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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index fb498a2..221e91d 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -3042,6 +3042,24 @@ de la fraction rationnelle $f(\frac{1}{t})$ en $0$ ; sur les réels ou les complexes, c'est simplement la limite de $f$ en $\infty$ ou bien $\infty$ si $f$ n'est pas borné). +Rappelons que tout élément non nul de $k(t)$ possède une écriture +unique sous la forme $c \prod_{h \in \mathscr{P}} h(t)^{v_h}$ où $c +\in k^\times$, les $v_h$ sont des entiers (relatifs) tous nuls sauf un +nombre fini, et $\mathscr{P}$ est l'ensemble des polynômes unitaires +irréductibles dans $k[t]$. Si $k$ est \emph{parfait}, tout $h \in +\mathscr{P}$ peut encore s'écrire sous la forme $\prod_{\xi \in M} +(t-\xi)$ où $M$ est une orbite de $k$ sous $\Gamma_k := \Gal(k +\subseteq k^{\alg})$ (puisque deux éléments de $k$ sont conjugués si +et seulement si ils sont dans la même orbite sous $\Gamma_k$, +notamment d'après \ref{existence-uniqueness-decomposition-field}(2b)). +On peut donc écrire tout élément non nul de $k(t)$ de façon unique +sous la forme $c \prod_{\xi \in k^{\alg}} (t-\xi)^{v_\xi}$ où $c \in +k^\times$, les $v_\xi$ sont des entiers (relatifs) tous nuls sauf un +nombre fini, et $v_\xi$ est invariant sous $\Gamma_k$ (i.e., +$v_{\sigma(\xi)} = v_\xi$ pour tout $\sigma\in\Gamma_k$ et $\xi \in +k^{\alg}$). Un des thèmes de ce qui va suivre est de généraliser ce +type d'écriture au corps des fonctions d'une courbe quelconque. + \thingy Si $P \in k[x,y]$ est un polynôme irréductible en deux indéterminées $x,y$ et faisant effectivement intervenir $y$, on peut le voir comme un élément de $k(x)[y]$, qui est encore irréductible @@ -3417,6 +3435,9 @@ peuvent pas être représentées comme des courbes planes non-singulières). +% \subsection{Places}\label{subsection-places-of-function-fields} + + % TODO: |