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diff --git a/controle-20160421.tex b/controle-20160421.tex index 16bd62f..bd069f6 100644 --- a/controle-20160421.tex +++ b/controle-20160421.tex @@ -525,6 +525,108 @@ non-trivial dans $K^n$. [Théorème de Tsen.] \end{corrige} +% +% +% + +\exercice + +Soit $k$ un corps parfait de caractéristique $\neq 2,3,5$. On +considère la courbe $C$ plane sur $k$ d'équation $y^2 = x^5 - 1$. On +admettra sans vérification que le polynôme $h := y^2 - x^5 + 1 \in +k[x,y]$ est géométriquement irréductible, et on posera $K := k(C) = +k(x)[y]/(h)$. + +(1) Si $w$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$, montrer qu'on a +$w(x)<0$ si et seulement si $w(y)<0$. Exprimer le rapport entre +$w(y)$ et $w(x)$ lorsque c'est le cas. + +\begin{corrige} +Si $w(x)<0$ alors $w(x^5 - 1) = 5 w(x)$ (puisque $w(x^5) < w(1)$), +autrement dit $w(y^2) = 5 w(x)$, d'où on déduit $w(y) = \frac{5}{2} +w(x) < 0$. Réciproquement, si $w(x) \geq 0$ alors $w(x^5 - 1) \geq +0$, autrement dit $w(y^2) \geq 0$, d'où on déduit $w(y) \geq 0$. On a +bien montré l'équivalence entre $w(x)<0$ et $w(y)<0$ et, de plus, +$w(y) = \frac{5}{2} w(x)$ lorsque ces propriétés sont vérifiées. +\end{corrige} + +\smallbreak + +(2) Rappeler pourquoi tout élément de $K$ s'écrit de façon unique sous +la forme $f_0 + f_1 y$ avec $f_0,f_1 \in k(x)$. + +\begin{corrige} +Le corps $K$ est le corps de rupture de $h := y^2 - x^5 + 1$ sur le +corps $k(x)$ des fractions rationnelles en l'indéterminée $x$. Tout +élément de $K = k(x)[y]/(h)$ est donc représenté de façon unique sous +la forme d'un polynôme de degré $<2$ en $y$, à savoir le reste de la +division euclidienne par $h$ (dans $k(x)[y]$) de n'importe quel +représentant, ce qui est bien la forme demandée. +\end{corrige} + +\smallbreak + +(3) En déduire qu'il existe au plus une valuation $w$ de $K$ au-dessus +de $k$ telle que $w(x) < 0$ (on pourra considérer la restriction de +$w$ à $k(x)$ et montrer que c'est, à une constante près, la valuation +$v_\infty$ à l'infini ; puis déduire de (2) que $w$ est complètement +déterminé par la donnée de $w(x)$ et en conclure ce que vaut cette +quantité). Montrer qu'il existe effectivement une telle valuation. + +\begin{corrige} +La restriction de $w$ à $k(x)$ vérifie les propriétés (o), (i) et (ii) +de \ref{valuation-ring-versus-valuation-function} qui définissent une +valuation : c'est donc \emph{à multiplication près par un entier + $e\geq 1$} une valuation sur $k(x)$, au-dessus de $k$ ; et puisque +$w(x) < 0$, cette valuation est la valuation à l'infini. Autrement +dit, en notant $w(x) = -e$, on a $w(f_0) = e\,v_\infty(f_0)$ pour +tout $f_0 \in k(x)$. Mais on sait aussi que $w(y) = \frac{5}{2} w(x) += -\frac{5}{2} e$, donc dans une forme $f_0 + f_1 y$, le premier terme +a une valuation multiple de $e$ et le second en a une qui vaut +$-\frac{5}{2}e$ plus un multiple de $e$, et notamment les deux termes +sont forcément de valuations \emph{différentes} : ainsi, $w(f_0 + f_1 +y)$ est complètement déterminé par la donnée de $e$, à savoir $e\, +\min(v_\infty(f_0), v_\infty(f_1) - \frac{5}{2})$. Mais puisque +l'image de $w$ doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de +normalisation), on a forcément $e = 2$, c'est-à-dire $w(x) = -2$ et +$w(y) = -5$. + +Il existe forcément une telle valuation, car $x$ n'est pas constant +(il est transcendant sur $k$), donc il a un pôle, ce qui signifie +exactement qu'il existe une place $w$ comme on vient de le décrire. +\end{corrige} + +\smallbreak + +(4) On note $M$ la place de $C$ qui a été trouvée (c'est-à-dire que $w += \ord_M$ est l'unique valuation de $K$ au-dessus de $k$ pour laquelle +$w(x) < 0$). Montrer que pour tout $r \in \mathbb{N}$ les fonctions +$1,x,x^2,\ldots,x^r,\penalty0 y,xy,\ldots,x^{r-3}y$ sont dans l'espace de +Riemann-Roch $\mathscr{L}(2r(M))$ et sont linéairement indépendants +sur $k$. En déduire un minorant de $\ell(2r(M))$. En prenant $r$ +grand, en déduire un majorant sur le genre $g$ de $C$. + +\begin{corrige} +On vient de voir que $\ord_M(x) = -2$ et $\ord_M(y) = -5$. Par +conséquent, $\ord_M(x^i) = -2i$ et $\ord_M(x^i y) = -5-2i$. Ces +quantités sont $\geq -2r$ lorsque respectivement $i\leq r$ et $i\leq +r-\frac{5}{2}$ (c'est-à-dire en fait $i \leq r-3$ puisque $i,r$ sont +entiers). On a bien montré que $1,x,x^2,\ldots,x^r,\penalty0 +y,xy,\ldots,x^{r-3}y$ sont dans $\mathscr{L}(2r(M))$. Ils sont +linéairement indépendants sur $k$ car d'une part les puissances +de $x$, qui sont dans $k(x)$, sont linéairement indépendantes sur $k$, +et d'autre part $1$ et $y$ sont linéairement indépendants sur $k(x)$ +(cf. question (2)). Bref, on a trouvé $(r+1) + (r-2) = 2r-1$ éléments +$k$-linéairement indépendants dans $\mathscr{L}(2r(M))$, donc +$\ell(2r(M)) \geq 2r-1$. + +Or on sait par \ref{degree-of-canonical-divisor}(B) que si $r$ est +assez grand (à savoir $2r > 2g - 2$ mais peu importe), on a +$\ell(2r(M)) = 2r + 1 - g$. On en déduit $1 - g \geq -1$, +c'est-à-dire $g \leq 2$. +\end{corrige} + + % % |