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diff --git a/controle-20190403.tex b/controle-20190403.tex index b0f1c1a..f11e247 100644 --- a/controle-20190403.tex +++ b/controle-20190403.tex @@ -49,7 +49,7 @@ % \newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em} \newif\ifcorrige -\corrigefalse +\corrigetrue \newenvironment{corrige}% {\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% \smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} @@ -75,7 +75,16 @@ \noindent\textbf{Consignes.} -\textcolor{red}{À remplir.} +Ce contrôle est formé d'un unique exercice. Les questions dépendent +parfois les unes des autres, mais elles ont été formulées de manière à +ce que le fait de ne pas savoir répondre à l'une d'elles ne bloque pas +toute la suite. + +La difficulté des questions étant inégale, il vaut mieux ne pas rester +bloqué trop longtemps. + +Si on ne sait pas répondre rigoureusement, une réponse informelle peut +valoir une partie des points. \medbreak @@ -88,6 +97,12 @@ L'usage des appareils électroniques est interdit. Durée : 2h +\ifcorrige +Ce corrigé comporte 6 pages (page de garde incluse) +\else +Cet énoncé comporte 3 pages (page de garde incluse) +\fi + \vfill {\noindent\tiny \immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex} @@ -107,7 +122,7 @@ pourra librement diviser par $2$), dont on notera $k^{\alg}$ la clôture algébrique. On va s'intéresser à la variété algébrique (affine) $C := -\{(x^2+y^2)^2 = (x^2-y^2)\} \subseteq \mathbb{A}^2$, dite « lemniscate +\{(x^2+y^2)^2 = x^2-y^2\} \subseteq \mathbb{A}^2$, dite « lemniscate de Bernoulli », définie dans le plan affine $\mathbb{A}^2$ de coordonnées $(x,y)$ par le polynôme $h := (x^2+y^2)^2 - (x^2-y^2)$. Autrement dit, $C$ est l'ensemble des points $(x,y)$ à coordonnées @@ -123,32 +138,64 @@ l'équation de l'adhérence $\overline{C}$ de $C$ dans $\mathbb{P}^2$ (= « projectivisée » de $C$). On rappelle qu'on attend une équation homogène en $Z,X,Y$. +\begin{corrige} +Il s'agit d'homogénéiser $h = (x^2+y^2)^2 - (x^2-y^2)$, ce qui donne +$h^\sharp = (X^2+Y^2)^2 - Z^2(X^2-Y^2)$. L'équation de $\overline{C}$ +est donc : $(X^2+Y^2)^2 = Z^2(X^2-Y^2)$. +\end{corrige} + \smallskip \leavevmode\hphantom{(1)}(b) Quels sont les points (géométriques) d'intersection de $\overline{C}$ avec la droite $\{Z=0\}$ de $\mathbb{P}^2$ (« droite à l'infini ») ? On pourra appeler -$\{\xi,-\xi\}$ les racines du polynôme $1+t^2 \in k[t]$ +$\{\sqrt{-1},-\sqrt{-1}\}$ les racines du polynôme $1+t^2 \in k[t]$ dans $k^{\alg}$. +\begin{corrige} +L'intersection de $\{(X^2+Y^2)^2 = Z^2(X^2-Y^2)\}$ avec $\{Z=0\}$ est +$\{(X^2+Y^2)^2 = 0\}$, ce qui revient à $\{X^2+Y^2 = 0\}$ pour avoir +une équation réduite dans $\mathbb{P}^1$ de coordonnées $(X{:}Y)$. En +notant $\sqrt{-1}$ une racine primitive quatrième de l'unité comme +suggéré, $X^2+Y^2 = (X+\sqrt{-1}\, Y)(X-\sqrt{-1}\, Y)$, si bien que +les points (géométriques) de $\{X^2+Y^2 = 0\}$ dans $\mathbb{P}^1$ +sont $(1{:}\sqrt{-1})$ et $(1{:}{-\sqrt{-1}})$, ou, dans +$\mathbb{P}^2$ sur $\{Z=0\}$, les points $(0\,{:}\,\sqrt{-1}\,{:}1)$ +et $(0\,{:}\,{-\sqrt{-1}}\,{:}\,1)$ (ce sont les « points cycliques à +l'infini »). +\end{corrige} + \smallskip \leavevmode\hphantom{(1)}(c) Quelle est l'équation de l'intersection de $\overline{C}$ avec $\{Y \neq 0\}$, lui aussi identifié à un plan -affine $\mathbb{A}^{2\prime}$ ? On notera $(u,v)$ les coordonnées sur -$\mathbb{A}^{2\prime}$ identifié à $\{Y \neq 0\}$ par $(u,v) \mapsto -(v{:}1{:}u)$ (on rappelle que les coordonnées de $\mathbb{P}^2$ sont -écrites dans l'ordre $(Z{:}X{:}Y)$). +affine $\mathbb{A}^{2\prime}$ ? On notera $(w,u)$ les coordonnées sur +$\mathbb{A}^{2\prime}$ identifié à $\{Y \neq 0\}$ par $(w,u) \mapsto +(w{:}u{:}1)$ (on rappelle que les coordonnées de $\mathbb{P}^2$ sont +écrites dans l'ordre $(Z{:}X{:}Y)$, ce qui explique la notation un peu +curieuse). Préciser comment les points trouvés en (1)(b) se voient +dans $\mathbb{A}^{2\prime}$. + +\begin{corrige} +L'intersection de $\{(X^2+Y^2)^2 = Z^2(X^2-Y^2)\}$ avec $\{Y\neq 0\}$ +s'obtient en déshomogénéisant l'équation par rapport à $Y$, ce qui +donne $(u^2+1)^2 = w^2(u^2-1)$ en notant $u = X/Y$ et $w = Z/Y$ comme +suggéré par l'énoncé. + +Les points $(0\,{:}\,\sqrt{-1}\,{:}1)$ et +$(0\,{:}\,{-\sqrt{-1}}\,{:}\,1)$ se voient maintenant comme les points +$(w,u)$ de coordonnées $(0,\sqrt{-1})$ et $(0,-\sqrt{-1})$. +\end{corrige} \medskip (2) On rappelle que l'espace vectoriel tangent à $\{h=0\}$ en un de -ses points $(x_0,y_0)$ est l'espace vectoriel des $(u,v)$ tels que -$\left.\frac{\partial h}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}\cdot u = 0$ et -$\left.\frac{\partial h}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}\cdot v = 0$ -(on peut, si on le souhaite, le translater de $(x_0,y_0)$ de façon à -le voir comme un sous-espace affine de $\mathbb{A}^2$ passant par le -point de tangence). +ses points $(x_0,y_0)$ est l'espace vectoriel des $(v_x, v_y)$ tels +que $\left.\frac{\partial h}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}\cdot v_x = +0$ et $\left.\frac{\partial h}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}\cdot v_y += 0$ (on peut, si on le souhaite, le translater de $(x_0,y_0)$ de +façon à le voir comme un sous-espace affine de $\mathbb{A}^2$ passant +par le point de tangence). \smallskip @@ -156,19 +203,56 @@ point de tangence). h}{\partial x}$ et $h'_y := \frac{\partial h}{\partial y}$ (on cherchera à factoriser l'écriture). +\begin{corrige} +On trouve $h'_x = 2x(2x^2+2y^2-1)$ et $h'_y = 2y(2x^2+2y^2+1)$. +\end{corrige} + \smallskip \leavevmode\hphantom{(2)}(b) Déterminer l'espace tangent à $C$ en $(0,0)$. Quelle est sa dimension ? +\begin{corrige} +En $(0,0)$, on a $h'_x = 0$ et $h'_y = 0$, de sorte que l'espace +tangent est de dimension $2$. +\end{corrige} + \smallskip \leavevmode\hphantom{(2)}(c) En étudiant chacun des quatre cas selon que $x_0 = 0$ ou $x_0 \neq 0$ d'une part, et que $y_0 = 0$ ou $y_0 -\neq 0$ d'autre part, déterminer tous les points (géométriques) de $C$ -tels que $h'_x$ et $h'_y$ s'annulent. Un tel point est dit -« singulier ». (On rappelle aux distraits qu'on s'intéresse à des -points de $C$, c'est-à-dire, qui annulent aussi $h$ lui-même.) +\neq 0$ d'autre part, déterminer tous les points (géométriques) +$(x_0,y_0)$ de $C$ tels que $h'_x$ et $h'_y$ s'annulent. Un tel point +est dit « singulier ». + +(On rappelle aux distraits qu'on s'intéresse à des points de $C$, +c'est-à-dire, qui annulent aussi $h$ lui-même : on cherche à +déterminer tous les points $(x_0,y_0)$ où $h(x_0,y_0)$, +$h'_x(x_0,y_0)$ et $h'_y(x_0,y_0)$ s'annulent simultanément.) + +\begin{corrige} +On cherche à déterminer tous les points $(x_0,y_0)$ où $h(x_0,y_0)$, +$h'_x(x_0,y_0)$ et $h'_y(x_0,y_0)$ s'annulent simultanément : +\begin{itemize} +\item Si $x_0 = 0$ et $y_0 = 0$, qui est bien sur $C$, on observé + en (2)(b) que $h'_x$ et $h'_y$ s'annulent, donc il s'agit d'un point + singulier. +\item Si $x_0 \neq 0$ et $y_0 = 0$, on doit annuler $h(x_0,0) = x_0^4 + - x_0^2 = x_0^2(x_0^2 - 1)$ donc $x_0^2 - 1$ donc $x_0 = \pm 1$, + mais alors $h'_x(x_0,0) = \pm 2$ ne s'annule pas. Il n'y a donc pas + de tel point singulier. +\item Si $x_0 = 0$ et $y_0 \neq 0$, on doit annuler $h(0,y_0) = y_0^4 + + y_0^2 = y_0^2(y_0^2 + 1)$ donc $y_0^2 + 1$ donc $y_0 = + \pm\sqrt{-1}$, mais alors $h'_y(0,y_0) = \mp 2\sqrt{-1}$ ne s'annule + pas. Il n'y a donc pas de tel point singulier. +\item Si $x_0 \neq 0$ et $y_0 \neq 0$, l'annulation simultanée de + $h'_x$ et $h'_y$ demande celle de $2x_0^2 + 2y_0^2 - 1$ et de + $2x_0^2 + 2y_0^2 + 1$, ce qui est manifestement impossible. Il n'y + a donc pas de tel point singulier. +\end{itemize} +Bref, le seul point singulier dans $\mathbb{A}^2$ est en $(x_0,y_0) = +(0,0)$. +\end{corrige} \smallskip @@ -177,6 +261,18 @@ en (1)(c), déterminer si les points « à l'infini » trouvés en (1)(b) sont singuliers. Récapituler tous les point singuliers de $\overline{C}$. +\begin{corrige} +On a trouvé $(u^2+1)^2 = w^2(u^2-1)$ comme équation de $\overline C +\cap \mathbb{A}^{2\prime}$. Les dérivées de $(u^2+1)^2 - w^2(u^2-1)$ +par rapport à $w$ et $u$ donnent respectivement $-2 w (u-1)(u+1)$ et +$-2 u (w^2 - 2u^2 -2)$, et en en y substituant $w_0=0$ et $u_0 = +\pm\sqrt{-1}$, on trouve $0$ dans les deux cas. Donc les points +$(w_0,u_0)$ en question sont singuliers. + +Finalement, les points singuliers de $\overline{C}$ sont $(1{:}0{:}0)$ +et $(0\,{:}\,\sqrt{-1}\,{:}1)$ et $(0\,{:}\,{-\sqrt{-1}}\,{:}\,1)$. +\end{corrige} + \medskip (3) On s'intéresse maintenant à $D_\tau$ dans $\mathbb{A}^2$ défini @@ -192,6 +288,13 @@ $D_\tau$ du point de vue de la géométrie euclidienne élémentaire ? (y-y_c)^2 = \rho^2$ où $x_c,y_c,\rho$ sont des réels dont on donnera la valeur en fonction de $\tau$.) +\begin{corrige} +En écrivant $f_\tau = (x-\frac{\tau}{2})^2 + (y+\frac{\tau}{2})^2 - +\frac{\tau^2}{2}$, on voit que $D_\tau$ est le cercle de centre +$(\frac{\tau}{2}, -\frac{\tau}{2})$ et de +rayon $\frac{|\tau|}{\sqrt{2}}$. +\end{corrige} + \smallskip \leavevmode\hphantom{(3)}(b) On s'intéresse à un point $(x,y)$ à @@ -204,6 +307,20 @@ observant que $x-y \neq 0$ (ce qu'on justifiera), montrer que [le (\tau^2+1) y = (\tau^2-1) x \] +\begin{corrige} +Si on a à la fois $(x^2+y^2)^2 = x^2-y^2$ et $x^2+y^2 = \tau(x-y)$, on +a $(x^2-y^2) = \tau^2(x-y)^2$, c'est-à-dire $(x-y)((x+y)-\tau^2(x-y)) += 0$ ou encore $(x-y)((\tau^2+1)y-(\tau^2-1)x) = 0$. + +Maintenant, doit point d'intersection de $C$ et de la droite $x=y$ +vérifie $(2x^2)^2 = 0$ donc $x = 0$ et du coup $y = 0$ aussi ; par +contraposée, un point de $C$ autre que $(0,0)$ vérifie $x\neq y$, +c'est-à-dire $x-y \neq 0$. + +Bref, un point de $C$ et $D_\tau$ autre que $(0,0)$ vérifie +$(\tau^2+1)y-(\tau^2-1)x = 0$, comme annoncé. +\end{corrige} + \smallskip \leavevmode\hphantom{(3)}(c) Toujours dans les conditions de la @@ -215,8 +332,20 @@ x = \frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1} y = \frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1} \tag{*} \] -(On pourra remplacer dans $f_\tau$ la valeur de $y$ découlant de -l'équation trouvée en (3)(b), et factoriser.) +(On pourra remplacer dans $f_\tau = 0$ la valeur de $y$ en fonction de +$x$ et $\tau$ découlant de l'équation trouvée en (3)(b), et +factoriser.) + +\begin{corrige} +Lorsque $\tau^2 + 1 \neq 0$, on trouve $y = \frac{\tau^2-1}{\tau^2+1} +x$. En substituant cette valeur dans $f_\tau$, on trouve $2 x +\frac{\tau^4 x - \tau^3 + x - \tau}{(\tau^2 +1)^2}$, et l'annulation +de $f_\tau$ (puisque $x \neq 0$ vu que le seul point de $C$ sur $x=0$ +est $(0,0)$) impose donc $\tau^4 x - \tau^3 + x - \tau = 0$, +c'est-à-dire $x = \frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}$. En substituant +$y = \frac{\tau^2-1}{\tau^2+1} x$, on obtient $y = +\frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1}$, comme annoncé. +\end{corrige} \medskip @@ -234,6 +363,14 @@ calcul faut-il faire pour vérifier qu'on a en fait affaire à un morphisme $V \to C$ ? (On ne demande pas de le faire mais d'expliquer ce qu'il faudrait faire.) +\begin{corrige} +L'ouvert $V$ est $\{\tau^4 + 1 \neq 0\}$, domaine de définition des +fractions rationnelles définissant le morphisme. Pour vérifier que le +morphisme tombe ien dans $C$, il s'agit de vérifier que +$h\big(\frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}\,,\, +\frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1}\big) = 0$ (ce qui est bien le cas). +\end{corrige} + \smallskip \leavevmode\hphantom{(4)}(b) Décrire le prolongement du morphisme $V @@ -244,6 +381,24 @@ point $(t_0{:}t_1)$ de $\mathbb{P}^1$ par ce morphisme. (Bien sûr, $\mathbb{A}^1$ est identifié à l'ouvert $\{t_0\neq 0\}$ de $\mathbb{P}^1$ par $\tau \mapsto (1{:}\tau)$.) +\begin{corrige} +Le point $\big(\frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}\,,\; +\frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1}\big)$ de $\mathbb{A}^2$ est le point +$(\tau^4+1 : \tau\,(\tau^2+1) : \tau\,(\tau^2-1))$ de $\mathbb{P}^2$ +(les coordonnées étant, comme d'habitude, dans l'ordre $(Z{:}X{:}Y)$). +En identifiant $\mathbb{A}^1$ à l'ouvert $\{t_0\neq 0\}$ +de $\mathbb{P}^1$, on obtient, en homogénéisant, $\psi \colon (t_0 : +t_1) \mapsto (t_1^4+t_0^4 : t_0 t_1 \,(t_1^2+t_0^2) : t_0 +t_1\,(t_1^2-t_0^2))$. On vérifie facilement que les trois coordonnées +de ce morphisme ne peuvent jamais s'annuler simultanément (sauf si +$t_0$ et $t_1$ s'annulent, ce qui est exclu sur $\mathbb{P}^1$), donc +on a bien défini un morphisme $\mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^2$, qui +tombe dans $\overline{C}$ car les coordonnées $(Z{:}X{:}Y)$ qu'on +vient de dire vérifient l'équation $(X^2+Y^2)^2 = Z^2(X^2-Y^2)$ +trouvée en (1)(a) (c'est la même vérification que (4)(a) une fois +chassés les dénominateurs). +\end{corrige} + \smallskip \leavevmode\hphantom{(4)}(c) Quelles sont les images par $\psi$ des @@ -251,12 +406,61 @@ points $0$ et $\infty$ (c'est-à-dire respectivement $(1{:}0)$ et $(0{:}1)$) de $\mathbb{P}^1$ ? En déduire que $\psi$ n'est pas un isomorphisme. +\begin{corrige} +La valeur $\psi(0)$ peut se calculer directement à partir de la +description affine $\tau \mapsto +\big(\frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}\,,\; +\frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1}\big)$ et on trouve $(0,0)$. On peut +bien sûr aussi substituer $t_0 = 1$ et $t_1 = 0$ dans $(t_1^4+t_0^4 : +t_0 t_1 \,(t_1^2+t_0^2) : t_0 t_1\,(t_1^2-t_0^2))$, ce qui donne +(heureusement !) le même résultat. + +La valeur $\psi(\infty)$ s'obtient en substituant $t_0 = 0$ et $t_1 = +1$ dans $(t_1^4+t_0^4 : t_0 t_1 \,(t_1^2+t_0^2) : t_0 +t_1\,(t_1^2-t_0^2))$, ce qui donne le même point $(1{:}0{:}0)$, +origine de $\mathbb{A}^2$. + +Le point en question étant parcouru deux fois par le paramétrage, +$\psi$ n'est pas bijective, donc n'est pas un isomorphisme. +\end{corrige} + \smallskip \leavevmode\hphantom{(4)}(d) En utilisant la paramétrisation qu'on a trouvée, énumérer un maximum de points rationnels de $C$ et de $\overline{C}$ sur le corps fini $\mathbb{F}_5 = -\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ à cinq éléments. +\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ à cinq éléments. Qu'en est-il des points +trouvés en (1)(b) ? + +\begin{corrige} +En substituant les six points ($(0{:}1)$ et $(1{:}i)$ pour +$i\in\{0,1,2,3,4\}$) de $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_5}$ dans $\psi +\colon (t_0 : t_1) \mapsto (t_1^4+t_0^4 : t_0 t_1 \,(t_1^2+t_0^2) : +t_0 t_1\,(t_1^2-t_0^2))$, on obtient les points $(0,0)$ (deux fois), +$(1, 0)$, $(0, 2)$, $(0, 3)$, $(4, 0)$, tous dans $\mathbb{A}^2$ +(c'est-à-dire $(1{:}0{:}0)$, $(1{:}1{:}0)$, $(1{:}0{:}2)$, +$(1{:}0{:}3)$, $(1{:}4{:}0)$ dans $\mathbb{P}^2$). (Pour simplifier +les calculs à la main, il est bien sûr préférable d'écrire $4$ +comme $-1$ et $3$ comme $-2$.) + +Les points singuliers à l'infini $(0\,{:}\,\sqrt{-1}\,{:}1)$ et +$(0\,{:}\,{-\sqrt{-1}}\,{:}\,1)$, c'est-à-dire, sur $\mathbb{F}_5$, +$(0{:}2{:}1)$ et $(0{:}3{:}1)$, n'ont pas été atteints par le +paramétrage sur des points rationnels de $\mathbb{P}^1$. (On les +obtient, chacun deux fois, en $(1{:}\tau)$ pour $\tau$ valant une des +racines de $2$ ou $3$ dans $\mathbb{F}_{25}$, c'est-à-dire une des +racines quatrièmes de $-1$ dans $\mathbb{F}_5$.) +\end{corrige} + +\medskip + +(5) Tracer l'allure de la courbe $C$ dans le cas $k = \mathbb{R}$. + +\begin{corrige} +On obtient une figure à l'allure de $8$ couché (c'est-à-dire, +symbole $\infty$) avec le point double en $(0,0)$ (et des points ayant +tangente verticale en $(-1,0)$ et $(1,0)$). +\end{corrige} |