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diff --git a/notes-accq205-v2.tex b/notes-accq205-v2.tex index 109f87c..ee24269 100644 --- a/notes-accq205-v2.tex +++ b/notes-accq205-v2.tex @@ -907,7 +907,7 @@ $f(x_1,\ldots,x_d)$. On dit que $x$ est un zéro de $f$ lorsque $f(x) = 0$. % -\subsection{Correspondance entre fermés de Zariski et idéaux} +\subsection{Correspondance entre fermés de Zariski et idéaux}\label{subsection-zariski-closed-sets-and-ideals} \textbf{Comment associer une partie de $k^d$ à un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ ?} @@ -918,9 +918,9 @@ définit un ensemble $Z(\mathscr{F}) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in k^d autrement dit, l'ensemble des zéros communs à tous les éléments de $\mathscr{F}$. -Lorsque $\mathscr{F}$ est un ensemble fini $\{f_1,\ldots,f_m\}$, on -note simplement $Z(f_1,\ldots,f_m)$ cet ensemble de zéros communs à -$f_1,\ldots,f_m$. +Lorsque $\mathscr{F}$ est un ensemble fini $\{f_1,\ldots,f_r\}$, on +note simplement $Z(f_1,\ldots,f_r)$ cet ensemble de zéros communs à +$f_1,\ldots,f_r$. \thingy\label{trivial-remarks-on-z} Remarques évidentes : si $\mathscr{F} \subseteq \mathscr{F}'$ alors $Z(\mathscr{F}) \supseteq @@ -1068,7 +1068,7 @@ proposition qu'on vient de voir, c'est un résultat qui a un vrai contenu mathématique. % -\subsection{Le Nullstellensatz} +\subsection{Le Nullstellensatz}\label{subsection-nullstellensatz} \thingy De l'allemand « der Satz » = la phrase, le théorème mathématique, « die Stelle » = l'endroit, et « die Nullstelle » = le @@ -1152,24 +1152,24 @@ $Z(I) \neq \varnothing$. \end{proof} On peut aussi reformuler ce résultat de la façon suivante : remarquons -au préalable que si $f_1,\ldots,f_m$ et $g_1,\ldots,g_m$ sont des -polynômes en $d$ variables tels que $g_1 f_1 + \cdots + g_m f_m = 1$, -alors $f_1,\ldots,f_m$ n'ont aucun zéro commun (car en un tel zéro le +au préalable que si $f_1,\ldots,f_r$ et $g_1,\ldots,g_r$ sont des +polynômes en $d$ variables tels que $g_1 f_1 + \cdots + g_r f_r = 1$, +alors $f_1,\ldots,f_r$ n'ont aucun zéro commun (car en un tel zéro le membre de gauche de l'égalité s'annulerait, mais le membre de droite y vaut $1$). \begin{prop}[Nullstellensatz faible]\label{weak-nullstellensatz-finite-rewording} -Soit $k$ un corps algé\-bri\-que\-ment clos. Si $f_1,\ldots,f_m \in +Soit $k$ un corps algé\-bri\-que\-ment clos. Si $f_1,\ldots,f_r \in k[t_1,\ldots,t_d]$ sont des polynômes en $d$ variables sans zéro -commun, c'est-à-dire si $Z(f_1,\ldots,f_m) = \varnothing$, alors il -existe $g_1,\ldots,g_m \in k[t_1,\ldots,t_d]$ tels que $g_1 f_1 + -\cdots + g_m f_m = 1$, c'est-à-dire que $f_1,\ldots,f_m$ engendrent +commun, c'est-à-dire si $Z(f_1,\ldots,f_r) = \varnothing$, alors il +existe $g_1,\ldots,g_r \in k[t_1,\ldots,t_d]$ tels que $g_1 f_1 + +\cdots + g_r f_r = 1$, c'est-à-dire que $f_1,\ldots,f_r$ engendrent l'idéal unité. \end{prop} \begin{proof} -Soit $I$ l'idéal engendré par $f_1,\ldots,f_m$ : comme $Z(I) = -Z(f_1,\ldots,f_m)$ (cf. \ref{trivial-remarks-on-z}), la -proposition \ref{weak-nullstellensatz} montre que $Z(f_1,\ldots,f_m) = +Soit $I$ l'idéal engendré par $f_1,\ldots,f_r$ : comme $Z(I) = +Z(f_1,\ldots,f_r)$ (cf. \ref{trivial-remarks-on-z}), la +proposition \ref{weak-nullstellensatz} montre que $Z(f_1,\ldots,f_r) = \varnothing$ implique que $I$ contient $1$, ce qui est bien la conclusion annoncée. \end{proof} @@ -1220,11 +1220,11 @@ prouver. \thingy La moralité du Nullstellensatz est que (sur un corps algébriquement clos !) on peut « essentiellement » retrouver des -équations polynomiales $f_1,\ldots,f_m$ à partir du lieu -$Z(f_1,\ldots,f_m)$ de leurs solutions (le fermé de Zariski qu'elles +équations polynomiales $f_1,\ldots,f_r$ à partir du lieu +$Z(f_1,\ldots,f_r)$ de leurs solutions (le fermé de Zariski qu'elles définissent) : le « essentiellement » signifie que, à défaut de -retrouver $f_1,\ldots,f_m$ eux-mêmes, on retrouve l'idéal radical -qu'ils engendrent (si $f_1,\ldots,f_m$ engendrent un idéal radical, on +retrouver $f_1,\ldots,f_r$ eux-mêmes, on retrouve l'idéal radical +qu'ils engendrent (si $f_1,\ldots,f_r$ engendrent un idéal radical, on retrouve l'idéal en question). On peut maintenant utiliser le Nullstellensatz pour @@ -1243,6 +1243,38 @@ $k[t_1,\ldots,t_d]$ (ils ont tous pour quotient $k$). \end{scho} % +\subsection{Ouverts de Zariski et ouverts relatifs} + +\thingy Un \defin{ouvert de Zariski} de $k^d$ est par définition le +complémentaire d'un fermé de Zariski. De façon équivalente, si on +note $D(f) := \{x \in k^d :\penalty0 f(x) \neq 0\}$, un ouvert de +Zariski est un ensemble de la forme $D(f_1) \cap \cdots \cap D(f_r)$ +(en effet, tout idéal $I$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ est engendré par un +nombre fini d'éléments $f_1,\ldots,f_r$, et le complémentaire de $Z(I) += Z(f_1,\ldots,f_r)$ est alors $D(f_1) \cup \cdots \cup D(f_r)$). + +Les propriétés vues sur les fermés de Zariski +(cf. \ref{basic-facts-on-zariski-closed-sets}) montrent, par passage +au complémentaire que : (i) $\varnothing$ et $k^d$ sont des ouverts de +Zariski, (ii) une réunion quelconque d'ouverts de Zariski est un +ouvert de Zariski, et (iii) une intersection finie d'ouverts de +Zariski est un ouvert de Zariski. Ces propriétés sont constitutives +de la notion de « topologie », et on appellera \defin{topologie de + Zariski} l'ensemble de tous les ouverts de Zariski. + +\thingy\label{relative-closed-and-open-sets} Si $X$ est une variété +algébrique affine sur $k$ (= un fermé de Zariski dans $k^d$), on +appelle \defin[fermé de Zariski]{fermé} ou \defin{ouvert de Zariski} +\emph{de $X$} l'intersection de $X$ avec un fermé ou ouvert de Zariski +de $k^d$. (Cette définition générale porte le nom de \emph{topologie + induite} sur $X$ par la topologie de Zariski de $k^d$.) + +Ainsi, un fermé de Zariski de $X$ est simplement un fermé de Zariski +inclus dans $X$, tandis qu'un ouvert de Zariski de $X$ est un ensemble +de la forme $X \cap (D(f_1) \cup \cdots \cup D(f_r))$. On parlera +parfois d'ouvert \emph{relatif} dans $X$. + +% \subsection{Fermés irréductibles et idéaux premiers} \thingy On dit qu'un fermé de Zariski $E \subseteq k^d$ non vide est @@ -1298,42 +1330,63 @@ Ceci montre bien que $\mathfrak{I}(E)$ est premier. \subsection{L'anneau d'un fermé de Zariski : fonctions régulières} \thingy On suppose toujours que $k$ est algébriquement clos. -Considérons $I \subseteq k[t_1,\ldots,t_d]$ un idéal radical et $E = +Considérons $I \subseteq k[t_1,\ldots,t_d]$ un idéal radical et $X = Z(I)$ le fermé de Zariski qu'il définit. On rappelle que $I = -\mathfrak{I}(E)$ par le Nullstellensatz, c'est-à-dire qu'un polynôme -$f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ s'annule identiquement sur $E$ si et +\mathfrak{I}(X)$ par le Nullstellensatz, c'est-à-dire qu'un polynôme +$f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ s'annule identiquement sur $X$ si et seulement si il est dans $I$. Considérons maintenant le morphisme $\Psi\colon k[t_1,\ldots,t_d] \to -k^E$ (où $k^E$ désigne la $k$-algèbre de toutes les fonctions $E \to +k^X$ (où $k^X$ désigne la $k$-algèbre de toutes les fonctions $X \to k$) qui à un polynôme $f\in k[t_1,\ldots,t_d]$ associe la fonction -polynomiale correspondante sur $E$, c'est-à-dire l'application -$\Psi(f)\colon E \to k$ donnée par $x \mapsto f(x)$. D'après ce qui +polynomiale correspondante sur $X$, c'est-à-dire l'application +$\Psi(f)\colon X \to k$ donnée par $x \mapsto f(x)$. D'après ce qui vient d'être dit, le noyau de ce morphisme $\Psi$ est $I$. Par conséquent (cf. \ref{review-of-canonical-factorization}), l'image de $\Psi$ s'identifie à $k[t_1,\ldots,t_d]/I$. L'image de $\Psi$ est -par définition l'ensemble des fonctions polynomiales sur $E$ : ce qui +par définition l'ensemble des fonctions polynomiales sur $X$ : ce qui vient d'être dit est que la fonction polynomiale $\Psi(f)$ définie par $f\in k[t_1,\ldots,t_d]$ ne dépend que de la classe de $f$ modulo $I$. L'anneau $k[t_1,\ldots,t_d]/I$ s'appellera \defin[régulières (fonctions)]{anneau des fonctions régulières} du fermé de -Zariski $E$. Comme on vient de le signaler, ses éléments peuvent -s'identifier aux restrictions à $E$ des fonctions polynomiales -sur $k^d$. On le notera $\mathcal{O}(E)$. +Zariski $X$. Comme on vient de le signaler, ses éléments peuvent +s'identifier aux restrictions à $X$ des fonctions polynomiales +sur $k^d$. On le notera $\mathcal{O}(X)$. -Par construction, $\mathcal{O}(E)$ est une $k$-algèbre de type +Par construction, $\mathcal{O}(X)$ est une $k$-algèbre de type fini (cf. \ref{finite-type-algebras-as-quotients-of-polynomial-rings}), donc un anneau noethérien (cf. \ref{finite-type-algebras-are-noetherian}) ; par construction, elle est un anneau \emph{réduit} (puisque $I$ est supposé un idéal -radical) ; elle est un anneau \emph{intègre} si et seulement si $E$ +radical) ; elle est un anneau \emph{intègre} si et seulement si $X$ est irréductible (cf. \ref{closed-irreducible-iff-prime-ideal}) ; et -elle est un \emph{corps} si et seulement si $E$ est un singleton +elle est un \emph{corps} si et seulement si $X$ est un singleton (cf. \ref{maximal-ideals-of-polynomial-algebras}), auquel cas c'est simplement $k$. +\thingy On pourrait refaire une version « relative » des constructions +qui ont été faites sur les polynômes : si $\mathscr{F} \subseteq +\mathcal{O}(X)$ est un ensemble de fonctions régulières sur $X$, on +peut appeler $Z(\mathscr{F})$ l'ensemble de leurs zéros communs, et si +$E \subseteq X$, on peut appeler $\mathfrak{I}_X(E)$ l'ensemble des +fonctions régulières sur $X$ qui s'y annulent (c'est simplement +l'idéal de $\mathcal{O}(X)$ qui correspond à l'idéal $\mathfrak{I}(E)$ +de $k[t_1,\ldots,t_d]$, cf. \ref{recollections-on-ideals}) ; alors +essentiellement tout ce qui a été dit dans les sctions +\ref{subsection-zariski-closed-sets-and-ideals} +et \ref{subsection-nullstellensatz} vaut encore \textit{mutatis + mutandis} : les fonctions $Z$ et $\mathfrak{I}_X$ définissent des +bijections réciproques, décroissantes pour l'inclusion, entre les +idéaux radicaux de $\mathcal{O}(X)$ d'une part, et les fermés de +Zariski de $X$ (cf. \ref{relative-closed-and-open-sets}) d'autre part. +(De plus, si $Y = Z(J)$ est un fermé de Zariski de $X$ défini par un +idéal radical $J$ de $\mathcal{O}(X)$, alors $\mathcal{O}(Y) = +\mathcal{O}(X)/J$, cf. \ref{recollections-on-ideals}.) Tout ceci est +purement formel, l'intérêt est surtout de se convaincre que les +fonctions régulières se comportent bien comme des polynômes. + % |