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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index ee02d58..8718bfa 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -583,7 +583,8 @@ produit : c'est donc une algèbre sur $k$ ou $K$ ou $L$ comme on préfère. Comme $V$ est un sous-anneau de $M$, qui est un corps, il s'agit d'un anneau intègre. -Dans le cas où $[K:k] < \infty$, on a $[V:L] < \infty$ car une famille +Dans le cas où $[K:k] < \infty$, le $L$-espace vectoriel $V$ est +également de dimension finie, car une famille génératrice $(v_j)$ de $K$ comme $k$-espace vectoriel est encore génératrice de $V$ comme $L$-espace vectoriel (en effet, si tout élément de $K$ peut s'écrire $\sum_j c_j v_j$ pour certains $c_i \in @@ -1181,7 +1182,7 @@ coefficients sont les racines $p^s$-ièmes de ceux de $f_0$ (c'est là qu'on utilise la perfection de $k$), on a $f(t) = f_0(t^{p^s}) = (f_1(t))^{p^s}$, et ceci ne peut être irréductible que pour $s=0$. -\begin{prop}[théorème de l'élément primitif] +\begin{prop}[théorème de l'élément primitif]\label{primitive-element-theorem} Soit $K = k(x_1,\ldots,x_n)$ avec $x_1,\ldots,x_n$ algébriques sur $k$ et $x_2,\ldots,x_n$ séparables sur $k$ (on ne demande pas que $x_1$ soit séparable). Alors l'extension $k\subseteq K$ est monogène, @@ -1228,6 +1229,13 @@ $x_2 \in k(y)$, et on a expliqué que cela conclut. \begin{cor} Toute extension finie d'un corps parfait est monogène. \end{cor} +\begin{proof} +Soit $k$ un corps parfait, $k \subseteq K$ une extension finie : +d'après \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(2), elle est engendrée +par un nombre fini d'éléments algébriques, ceux-ci sont séparables +sur $k$ puisque $k$ est parfait, et d'après +\ref{primitive-element-theorem}, l'extension est monogène. +\end{proof} % TODO: % * Extensions séparables, composées, sommes, produits. |