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diff --git a/exercices-courbes.tex b/exercices-courbes.tex index 162c7db..d17f53f 100644 --- a/exercices-courbes.tex +++ b/exercices-courbes.tex @@ -235,12 +235,14 @@ près. Mais puisque l'image de $v$ doit être $\mathbb{Z} \cup c'est-à-dire $v(x) = -2$ et $v(y) = -3$. Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit -en le vérifiant à la main, soit en invoquant le théorème d'existence +en le vérifiant à la main ; soit en invoquant le théorème d'existence des valuations appliqué à l'anneau $k(x)[\frac{1}{y}]$ des polynômes en $\frac{1}{y}$ sur $k(x)$, de corps des fractions $K$, et à son idéal premier engendré par $\frac{1}{y}$, pour affirmer que $K$ doit avoir une valuation positive sur $k(x)[\frac{1}{y}]$ et strictement -positive en $\frac{1}{y}$). +positive en $\frac{1}{y}$ ; soit, tout simplement, en se rappelant que +$x$ doit avoir un pôle quelque part, c'est-à-dire qu'il doit exister +une valuation telle que $v(x)<0$). \end{corrige} \smallbreak @@ -248,7 +250,7 @@ positive en $\frac{1}{y}$). (5) Quels sont le degré de $x$ en tant que fonction sur $E$ (on rappelle que $\deg(x) := [K:k(x)]$) et de $y$ ? Montrer que la place $\heartsuit$ trouvée en (4) est rationnelle (c'est-à-dire de -degré $1$). +degré $1$). Donner une uniformisante en $\heartsuit$. \begin{corrige} On a rappelé en (3) que l'élément $y$ est algébrique de degré $2$ @@ -271,6 +273,9 @@ $\frac{1}{x}$ a un zéro (i.e., la seule place $P$ pour laquelle $\ord_P(x) < 0$). Comme on a vu que $\ord_\heartsuit(x) = -2$ (donc $\ord_\heartsuit(\frac{1}{x}) = 2$) et $\deg(x) = 2$, on en déduit $\deg(\heartsuit) = 1$ : la place est \emph{rationnelle}. + +Une uniformisante en $\heartsuit$ est donnée par $x/y$ puisque +$\ord_\heartsuit(x) = -2$ et $\ord_\heartsuit(y) = -3$. \end{corrige} \smallbreak @@ -281,18 +286,18 @@ en (3). \begin{corrige} Pour évaluer un élément de la forme $f_0 + f_1 y$ en $\heartsuit$, on -se rappelle qu'on a vu en (4) que $v(f_1 y)$ ne peut jamais être de la -forme $v(f_0)$. La valuation $\ord_\heartsuit$ de $f_0 + f_1 y$ est -donc positive si et seulement si $\ord_\heartsuit(f_0) \geq 0$ et -$\ord_\heartsuit(f_1) \geq 3$, sachant que $\ord_\heartsuit(f_0)$ est -\emph{deux fois} la valuation usuelle $\ord_\infty(f_0)$ en l'infini -d'une fraction rationnelle en $x$ : le terme $f_1 y$ ne peut pas être -de valuation nulle en $\heartsuit$, seulement impaire. Bref, -l'évaluation de $f_0 + f_1 y$ en $\heartsuit$ est la valeur de -$f_0(\infty)$ pour l'évaluation usuelle des fractions rationnelles en -l'infini, à condition que $\ord_\infty(f_0) \geq 0$ et -$\ord_\infty(f_1) \geq \frac{3}{2}$ (i.e., $\ord_\infty(f_1) \geq 2$), -et $\infty$ sinon. +se rappelle qu'on a vu en (4) que $\ord_\heartsuit(f_1 y)$ ne peut +jamais être de la forme $\ord_\heartsuit(f_0)$. La valuation +$\ord_\heartsuit$ de $f_0 + f_1 y$ est donc positive si et seulement +si $\ord_\heartsuit(f_0) \geq 0$ et $\ord_\heartsuit(f_1) \geq 3$, +sachant que $\ord_\heartsuit(f_0)$ est \emph{deux fois} la valuation +usuelle $\ord_\infty(f_0)$ en l'infini d'une fraction rationnelle +en $x$ : le terme $f_1 y$ ne peut pas être de valuation nulle +en $\heartsuit$, seulement impaire. Bref, l'évaluation de $f_0 + f_1 +y$ en $\heartsuit$ est la valeur de $f_0(\infty)$ pour l'évaluation +usuelle des fractions rationnelles en l'infini, à condition que +$\ord_\infty(f_0) \geq 0$ et $\ord_\infty(f_1) \geq \frac{3}{2}$ +(i.e., $\ord_\infty(f_1) \geq 2$), et $\infty$ sinon. Le même raisonnement fonctionne pour $g_0 + g_1 x + g_2 x^2$ (les trois termes ont des valuations $\ord_\heartsuit$ congrues @@ -313,6 +318,94 @@ confirme bien que $\heartsuit$ est rationnelle. \emph{On supposera désormais que la condition trouvée en (1) est satisfaite.} +(6) Soit $f_\sharp$ un facteur unitaire irréductible de $f := x^3 + ax ++ b$ dans $k[x]$. Montrer qu'il existe exactement une valuation $v$ +de $K$ au-dessus de $k$ telle que $v(f_\sharp)>0$ : on calculera +$v(y)$ au passage, et on considérera plus généralement la valuation de +$f_0 + f_1 y$ pour $f_0,f_1 \in k(x)$. On notera $\clubsuit$ une +place comme on vient de trouver. + +\begin{corrige} +Soit $w$ une valuation de $K$ au-dessus de $k$ telle que $r := +w(f_\sharp) > 0$. Alors en considérant la décomposition en facteurs +irréductibles d'un élément non nul quelconque de $k(x)$, on voit que +$w|_{k(x)} = r v_{f_\sharp}$ où $v_{f_\sharp}$ est la valuation +de $k(x)$ associée à $f_\sharp$ (i.e., la multiplicité de ce dernier +dans la décomposition en facteurs irréductibles d'un élément). En +particulier, comme $v_{f_\sharp}(f) = 1$ (puisque $f_\sharp$ est un +facteur irréductible de $f$ et qu'il n'apparaît pas plus qu'une fois +d'après l'hypothèse, trouvée en (1), que $f$ est séparable), on a +$w(f) = r$, et par conséquent $w(y) = \frac{1}{2}r$. + +Comme $w(f_1 y) = \frac{1}{2}r + w(f_1)$ n'est pas un multiple entier +de $r$ donc pas égal à la valuation d'un élément de $k(x)$, la +valuation de $f_0 + f_1 y$ est complètement déterminée (la valuation +d'une somme dont les termes sont de valuations \emph{différentes} est +le plus petit des valuations des termes). Bref, on a complètement +caractérisé $w$, à la donnée de $r$ près. Mais puisque l'image de $w$ +doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de normalisation), +on a forcément $r = 2$, c'est-à-dire $w(f_\sharp) = 2$ et $w(y) = 1$. + +Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit +en le vérifiant à la main ; soit en invoquant le théorème d'existence +des valuations appliqué à l'anneau $k[x,y]$ des polynômes en $x,y$, de +corps des fractions $K$, et à son idéal premier engendré +par $h,f_\sharp$, pour affirmer que $K$ doit avoir une valuation +positive sur $k[x,y]$ et strictement positive en $f_\sharp$ ; soit, +tout simplement, en se rappelant que $f_\sharp$ doit avoir un zéro +quelque part, c'est-à-dire qu'il doit exister une valuation telle +que $v(f_\sharp)>0$). +\end{corrige} + +\smallbreak + +(7) Décrire l'anneau de valuation $\mathcal{O}_\clubsuit$ de la place +$\clubsuit$ associée en (6) à un facteur irréductible $f_\sharp$ +de $f$ ? Expliquer quel est le corps résiduel $\varkappa_\clubsuit$ +et comment voir concrètement l'évaluation en $\clubsuit$ d'un élément +de $K$ représenté comme $f_0 + f_1 y$. Quel est le degré +de $\clubsuit$ ? + +\begin{corrige} +On se rappelle qu'on a vu en (6) que $\ord_\clubsuit(f_1 y)$ ne peut +jamais être de la forme $\ord_\clubsuit(f_0)$. La valuation +$\ord_\clubsuit$ de $f_0 + f_1 y$ est donc positive si et seulement si +$\ord_\clubsuit(f_0) \geq 0$ et $\ord_\clubsuit(f_1) \geq -1$, sachant +que $\ord_\clubsuit(f_0)$ est \emph{deux fois} l'exposant +$\ord_{(f_\sharp)}(f_0)$ de la multiplicité de $f_\sharp$ dans la +décomposition de $f$ en irréductibles : bref, l'anneau de valuation +$\mathcal{O}_\clubsuit$ est l'ensemble des $f_0 + f_1 y$ telles que +$\ord_{(f_\sharp)}(f_0) \geq 0$ et $\ord_{(f_\sharp)}(f_1) \geq +-\frac{1}{2}$ (i.e., $\ord_{(f_\sharp)}(f_1) \geq 0$) ; on notera que +cet anneau contient $A = k[x,y]/(h)$ (puisqu'il contient [les classes + de] $x$ et $y$, qui engendrent $A$). L'idéal maximal +$\mathfrak{m}_\clubsuit$ est formé des $f_0 + f_1 y$ telles que +$\ord_{(f_\sharp)}(f_0) > 0$ et toujours $\ord_{(f_\sharp)}(f_1) \geq 0$. + +On a un morphisme $A/(f_\sharp,y) \to \varkappa_\clubsuit$ défini par +l'inclusion $A \to \mathcal{O}_\clubsuit$ en remarquant que $f_\sharp$ +et $y$ sont tous deux dans $\mathfrak{m}_\clubsuit$ (c'est-à-dire +qu'ils sont dans le noyau du morphisme $A \to +\mathcal{O}_\clubsuit/\mathfrak{m}_\clubsuit = \varkappa_\clubsuit$). +Or $A/(f_\sharp,y) = k[x,y]/(h,f_\sharp,y) = k[x]/(f_\sharp)$ est le +corps de rupture de $f_\sharp$. Vu que c'est un corps, le morphisme +est injectif. Mais il est aussi surjectif car tout élément de +$\mathcal{O}_\clubsuit$ se représente, modulo $f_\sharp$ et $y$, par +un élément de $A$ : concrètement, si $\ord_{(f_\sharp)}(f_0) \geq 0$, +on peut voir $f_0$ dans $k[x]/(f_\sharp)$ (c'est-à-dire le reste de la +division euclidienne si $f_0 \in k[x]$, et sinon, on écrit une +relation de Bézout entre le dénominateur de $f_0$ et $f_\sharp$), et +c'est l'image recherchée. + +Le corps résiduel $\varkappa_\clubsuit$ est donc $k[x]/(f_\sharp)$, et +l'évaluation de $f_0 + f_1 y$ en $\clubsuit$ est la valeur de $f_0$ +modulo $f_\sharp$ (quitte à écrire une relation de Bézout avec le +dénominateur), à condition que $\ord_\infty(f_0) \geq 0$ et +$\ord_\infty(f_1) \geq 0$, et $\infty$ sinon. + +En particulier, le degré de $\clubsuit$ est le degré de $f_\sharp$. +\end{corrige} + % |