Rational points, rational parametrization of the circle.

1 files changed, 115 insertions, 8 deletions

diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex
index d236478..72f1c3a 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -1942,7 +1942,8 @@ les résultats suivants :
 \end{itemize}
 \end{thm}
 
-\thingy La partie la plus importante du résultat ci-dessus est la
+\thingy\label{rational-is-stable-under-galois}
+La partie la plus importante du résultat ci-dessus est la
 suivante : \emph{si un élément de $L$ (séparable et normal sur $K$)
   est fixé par le groupe $G$ de tous les $K$-automorphismes de $L$,
   alors cet élément appartient à $K$}.  Il s'agit donc d'une
@@ -2609,7 +2610,8 @@ les ensembles qu'on a dit, et on a observé qu'elles sont
 décroissantes.
 \end{proof}
 
-\thingy On aurait pu être tenté de définir $Z(\mathscr{F})$ comme
+\thingy\label{rational-points-of-zariski-closed-sets}
+On aurait pu être tenté de définir $Z(\mathscr{F})$ comme
 l'ensemble des zéros dans $k^d$, plutôt que $(k^{\alg})^d$, des
 éléments de $\mathscr{F}$ : le problème avec ce point de vue est qu'on
 peut avoir $Z(I) \cap k^d = \varnothing$ alors que $I$ n'est pas
@@ -2621,6 +2623,20 @@ Avec le point de vue choisi ici, on a $Z(t^2+1) = \{\pm i\} \subseteq
 de Zariski défini sur $\mathbb{R}$ (c'est, en revanche, un fermé de
 Zariski défini sur $\mathbb{C}$).
 
+Lorsqu'on a besoin de désigner les éléments de $Z(I) \cap k^d$,
+c'est-à-dire les solutions dans $k^d$, on dira que ce sont les
+\textbf{points rationnels} du fermé de Zariski $Z(I)$ : cette
+terminologie vient de la situation $k=\mathbb{Q}$ et a été étendue à
+n'importe quel corps.  (À titre d'exemple, $(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$
+est un point rationnel du « cercle » $Z(x^2+y^2-1)$ sur $\mathbb{Q}$.)
+D'après le théorème \ref{main-results-galois-theory}
+(cf. surtout \ref{rational-is-stable-under-galois}), si $k$ est
+parfait
+(cf. \ref{definition-perfect-field} et \ref{field-is-perfect-iff-every-algebraic-is-separable}),
+on peut dire que les points rationnels de $Z(I)$ sont ceux qui sont
+fixés par le groupe de Galois absolu, i.e., par tous les
+automorphismes de $k^{\alg}$ au-dessus de $k$.
+
 \thingy\label{regular-functions-on-a-zariski-closed-set} Si $I$ est un
 idéal radical de $k[t_1,\ldots,t_d]$ si bien que $\mathfrak{I}(Z(I)) =
 I$ comme on vient de le voir en \ref{zeros-and-ideals-bijections}, on
@@ -2650,9 +2666,10 @@ régulière est donc simplement la restriction d'un polynôme).
 
 \section{Corps de courbes algébriques}
 
-\subsection{Définition}
+\subsection{Définition et premiers exemples}
 
-\thingy Soit $k$ un corps.  On appelle \textbf{corps de fonctions de
+\thingy\label{definition-function-field}
+Soit $k$ un corps.  On appelle \textbf{corps de fonctions de
   dimension $n$} sur $k$ une extension de corps de $k$ qui soit de
 type fini (cf. \ref{subfield-generated}) et de degré de
 transcendance $n$ sur $k$ (cf. \ref{definition-transcendence-degree}).
@@ -2681,12 +2698,13 @@ raison, ce que nous appelons « courbe » s'appellerait « courbe normale
   projective » chez d'autres auteurs), et \textbf{(b)} les hypothèses
 effectuées ne sont pas forcément les mêmes (notamment, beaucoup
 d'auteurs restreignent les courbes à ce qu'on appellera plus bas les
-courbes « géométriquement intègres »).
+courbes « géométriquement intègres »).  On sera éventuellement amené à
+restreindre la définition qui vient d'être donnée.
 
 \thingy La courbe la plus simple est donnée par le corps $k(t)$ des
 fractions rationnelles en une indéterminée $t$ : on l'appelle
-\textbf{droite projective} sur $k$ et on peut la noter
-$\mathbb{P}^1_k$ ou simplement $\mathbb{P}^1$ (ainsi,
+\textbf{droite projective} (ou simplement « droite ») sur $k$ et on
+peut la noter $\mathbb{P}^1_k$ ou simplement $\mathbb{P}^1$ (ainsi,
 $k(\mathbb{P}^1_k) := k(t)$).
 
 Il faut imaginer les éléments de $k(t)$ comme des fonctions
@@ -2736,7 +2754,96 @@ raisonnable d'appeler ce corps « corps des fonctions sur $C_P$ ».
 \thingy La
 proposition \ref{separating-transcendence-basis-over-perfect-field}
 montre que, au moins si $k$ est un corps parfait, on peut toujours se
-ramener à la situation qui vient d'être décrite.
+ramener à la situation qui vient d'être décrite.  (Et si $k$ n'est pas
+parfait, on peut défendre l'idée que la définition donnée
+en \ref{definition-function-field} n'est pas la bonne et qu'on devrait
+supposer $K$ algébrique \emph{séparable} sur une extension
+transcendante pure $k(x)$.)  En un certain sens, donc, toutes les
+courbes algébriques sont « planes » (mais de nouveau, ceci dépend
+hautement du point de vue choisi pour étudier les courbes).
+
+Donnons quelques exemples plus précis, puis discutons ce qui se passe
+dans des cas adjacents.
+
+\thingy Considérons l'exemple de $P = x^2 + y^2 - 1$ sur un corps $k$
+de caractéristique $\neq 2$ (on pensera notamment au corps des réels).
+
+Le polynôme $P$ est irréductible dans $k[x,y]$.  En effet, comme il
+est de degré total $2$, une factorisation non triviale serait
+nécessairement en degrés $1+1$ ; en considérant les termes de plus
+haut degré (i.e., $1$) des facteurs, dont le produit doit être $x^2 +
+y^2$, on voit qu'ils doivent être de la forme $x+\sqrt{-1}\,y$ et
+$x-\sqrt{-1}\,y$ (en notant $\sqrt{-1}$ une racine carrée de $-1$
+dans $k$, qui doit exister pour que la factorisation soit possible) ;
+or avoir $(x+\sqrt{-1}\,y+c)(x-\sqrt{-1}\,y+c') = x^2+y^2-1$ impose
+simultanément $c+c' = 0$ et $c-c' = 0$ et $cc' = -1$, conditions
+manifestement impossibles à satisfaire en caractéristique $\neq 2$.
+On est donc dans le cadre considéré plus haut.
+
+La courbe plane $C$ d'équation $P=0$ est le « cercle unité », dont le
+corps des fonctions est le corps $\Frac(k[x,y]/(x^2+y^2-1)) = k(x,y :
+x^2+y^2=1)$ de rupture de $x^2+y^2-1$ sur $k(x)$.  En fait, il s'avère
+que ce corps est \emph{isomorphe} au corps $k(t)$ des fractions
+rationnelles en une indéterminée : ceci résulte du « paramétrage
+  rationnel du cercle » représenté géométriquement par la figure
+suivante
+
+\begin{center}
+\begin{tikzpicture}[scale=3]
+\draw[step=.2cm,help lines] (-1.25,-1.25) grid (1.25,1.25);
+\draw[->] (-1.15,0) -- (1.15,0); \draw[->] (0,-1.15) -- (0,1.15);
+\draw (0,0) circle (1cm);
+\draw (1,-1.15) -- (1,1.15);
+\coordinate (P) at (0.8,0.6);
+\coordinate (Q) at (1,0.6666666667);
+\draw (0.8,0) -- (P);
+\draw (-1,0) -- node[sloped,auto] {$\scriptstyle\mathrm{pente}=t$} (Q);
+\fill[black] (P) circle (.5pt);
+\fill[black] (Q) circle (.5pt);
+\fill[black] (-1,0) circle (.5pt);
+\node[anchor=west] at (Q) {$\scriptstyle (1,2t)$};
+\node[anchor=north east] at (-1,0) {$\scriptstyle (-1,0)$};
+\node[anchor=north west] at (1,0) {$\scriptstyle (1,0)$};
+\node[anchor=east] at (P) {$\scriptstyle (\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$};
+\end{tikzpicture}
+\end{center}
+
+Un petit calcul d'inspiration géométrique (cf. les formules exprimant
+$(\cos\theta,\sin\theta)$ en fonction de $\tan\frac{\theta}{2}$),
+valable en fait sur tout corps $k$ de caractéristique $\neq 2$, montre
+que toute solution $(x,y)$ de $x^2+y^2=1$ autre que $(-1,0)$ peut
+s'écrire de la forme $(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$ avec $t
+\in k$ (uniquement défini, et vérifiant $t^2\neq -1$), qui peut être
+réciproquement calculé comme $t = \frac{y}{x+1}$.
+
+Mais ces mêmes formules peuvent s'interpréter comme définissant un
+\emph{isomorphisme} entre $k(C) := k(x,y : x^2+y^2=1)$ et
+$k(\mathbb{P}^1) = k(t)$, à savoir l'isomorphisme envoyant $x$ et $y$
+(maintenant des éléments de $k(C)$) sur $\frac{1-t^2}{1+t^2}$ et
+$\frac{2t}{1+t^2}$ (éléments de $k(t)$) respectivement : le fait qu'on
+ait bien $\big(\frac{1-t^2}{1+t^2}\big)^2 +
+\big(\frac{2t}{1+t^2}\big)^2 = 1$ assure que ce morphisme est bien
+défini (rappel : pour définir un morphisme de $k(x)[y]/(P)$ vers un
+anneau $B$ quelconque il suffit de définir un morphisme de $k(x)[y]$
+vers $B$ qui annule l'image de $P$), et en vérifiant que $t \mapsto
+\frac{y}{x+1}$ est sa réciproque, on voit que c'est un isomorphisme.
+
+Toute cette situation se résume en disant que le cercle $C =
+\{x^2+y^2=1\}$ est une courbe \textbf{rationnelle} (sur le corps $k$
+quelconque de caractéristique $\neq 2$), ou rationnellement
+paramétrée.  Le cadre dans lequel nous considérons les courbes fait
+qu'on « ne voit pas » la différence entre les courbes rationnelles et
+la droite.
+
+De façon générale, le même raisonnement va fonctionner pour une
+conique « non-dégénérée » sur un corps de caractéristique $\neq 2$,
+i.e., la courbe définie par un polynôme de degré $2$ qui ne se
+factorise pas même sur la clôture algébrique (géométriquement, ceci
+signifie que la conique ne sera pas réunion de deux droites, même sur
+la clôture algébrique), \emph{à condition d'avoir un point rationnel}
+(cf. \ref{rational-points-of-zariski-closed-sets}) qui puisse jouer le
+rôle de $(-1,0)$ dans le paramétrage par des droites de pente
+variable.