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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index f0d6da7..66f90c6 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -34,6 +34,7 @@ % \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} +\newcommand{\degtrans}{\operatorname{deg.tr}} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % @@ -162,6 +163,43 @@ premier mais non maximal puisque $k[x,y]/(y) \cong k[x]$, tandis que l'idéal $(x,y)$ (des polynômes s'annulant à l'origine) est maximal puisque $k[x,y]/(x,y) \cong k$. +\bigbreak + +Le résultat ensembliste suivant sera admis : +\begin{lem}[principe maximal de Hausdorff]\label{hausdorff-maximal-principle} +Soit $\mathscr{F}$ un ensemble de parties d'un ensemble $A$. On +suppose que $\mathscr{F}$ est non vide et que pour toute partie non +vide $\mathscr{T}$ de $\mathscr{F}$ totalement ordonnée par +l'inclusion (c'est-à-dire telle que pour $I,I' \in \mathscr{T}$ on a +soit $I \subseteq I'$ soit $I \supseteq I'$) la réunion $\bigcup_{I + \in \mathscr{T}} I$ soit contenue dans un élément de $\mathscr{F}$. +Alors il existe dans $\mathscr{F}$ un élément $M$ maximal pour +l'inclusion (c'est-à-dire que si $I \supseteq M$ avec $I \in +\mathscr{F}$ alors $I=M$). +\end{lem} + +\begin{prop}\label{existence-maximal-ideals} +Dans un anneau $A$, tout idéal strict (=autre que $A$) est inclus dans +un idéal maximal. +\end{prop} +\begin{proof} +Si $I$ est un idéal strict de $A$, on applique le principe maximal de +Hausdorff à $\mathscr{F}$ l'ensemble des idéaux stricts de $A$ +contenant $I$. Si $\mathscr{T}$ est une chaîne (=partie totalement +ordonnée pour l'inclusion) de tels idéaux, la réunion $\bigcup_{I \in + \mathscr{T}} I$ en est encore un\footnote{La réunion de deux idéaux + n'est généralement pas un idéal, car si $x\in I$ et $x' \in I'$, la + somme $x+x'$ n'a pas de raison d'appartenir à $I\cup I'$. En + revanche, si $\mathscr{T}$ est une famille d'idéaux totalement + ordonnée par l'inclusion, alors $\bigcup_{I \in \mathscr{T}} I$ est + un idéal : si $x\in I$ et $x' \in I'$, où $I,I'\in \mathscr{T}$, on + peut écrire soit $I \subseteq I'$ soit $I'\subseteq I$, et dans un + cas comme dans l'autre on a $x+x' \in \bigcup_{I \in \mathscr{T}} + I$.} (pour voir que la réunion est encore un idéal strict, remarquer +que $1$ n'y appartient pas). Le principe maximal de Hausdorff permet +de conclure. +\end{proof} + \thingy Si $A$ est un anneau intègre, on définit un corps $\Frac(A)$, dit \textbf{corps des fractions} de $A$, dont les éléments sont les symboles formels $\frac{a}{q}$ avec $a \in A$ et $q \in A @@ -241,6 +279,14 @@ $k$-algèbre de type fini $k[x_1,\ldots,x_n]$ est la même chose qu'un \emph{quotient} de l'algèbre de polynômes $k[t_1,\ldots,t_n]$ (par le noyau du morphisme d'évaluation). +Pour ce qui est du cas infini : la $k$-algèbre $k[x_i]_{i\in I}$ +engendrée par une famille quelconque $(x_i)_{i\in I}$ d'éléments de +$A$ est la \emph{réunion} des algèbres $k[x_i]_{i\in J}$ engendrées +par toutes les sous-familles finies (i.e., $J\subseteq I$ fini) de la +famille donnée. (Autrement dit, $y \in A$ appartient à $k[x_i]_{i\in + I}$ si et selement si il existe $J\subseteq I$ fini tel que $y$ +appartienne à $k[x_i]_{i\in J}$.) + \thingy Une \textbf{extension de corps} est un morphisme d'anneaux $k \to K$ entre corps (c'est-à-dire que $K$ est une $k$-algèbre qui est un corps). Un tel morphisme est automatiquement injectif (car son @@ -285,6 +331,14 @@ sommes, produits et inverses (d'éléments non nuls). Autrement dit, ce sont les valeurs des fractions rationnelles à coefficients dans $k$ évalués en des $x_i$ (à condition d'être bien définies). +Pour ce qui est du cas infini : la sous-extension $k(x_i)_{i\in I}$ +engendrée par une famille quelconque $(x_i)_{i\in I}$ d'éléments de +$K$ est la \emph{réunion} des sous-extensions $k(x_i)_{i\in J}$ +engendrées par toutes les sous-familles finies (i.e., $J\subseteq I$ +fini) de la famille donnée. (Autrement dit, $y \in K$ appartient à +$k(x_i)_{i\in I}$ si et selement si il existe $J\subseteq I$ fini tel +que $y$ appartienne à $k(x_i)_{i\in J}$.) + \subsection{Extensions algébriques et degré} \thingy\label{monogeneous-extensions-dichotomy} Si $k \subseteq K$ est @@ -349,7 +403,8 @@ de $k(x) = k[t]/(\mu)$ s'identifie avec $a \in k$). \thingy Une extension de corps $k\subseteq K$ est dite \textbf{algébrique} lorsque chaque élément de $K$ est algébrique -sur $k$. +sur $k$. On dit aussi que $K$ est algébrique « au-dessus de » $k$ ou +« sur » $k$. Un corps $k$ est dit \textbf{algébriquement clos} lorsque la seule extension algébrique de $k$ est $k$ lui-même : d'après les remarques @@ -360,7 +415,8 @@ irréductibles dans $k[t]$ sont les $t-a$. considérer $K$ comme un $k$-espace vectoriel, et sa dimension (finie ou infinie) est notée $[K:k]$ et appelée \textbf{degré} de l'extension. Une extension de degré fini est aussi dite -\textbf{finie}. +\textbf{finie}. Il va de soi qu'une sous-extension d'une extension +finie est encore finie. Il résulte de l'identification de $k(x)$ à $k[t]/(\mu_x)$ que, si $x$ est un élément algébrique sur $k$, alors $[k(x):k]$ est fini et égal @@ -371,29 +427,63 @@ montré que : \emph{l'extension monogène $k\subseteq k(x)$ est finie si \thingy On aura également besoin du fait que si $k \subseteq K \subseteq L$ sont deux extensions imbriquées alors -$[L:k] = [K:k] \, [L:K]$ (au sens où le membre de gauche est fini si et -seulement si les deux facteurs du membre de droite le sont, et dans ce -cas leur produit lui est égal). Cela résulte du fait plus précis que -si $(x_\iota)_{\iota\in I}$ est une $k$-base de $K$ et -$(y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ une $K$-base de $L$, alors $(x_\iota -y_\lambda)_{(\iota,\lambda)\in I\times\Lambda}$ est une $k$-base -de $L$ (vérification aisée). +$[L:k] = [K:k] \, [L:K]$ (au sens où le membre de gauche est fini si +et seulement si les deux facteurs du membre de droite le sont, et dans +ce cas leur produit lui est égal). Cela résulte du fait plus précis +que si $(x_i)_{i\in I}$ est une $k$-base de $K$ et $(y_j)_{j\in J}$ +une $K$-base de $L$, alors $(x_i y_j)_{(i,j)\in I\times J}$ est une +$k$-base de $L$ (vérification aisée). -\thingy Les deux faits suivants sont à noter : +\thingy\label{basic-facts-algebraic-extensions} Les faits suivants sont à noter : -Une extension de corps engendrée par un nombre fini d'éléments +(1) Une extension de corps engendrée par un nombre fini d'éléments algébriques est finie (en effet, si $x_1,\ldots,x_n$ sont algébriques sur $k$, alors chaque extension $k(x_1,\ldots,x_{i-1}) \subseteq k(x_1,\ldots,x_i)$ est monogène algébrique, donc finie, donc leur composée est fini). -Une extension $k\subseteq K$ est finie si et seulement si elle est à -la fois algébrique et de type fini. (Le sens « si » résulte de -l'affirmation précédente ; pour le sens « seulement si », remarquer -que pour tout $x\in K$, l'extension $k\subseteq k(x)$ est finie donc +(2) Une extension $k\subseteq K$ est finie si et seulement si elle est +à la fois algébrique et de type fini. (Le sens « si » résulte de +l'affirmation (1) ; pour le sens « seulement si », remarquer que pour +tout $x\in K$, l'extension $k\subseteq k(x)$ est finie donc algébrique, et qu'une base de $K$ comme $k$-espace vectoriel engendre certainement $K$ comme extension de corps de $k$.) +(3) Une extension de corps engendrée par une famille quelconque +d'éléments algébriques est algébrique (en effet, si $K = k(x_i)_{i\in + I}$ et $y \in K$, alors, cf. \ref{subfield-generated-is-quotients}, +$y$ appartient à $k(x_i)_{i\in J}$ pour une sous-famille finie des +$x_i$, et d'après le (1), cette extension est finie sur $k$ donc +$k(y)$ l'est, c'est-à-dire que $y$ est algébrique sur $k$). +Concrètement, donc, les sommes, différences, produits et inverses de +quantités algébriques sur $k$ sont algébriques sur $k$. + +(4) Si $k\subseteq K$ et $K\subseteq L$ sont algébriques alors +$k\subseteq L$ l'est (en effet, si $y \in L$, et si $x_1,\ldots,x_n +\in K$ sont les coefficients du polynôme minimal de $y$ sur $L$, alors +$y$ est algébrique sur $k(x_1,\ldots,x_n)$, qui est une extension +finie de $k$ d'après (1), donc $k(x_1,\ldots,x_n,y)$ est une extension +finie de $k(x_1,\ldots,x_n)$ donc de $k$, donc $k(y)$ est une +extension finie de $k$, donc $y$ est algébrique sur $k$). + +\thingy L'observation (3) ci-dessus entraîne que si $k\subseteq K$ est +une extension de corps, l'extension de $k$ engendrée par tous les +éléments de $K$ algébriques sur $k$ est tout simplement +l'\emph{ensemble} de tous les éléments de $K$ algébriques sur $k$, +c'est-à-dire que cet ensemble est un corps, qui est manifestement la +plus grande extension intermédiaire algébrique sur $k$ : on l'appelle +la \textbf{fermeture algébrique} de $k$ dans $K$ (la précision +« dans $K$ » est importante). + +Si c'est précisément $k$, on dit que $k$ est \textbf{algébriquement + fermé} dans $K$ : autrement dit, cela signifie que tout élément +de $K$ est soit transcendant sur $k$ soit élément de $k$ (=algébrique +de degré $1$). Un corps algébriquement clos est algébriquement fermé +dans toute extension, mais un corps peut être algébriquement fermé +dans une extension sans pour autant être algébriquement clos (par +exemple $\mathbb{Q}$ dans le corps $\mathbb{Q}(t)$ des fractions +rationnelles). + \subsection{Bases et degré de transcendance} @@ -401,22 +491,24 @@ certainement $K$ comme extension de corps de $k$.) Si $k\subseteq K$ est une extension de corps, une famille finie $x_1,\ldots,x_n$ d'éléments de $K$ est dite \textbf{algébriquement indépendante} (il serait plus logique de dire « collectivement -transcendante ») lorsque le seul polynôme $P \in k[t_1,\ldots,t_n]$ à -coefficients dans $k$ et tel que $P(x_1,\ldots,x_n) = 0$ est le -polynôme nul, autrement dit, lorsque le morphisme « d'évaluation » -$k[t_1,\ldots,t_n] \to K$ (avec $k[t_1,\ldots,t_n]$ l'anneau des -polynômes en $n$ indéterminées) envoyant $P$ sur $P(x_1,\ldots,x_n)$ -est injectif. En particulier, chacun des $x_i$ est transcendant -sur $k$. + transcendante ») sur $k$ lorsque le seul polynôme $P \in +k[t_1,\ldots,t_n]$ à coefficients dans $k$ et tel que +$P(x_1,\ldots,x_n) = 0$ est le polynôme nul, autrement dit, lorsque le +morphisme « d'évaluation » $k[t_1,\ldots,t_n] \to K$ (avec +$k[t_1,\ldots,t_n]$ l'anneau des polynômes en $n$ indéterminées) +envoyant $P$ sur $P(x_1,\ldots,x_n)$ est injectif. En particulier, +chacun des $x_i$ est transcendant sur $k$ ; et un unique élément $x$ +de $K$ est algébriquement indépendant sur $k$ si et seulement si il +est transcendant sur $k$. On dit d'une famille infinie $(x_i)$ d'éléments de $K$ qu'elle est -algébriquement indépendante lorsque toute sous-famille finie d'entre -eux l'est. +algébriquement indépendante sur $k$ lorsque toute sous-famille finie +d'entre eux l'est. Une famille $(x_i)$ d'éléments de $K$ est appelée \textbf{base de transcendance} de $K$ sur $k$ lorsqu'elle est algébriquement -indépendante est $K$ est une extension algébrique de l'extension -$k(x_i)$ de $k$ engendrée par les $x_i$. +indépendante sur $k$ et que $K$ est algébrique au-dessus de +l'extension $k(x_i)$ de $k$ engendrée par les $x_i$. \end{defn} \thingy Il est trivialement le cas que $t_1,\ldots,t_n$ sont @@ -462,6 +554,120 @@ Si $x_i$ est une base de transcendance de $K$ sur $k$, celle-ci \subseteq k(x_i)$ est transcendante pure, et l'extension $k(x_i) \subseteq K$ est algébrique. +\begin{prop}\label{transcendence-basis-facts} +Soit $k \subseteq K$ une extension de corps. + +(1a) Toute famille algébriquement indépendante sur $k$ d'éléments +de $K$ se complète en une base de transcendance de $K$ sur $k$. (Ceci +s'applique notamment à la famille vide, donc il existe toujours une +base de transcendance de $K$ sur $k$.) (1b) De toute famille qui +engendre $K$ en tant qu'extension de corps de $k$ (ou même : qui +engendre un corps intermédiaire $E$ au-dessus duquel $K$ est +algébrique) on peut extraire une base de transcendance. + +(2) \textit{Lemme d'échange :} Si $z_1,\ldots,z_n$ est une base de +transcendance finie de $K$ sur $k$ et $t$ un élément de $K$ tel que +$z_1,\ldots,z_\ell,t$ soient algébriquement indépendants sur $k$ (pour +un certain $\ell$, qui peut être $0$), alors il existe $j$ entre +$\ell+1$ et $n$ tel qu'en remplaçant $z_j$ par $t$ dans la base de +transcendance $z_1,\ldots,z_n$ on obtienne encore une base de +transcendance. + +(3) Deux bases de transcendance de $K$ sur $k$ ont toujours le même +cardinal. +\end{prop} +\begin{proof} +(1a) Le principe de maximalité de + Hausdorff (\ref{hausdorff-maximal-principle}, appliqué à l'ensemble + $\mathscr{F}$ des familles algébriquement indépendantes sur $k$) + montre que toute famille algébriquement indépendante est contenue + dans une famille algébriquement indépendante maximale. Montrons + qu'une telle famille est une base de transcendance : si $(x_i)_{i\in + I}$ est une famille algébriquement indépendante maximale, on veut + donc prouver que $K$ est algébrique sur $k(x_i)_{i\in I}$ ; pour + cela, soit $t \in K$, on veut montrer qu'il n'est pas transcendant + sur $k(x_i)_{i\in I}$. Mais s'il l'est, on observe que la famille + obtenue en rajoutant $t$ à la famille $(x_i)_{i \in I}$ est encore + algébriquement indépendante : en effet, si on avait un polynôme + $P(t,(x_i))$ qui l'annulât, en considérant $P$ comme polynôme de la + seule variable $t$ (dont il dépend effectivement, sinon il donnerait + une relation de dépendance algébrique entre les $x_i$, chose qui + n'existe pas) on contredirait la transcendance de $t$ sur + $k(x_i)_{i\in I}$. Par maximalité de $(x_i)_{i\in I}$, ceci ne peut + pas se produire : donc $K$ est bien algébrique sur $k(x_i)_{i\in I}$ + et $(x_i)_{i\in I}$ est une base de transcendance. + +(1b) Soit maintenant $(x_i)_{i\in J}$ une famille génératrice (i.e., + $K = k(x_i)_{i \in J}$) ou telle que $K$ soit algébrique sur $E = + k(x_i)_{i \in J}$ : soit $I$ une partie maximale de $J$ telle que + $(x_i)_{i\in I}$ soit algébriquement indépendante (de nouveau on + utilise le principe de maximalité), et on va montrer qu'il s'agit + d'une base de transcendance. Si ce n'est pas le cas, l'extension + $K$ de $k(x_i)_{i\in I}$ n'est pas algébrique, donc + (cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(3)) elle ne peut pas + être engendrée uniquement par des éléments algébriques, autrement + dit il existe $j\in J$ (et évidemment $j\not\in I$) tel que $x_j$ + soit transcendant sur $k(x_i)_{i\in I}$, et par ce qu'on vient + d'expliquer la famille obtenue en rajoutant $j$ à $I$ contredit la + maximalité de $I$. + +(2) Soit $z_1,\ldots,z_n$ une base de transcendance (finie) et $t \in + K$ tel que $z_1,\ldots,z_\ell,t$ soient algébriquement indépendants. + Puisque $t \in K$ est algébrique sur $k(z_1,\ldots,z_n)$, on peut + trouver une relation de dépendance algébrique $P(t,z_1,\ldots,z_n) = + 0$ ; comme $z_1,\ldots,z_\ell,t$ sont algébriquement indépendants + par hypothèse, le polynôme $P$ ne peut pas dépendre que de ces + variables, donc il doit faire intervenir $z_j$ pour un certain $j$ + entre $\ell+1$ et $n$. Soit $z'_i$ défini par $z'_i = z_i$ si + $i\neq j$ et $z'_j = t$. La relation $P(t,z_1,\ldots,z_n) = 0$, ou, + quitte à échanger deux variables, $\hat P(z_j,z'_1,\ldots,z'_n) = + 0$, se lit aussi comme affirmant que $z_j$ est algébrique sur + $k(z'_1,\ldots,z'_n)$ : il s'ensuit que $K$ est algébrique sur + $k(z'_1,\ldots,z'_n)$ (puisqu'il est algébrique sur + $k(z_1,\ldots,z_n)$ et qu'on vient de voir que ce dernier est + algébrique sur $k(z'_1,\ldots,z'_n)$, + cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions} (3) et (4)). D'autre + part, les $z'_i$ sont algébriquement indépendants : car s'ils ne + l'étaient pas, comme les $z_1,\ldots,z_n$ le sont, une relation + $Q(z'_1,\ldots,z'_n)=0$ ferait intervenir $z'_j = t$, c'est-à-dire + que $t$ serait algébrique sur les autres $z'_i$, donc $z_j$ serait + algébrique sur les $z'_i = z_i$ pour $i \neq j$ (vu qu'on sait déjà + qu'il est algébrique sur tous les $z'_i$), or par hypothèse ce n'est + pas le cas. On a bien prouvé que les $z'_i$ forment une base de + transcendance de $K$ sur $k$. + +(3) Tout d'abord, s'il existe une base de transcendance finie + $z_1,\ldots,z_n$, alors toute famille algébriquement indépendante + $x_1,\ldots,x_{n'}$ vérifie $n' \leq n$. En effet, si $n'>n$, le + lemme d'échange permet de remplacer un des $z_i$, mettons $z_1$, par + $x_1$, puis un des $z_i$ autre que $z_1$, mettons $z_2$, par $x_2$, + et ainsi de suite, toujours en obtenant des bases de transcendance. + Finalement, on voit que $x_1,\ldots,x_n$ est une base de + transcendance, contredisant le fait supposé que les $x_i$ pour + $n<i\leq n'$ sont encore transcendants dessus. (Ici, on a supposé + la famille $x_1,\ldots,x_{n'}$ finie, mais de façon générale on voit + que toute sous-famille finie d'une famille algébriquement + indépendante doit avoir au plus $n$ éléments donc toute famille + algébriquement indépendante est finie.) + +Enfin, si on a une base de transcendance infinie $(x_i)_{i\in I}$, +d'après ce qu'on vient de voir, toute autre base de transcendance +$(y_j)_{j\in J}$ est également infinie ; par ailleurs, tout élément +$y_j$ de $K$ est algébrique sur le sous-corps engendré par une +sous-famille \emph{finie} des $x_i$, donc on a une application de $J$ +vers les parties finies de $I$ telle que l'image réciproque d'une +partie finie donnée de $I$ soit finie, et ceci prouve bien que $I$ et +$J$ ont même cardinal (en utilisant le fait que, pour $I$ infini, $I$ +est équipotent à l'ensemble de ses parties finies). +\end{proof} + +\begin{defn} +Si $k \subseteq K$ est une extension de corps, le cardinal d'une base +de transcendance de $K$ sur $k$ (dont on vient de montrer qu'il ne +dépend pas du choix de celle-ci) s'appelle \textbf{degré de + transcendance} de $K$ sur $k$ et se note $\degtrans_k(K)$. +\end{defn} + % % % |