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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 252f857..5736492 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -4698,16 +4698,17 @@ Supposons l'inégalité vérifiée pour certains $r_j$ et montrons qu'elle l'est encore quand on remplace l'un d'entre eux, disons $r_i$, par $r'_i := r_i+1$, avec $r'_j = r_j$ si $j\neq i$. Soit $L'$ l'espace correspondant (défini de la même façon que $L$ mais avec -les $r'_j$). Soit $z$ tel que $v_j(z) = r_j+1$. Alors pour $f \in -L'$ on a $v_j(fz) \geq 0$, c'est-à-dire $fz \in \mathcal{O}_i$, et de -plus $fz \in \mathfrak{m}_i$ se produit exactement lorsque -$v_j(fz)\geq 1$ c'est-à-dire que $f \in L$. On a donc défini une -application $k$-linéaire $L'\to\varkappa_i$ envoyant $f$ sur la classe -de $fz \in \mathcal{O}_i$ modulo $\mathfrak{m}_i$, dont le noyau -est $L$. En particulier, $\dim_k(L') \leq \dim_k(\varkappa_i) + -\dim_k(L) \leq [\tilde k : k] + \sum_{i=1}^n r'_i\, \deg(v_i)$, ce qui -conclut la récurrence ; et on a bien montré l'affirmation commençant -par « plus exactement ». +les $r'_j$) ; il est trivial que $L \subseteq L'$. Soit $z \in K$ tel +que $v_i(z) = r'_i = r_i+1$ (on n'impose pas de contrainte aux autres +places). Alors pour $f \in L'$ on a $v_i(fz) \geq 0$, c'est-à-dire +$fz \in \mathcal{O}_i$, et de plus $fz \in \mathfrak{m}_i$ se produit +exactement lorsque $v_i(fz)\geq 1$ c'est-à-dire que $f \in L$. On a +donc défini une application $k$-linéaire $L'\to\varkappa_i$ envoyant +$f$ sur la classe de $fz \in \mathcal{O}_i$ modulo $\mathfrak{m}_i$, +dont le noyau est $L$. En particulier, $\dim_k(L') \leq +\dim_k(\varkappa_i) + \dim_k(L) \leq [\tilde k : k] + \sum_{i=1}^n +r'_i\, \deg(v_i)$, ce qui conclut la récurrence ; et on a bien montré +l'affirmation commençant par « plus exactement ». \end{proof} \begin{thm}[« identité du degré »]\label{degree-identity} |