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diff --git a/exercices-courbes.tex b/exercices-courbes.tex index 12ab551..036e7cf 100644 --- a/exercices-courbes.tex +++ b/exercices-courbes.tex @@ -15,12 +15,16 @@ \usepackage{wasysym} \usepackage{url} % +\usepackage{xr-hyper} +% \usepackage{graphics} \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{matrix,calc} \usepackage{hyperref} % +\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf] +% \theoremstyle{definition} \newtheorem{comcnt}{Tout} \newcommand\thingy{% @@ -129,14 +133,15 @@ b\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = (1-3-3+9)a^3 + 27 b^2$). (2) Soit $h := y^2 - x^3 - ax - b \in k[x,y]$. Montrer que $h$ est irréductible (on pourra le considérer comme un élément de $k(x)[y]$) -et même géométriquement irréductible. +et même géométriquement irréductible (cf. \ref{geometric-irreducibility}). \begin{corrige} On peut voir $h$ dans $k(x)[y]$, il est de la forme $y^2 - f$ avec $f := x^3 + ax + b \in k(x)$. Pour montrer qu'il est irréductible dans $k(x)[y]$, il suffit de montrer que $f$ n'est pas un carré dans $k(x)$ : ceci impliquera alors que $h$ est encore irréductible -dans $k[x,y]$ d'après le lemme de Gauß (le pgcd dans $k[x]$ des +dans $k[x,y]$ d'après le lemme de Gauß +(\ref{gauss-lemma-on-irreducibility} : le pgcd dans $k[x]$ des coefficients de $h\in k[x][y]$ étant évidemment $1$ puisque le coefficient de $y^2$ est $1$). Or $f$ n'est pas un carré dans $k(x)$, car il en serait un dans $k[x]$ (grâce à la décomposition en facteurs @@ -229,28 +234,31 @@ v(f_1)$ n'est pas un multiple entier de $r$ donc pas égal à la valuation d'un élément de $k(x)$, la valuation de $f_0 + f_1 y$ est complètement déterminée (la valuation d'une somme dont les termes sont de valuations \emph{différentes} est le plus petit des valuations des -termes). Bref, on a complètement caractérisé $v$, à la donnée de $r$ -près. Mais puisque l'image de $v$ doit être $\mathbb{Z} \cup -\{\infty\}$ (condition de normalisation), on a forcément $r = 2$, -c'est-à-dire $v(x) = -2$ et $v(y) = -3$. +termes, cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)). +Bref, on a complètement caractérisé $v$, à la donnée de $r$ près. +Mais puisque l'image de $v$ doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ +(condition de normalisation), on a forcément $r = 2$, c'est-à-dire +$v(x) = -2$ et $v(y) = -3$. Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit en le vérifiant à la main ; soit en invoquant le théorème d'existence -des valuations appliqué à l'anneau $k(x)[\frac{1}{y}]$ des polynômes -en $\frac{1}{y}$ sur $k(x)$, de corps des fractions $K$, et à son -idéal premier engendré par $\frac{1}{y}$, pour affirmer que $K$ doit -avoir une valuation positive sur $k(x)[\frac{1}{y}]$ et strictement -positive en $\frac{1}{y}$ ; soit, tout simplement, en se rappelant que -$x$ doit avoir un pôle quelque part, c'est-à-dire qu'il doit exister -une valuation telle que $v(x)<0$). +des valuations \ref{existence-of-valuations}, appliqué à l'anneau +$k(x)[\frac{1}{y}]$ des polynômes en $\frac{1}{y}$ sur $k(x)$, de +corps des fractions $K$, et à son idéal premier engendré +par $\frac{1}{y}$, pour affirmer que $K$ doit avoir une valuation +positive sur $k(x)[\frac{1}{y}]$ et strictement positive +en $\frac{1}{y}$ ; soit, tout simplement, en se rappelant que $x$ doit +avoir un pôle quelque part, cf. \ref{constant-functions-on-a-curve}, +c'est-à-dire qu'il doit exister une valuation telle que $v(x)<0$). \end{corrige} \smallbreak (5) Quels sont le degré de $x$ en tant que fonction sur $E$ (on -rappelle que $\deg(x) := [K:k(x)]$) et de $y$ ? Montrer que la place -$\heartsuit$ trouvée en (4) est rationnelle (c'est-à-dire de -degré $1$). Donner une uniformisante en $\heartsuit$. +rappelle, cf. \ref{degree-of-a-function}, que $\deg(x) := [K:k(x)]$) +et de $y$ ? Montrer que la place $\heartsuit$ trouvée en (4) est +rationnelle (c'est-à-dire de degré $1$, cf. \ref{degree-of-a-place}). +Donner une uniformisante en $\heartsuit$. \begin{corrige} On a rappelé en (3) que l'élément $y$ est algébrique de degré $2$ @@ -266,13 +274,14 @@ que fonction sur $E$ et vice versa, mais cette terminologie est malheureusement bien ancrée.) En notant $v = \ord_\heartsuit$ la valuation trouvée en (4), -l'identité du degré appliquée à $\frac{1}{x}$ donne $\deg(\frac{1}{x}) -= \ord_\heartsuit(\frac{1}{x}) \, \deg(\heartsuit)$ puisque, comme on -l'a montré en (4), $\heartsuit$ est la \emph{seule} place où -$\frac{1}{x}$ a un zéro (i.e., la seule place $P$ pour laquelle -$\ord_P(x) < 0$). Comme on a vu que $\ord_\heartsuit(x) = -2$ (donc -$\ord_\heartsuit(\frac{1}{x}) = 2$) et $\deg(x) = 2$, on en déduit -$\deg(\heartsuit) = 1$ : la place est \emph{rationnelle}. +l'identité du degré \ref{degree-identity} appliquée à $\frac{1}{x}$ +donne $\deg(\frac{1}{x}) = \ord_\heartsuit(\frac{1}{x}) \, +\deg(\heartsuit)$ puisque, comme on l'a montré en (4), $\heartsuit$ +est la \emph{seule} place où $\frac{1}{x}$ a un zéro (i.e., la seule +place $P$ pour laquelle $\ord_P(x) < 0$). Comme on a vu que +$\ord_\heartsuit(x) = -2$ (donc $\ord_\heartsuit(\frac{1}{x}) = 2$) et +$\deg(x) = 2$, on en déduit $\deg(\heartsuit) = 1$ : la place est +\emph{rationnelle}. Une uniformisante en $\heartsuit$ est donnée par $x/y$ puisque $\ord_\heartsuit(x) = -2$ et $\ord_\heartsuit(y) = -3$. @@ -280,9 +289,9 @@ $\ord_\heartsuit(x) = -2$ et $\ord_\heartsuit(y) = -3$. \smallbreak -(6) Expliquer concrètement comment voir l'évaluation en $\heartsuit$ -d'un élément de $K$ représenté d'une des deux manières qu'on a vues -en (3). +(6) Expliquer concrètement comment voir l'évaluation en $\heartsuit$ +(cf. \ref{evaluation-of-a-function-at-a-place}) d'un élément de $K$ +représenté d'une des deux manières qu'on a vues en (3). \begin{corrige} Pour évaluer un élément de la forme $f_0 + f_1 y$ en $\heartsuit$, on @@ -341,20 +350,23 @@ Comme $w(f_1 y) = \frac{1}{2}r + w(f_1)$ n'est pas un multiple entier de $r$ donc pas égal à la valuation d'un élément de $k(x)$, la valuation de $f_0 + f_1 y$ est complètement déterminée (la valuation d'une somme dont les termes sont de valuations \emph{différentes} est -le plus petit des valuations des termes). Bref, on a complètement -caractérisé $w$, à la donnée de $r$ près. Mais puisque l'image de $w$ -doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de normalisation), -on a forcément $r = 2$, c'est-à-dire $w(f_\sharp) = 2$ et $w(y) = 1$. +le plus petit des valuations des termes, +cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)). Bref, on a +complètement caractérisé $w$, à la donnée de $r$ près. Mais puisque +l'image de $w$ doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de +normalisation), on a forcément $r = 2$, c'est-à-dire $w(f_\sharp) = 2$ +et $w(y) = 1$. Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit en le vérifiant à la main ; soit en invoquant le théorème d'existence -des valuations appliqué à l'anneau $k[x,y]$ des polynômes en $x,y$, de -corps des fractions $K$, et à son idéal premier engendré -par $h,f_\sharp$, pour affirmer que $K$ doit avoir une valuation -positive sur $k[x,y]$ et strictement positive en $f_\sharp$ ; soit, -tout simplement, en se rappelant que $f_\sharp$ doit avoir un zéro -quelque part, c'est-à-dire qu'il doit exister une valuation telle -que $v(f_\sharp)>0$). +des valuations \ref{existence-of-valuations}, appliqué à l'anneau +$k[x,y]$ des polynômes en $x,y$, de corps des fractions $K$, et à son +idéal premier engendré par $h,f_\sharp$, pour affirmer que $K$ doit +avoir une valuation positive sur $k[x,y]$ et strictement positive +en $f_\sharp$ ; soit, tout simplement, en se rappelant que $f_\sharp$ +doit avoir un zéro quelque part, +cf. \ref{constant-functions-on-a-curve}, c'est-à-dire qu'il doit +exister une valuation telle que $v(f_\sharp)>0$). \end{corrige} \smallbreak |