n$} sur $k$ une extension de corps de $k$ qui soit de
+type fini (cf. \ref{subfield-generated}) et de degré de
+transcendance $n$ sur $k$ (cf. \ref{definition-transcendence-degree}).
+Notamment, pour $n=1$, on parle de \textbf{corps de fonctions de
+  courbe} sur $k$.
+
+Par abus de langage, on dira parfois simplement que $K$ est une
+« courbe » (algébrique) sur $k$ ; ou bien on dira que $K$ est le corps
+des fonctions [rationnelles] de la courbe $C$ et on notera alors $K =
+k(C)$ (on ne définit pas ce qu'« est » $C$, voir les exemples
+ci-dessous).
+
+\danger Il existe un certain nombre de variations entre auteurs autour
+de cette définition, pour essentiellement deux raisons :
+\textbf{(a)} le cadre dans lequel on considère les courbes n'est pas
+forcément le même (dans ce cours, nous avons choisi de définir les
+courbes à travers leur corps des fonctions, c'est-à-dire leurs
+fonctions rationnelles, plutôt que leur \emph{anneau(s)} de fonctions
+régulières, c'est-à-dire leurs fonctions polynomiales : l'avantage est
+que cela simplifie l'étude ; l'inconvénient est que l'étude des
+courbes singulières n'est pas possible : par exemple, la courbe
+d'équation $y^2 = x^3$ dans le plan va simplement revenir à celle de
+la droite qui la paramètre par $t \mapsto (x,y) = (t^2,t^3)$, et de
+même on ne peut pas retirer des points à une courbe ; pour cette
+raison, ce que nous appelons « courbe » s'appellerait « courbe normale
+  projective » chez d'autres auteurs), et \textbf{(b)} les hypothèses
+effectuées ne sont pas forcément les mêmes (notamment, beaucoup
+d'auteurs restreignent les courbes à ce qu'on appellera plus bas les
+courbes « géométriquement intègres »).
+
+\thingy La courbe la plus simple est donnée par le corps $k(t)$ des
+fractions rationnelles en une indéterminée $t$ : on l'appelle
+\textbf{droite projective} sur $k$ et on peut la noter
+$\mathbb{P}^1_k$ ou simplement $\mathbb{P}^1$ (ainsi,
+$k(\mathbb{P}^1_k) := k(t)$).
+
+Il faut imaginer les éléments de $k(t)$ comme des fonctions
+rationnelles sur la droite affine : on verra plus loin comment définir
+les points de la droite, mais on peut au moins dire ceci : si $x$ est
+un élément de $k$ ou bien le symbole spécial $\infty$, et si $f \in
+k(t)$, on définit $f(x)$ comme l'évaluation (=la valeur) de $f$ en $x$
+ou bien le symbole spécial $\infty$ si $f$ a un pôle en $x$ (lorsque
+$x = \infty$, l'évaluation de $f$ en $x$ peut se définir comme celle
+de la fraction rationnelle $f(\frac{1}{t})$ en $0$ ; sur les réels ou
+les complexes, c'est simplement la limite de $f$ en $\infty$ ou bien
+$\infty$ si $f$ n'est pas borné).
+
+\thingy Si $P \in k[x,y]$ est un polynôme irréductible en deux
+indéterminées $x,y$ et faisant effectivement intervenir $y$, on peut
+le voir comme un élément de $k(x)[y]$, qui est encore irréductible
+(cf. \ref{gauss-lemma-on-irreducibility}), ce qui définit donc un
+corps de rupture $k(x)[y]/(P)$
+(cf. \ref{monogeneous-extensions-dichotomy-bis}
+et \ref{existence-uniqueness-rupture-field}) qu'on notera généralement
+$k(x,y : P=0)$ ; c'est aussi le corps des fractions de $k[x,y]/(P)$
+(puisque c'est un corps contenant $k[x,y]/(P)$ et engendré par lui).
+
+On souhaite dire qu'il s'agit du corps de fonctions $k(C)$ de la
+« courbe plane » $C := \{P=0\}$ : à ce stade-là, il s'agit d'une
+notation purement formelle, mais on peut faire les remarques suivantes
+pour l'éclaircir.
+
+On a introduit en \ref{notation-zeros-of-polynomials} la notation
+$Z(P) := \{(x,y) \in (k^{\alg})^2 : P(x,y) = 0\}$ pour l'ensemble des
+zéros de $P$ (dans une clôture algébrique !) : appelons $C_P$ cet
+ensemble.  Comme $P$ est irréductible, l'idéal $(P)$ est premier
+(cf. \ref{regular-elements-and-prime-ideals}), donc radical
+(cf. \ref{radical-ideals}) : la
+proposition \ref{zeros-and-ideals-bijections} implique donc que $(P)$
+est l'idéal des polynômes qui s'annulent identiquement sur $C_P$, et
+on a expliqué en \ref{regular-functions-on-a-zariski-closed-set} que
+les éléments de $k[x,y]/(P)$ peuvent s'identifier aux fonctions
+régulières sur $C_P$, c'est-à-dire les restrictions à $C_P$ des
+éléments de $k[x,y]$ (vus comme des fonctions $(k^{\alg})^2 \to
+k^{\alg}$).  Le corps $k(C) = \Frac(k[x,y]/(P))$ dont on vient de
+parler peut donc se voir comme l'ensemble des quotients de deux
+fonctions régulières (i.e., polynomiales) sur $C_P$ dont le
+dénominateur n'est pas identiquement nul sur $C_P$ : il est donc
+raisonnable d'appeler ce corps « corps des fonctions sur $C_P$ ».
+
+\thingy La
+proposition \ref{separating-transcendence-basis-over-perfect-field}
+montre que, au moins si $k$ est un corps parfait, on peut toujours se
+ramener à la situation qui vient d'être décrite.