diff options
| -rw-r--r-- | exercices-courbes.tex | 179 |
1 files changed, 121 insertions, 58 deletions
diff --git a/exercices-courbes.tex b/exercices-courbes.tex index 2916c1d..19d2611 100644 --- a/exercices-courbes.tex +++ b/exercices-courbes.tex @@ -210,35 +210,36 @@ relation de Bézout, en tout cas $\frac{1}{x^2} = \frac{a^2}{(y^2-b)^2} \smallbreak -(4) Montrer que si $v$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$, on a -$v(x) < 0$ si et seulement si $v(y) < 0$. Montrer qu'il existe au +(4) Montrer que si $w$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$, on a +$w(x) < 0$ si et seulement si $w(y) < 0$. Montrer qu'il existe au plus une valuation vérifiant ces conditions (il pourra être utile de -remarquer que si $f_0, f_1 \in k(x)$ alors $v(f_0)$ et $v(f_1 y)$ ne -peuvent jamais être égaux) : que valent exactement $v(x)$ et $v(y)$ ? +remarquer que si $f_0, f_1 \in k(x)$ alors $w(f_0)$ et $w(f_1 y)$ ne +peuvent jamais être égaux) : que valent exactement $w(x)$ et $w(y)$ ? Montrer qu'une telle valuation existe bien. On appellera cette place « point à l'infini » de $E$ et on la notera $\heartsuit$. \begin{corrige} -Si $v$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$ telle que $r := v(x) -< 0$ alors $v(x^3 + ax + b) = 3r$, c'est-à-dire $v(y^2) = 3r$, donc -$v(y) = \frac{3}{2}r < 0$. Réciproquement, si $v(y) < 0$ alors -$v(y^2) < 0$ donc $v(x^3 + ax + b) < 0$ et ceci interdit $v(x) \geq 0$ -(car on aurait alors $v(x^3 + ax + b) \geq 0$). Les hypothèses -$v(x)<0$ et $v(y)<0$ sont donc équivalentes. +Si $w$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$ telle que $r := w(x) +< 0$ alors $w(x^3 + ax + b) = 3r$, c'est-à-dire $w(y^2) = 3r$, donc +$w(y) = \frac{3}{2}r < 0$. Réciproquement, si $w(y) < 0$ alors +$w(y^2) < 0$ donc $w(x^3 + ax + b) < 0$ et ceci interdit $w(x) \geq 0$ +(car on aurait alors $w(x^3 + ax + b) \geq 0$). Les hypothèses +$w(x)<0$ et $w(y)<0$ sont donc équivalentes. Un élément de $K = k(x)[y]/(h)$ s'écrit sous la forme $f_0 + f_1 y$. -Par ailleurs, la donnée de $r = v(x)$ détermine $v$ sur $k[x]$ (c'est +Par ailleurs, la donnée de $r = w(x)$ détermine $w$ sur $k[x]$ (c'est $r$ fois le degré) donc sur $k(x)$ (c'est $-r$ fois la valuation -usuelle en l'infini sur $k(x)$). Et comme $v(f_1 y) = \frac{3}{2}r + -v(f_1)$ n'est pas un multiple entier de $r$ donc pas égal à la -valuation d'un élément de $k(x)$, la valuation de $f_0 + f_1 y$ est -complètement déterminée (la valuation d'une somme dont les termes sont -de valuations \emph{différentes} est le plus petit des valuations des -termes, cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)). -Bref, on a complètement caractérisé $v$, à la donnée de $r$ près. -Mais puisque l'image de $v$ doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ -(condition de normalisation), on a forcément $r = 2$, c'est-à-dire -$v(x) = -2$ et $v(y) = -3$. +$v_\infty$ usuelle en l'infini sur $k(x)$). Et comme $w(f_1 y) = +\frac{3}{2}r + w(f_1)$ n'est pas un multiple entier de $r$ donc pas +égal à la valuation d'un élément de $k(x)$, la valuation de $f_0 + f_1 +y$ est complètement déterminée (la valuation d'une somme dont les +termes sont de valuations \emph{différentes} est le plus petit des +valuations des termes, +cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)). Bref, on a +complètement caractérisé $w$, à la donnée de $r$ près. Mais puisque +l'image de $w$ doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de +normalisation), on a forcément $r = 2$, c'est-à-dire $w(x) = -2$ et +$w(y) = -3$. Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit en le vérifiant à la main ; soit en invoquant le théorème d'existence @@ -249,16 +250,21 @@ par $\frac{1}{y}$, pour affirmer que $K$ doit avoir une valuation positive sur $k(x)[\frac{1}{y}]$ et strictement positive en $\frac{1}{y}$ ; soit, tout simplement, en se rappelant que $x$ doit avoir un pôle quelque part, cf. \ref{constant-functions-on-a-curve}, -c'est-à-dire qu'il doit exister une valuation telle que $v(x)<0$). +c'est-à-dire qu'il doit exister une valuation telle que $w(x)<0$). \end{corrige} \smallbreak (5) Quels sont le degré de $x$ en tant que fonction sur $E$ (on -rappelle, cf. \ref{degree-of-a-function}, que $\deg(x) := [K:k(x)]$) -et de $y$ ? Montrer que la place $\heartsuit$ trouvée en (4) est -rationnelle (c'est-à-dire de degré $1$, cf. \ref{degree-of-a-place}). -Donner une uniformisante en $\heartsuit$. +rappelle, cf. \ref{degree-of-a-function}, que $\deg_E(x) := [K:k(x)]$) +et de $y$ ? Plus généralement, si $f_0 \in k[x]$, quel est le degré +de $f_0(x)$ en tant que fonction\footnote{Ici comme ailleurs, on aura + tendance à écrire $f_0(x)$ pour souligner qu'il s'agit de l'élément + de $K$ défini par $f_0 \in k(x) \subseteq K$, même s'il est + impossible d'être systématique.} sur $E$ ? Montrer que la place +$\heartsuit$ trouvée en (4) est rationnelle (c'est-à-dire de +degré $1$, cf. \ref{degree-of-a-place}). Donner une uniformisante +en $\heartsuit$. \begin{corrige} On a rappelé en (3) que l'élément $y$ est algébrique de degré $2$ @@ -267,21 +273,29 @@ l'extension algébrique $K$ de $k(x)$ engendrée par $y$ est de degré $[K:k(x)] = 2$, c'est-à-dire que $x$ est de degré $2$ en tant que fonction sur $E$. De même, le fait que $x$ soit algébrique de degré $3$ sur $k(y)$ (toujours de polynôme minimal $h$) signifie que -$\deg(y) = 3$ en tant que fonction sur $E$. (Il est malheureux que le -terme « degré » serve pour des choses différentes, et qu'ici le degré -de $y$ en tant qu'algébrique sur $k(x)$ soit le degré de $x$ en tant -que fonction sur $E$ et vice versa, mais cette terminologie est +$\deg_E(y) = 3$ en tant que fonction sur $E$. (Il est malheureux que +le terme « degré » serve pour des choses différentes, et qu'ici le +degré de $y$ en tant qu'algébrique sur $k(x)$ soit le degré de $x$ en +tant que fonction sur $E$ et vice versa, mais cette terminologie est malheureusement bien ancrée.) -En notant $v = \ord_\heartsuit$ la valuation trouvée en (4), +Le degré de $f_0(x)$ en tant que fonction sur $E$ est $[K : k(f_0(x))] += [K : k(x)]\cdot [k(x) : k(f_0(x))]$. Dans ce produit, le premier +facteur est $\deg_E(x) = 2$ d'après ce qu'on vient de dire, et puisque +$x$ est transcendant sur $k(x)$, le second est le degré usuel $\deg +f_0$ de $f_0$ en tant que polynôme (en se rappelant que le degré d'un +polynôme est le même que son degré en tant que fonction +sur $\mathbb{P}^1$, cf. circa \ref{degree-of-a-function}). + +En notant $\ord_\heartsuit$ la valuation $w$ trouvée en (4), l'identité du degré \ref{degree-identity} appliquée à $\frac{1}{x}$ -donne $\deg(\frac{1}{x}) = \ord_\heartsuit(\frac{1}{x}) \, +donne $\deg_E(\frac{1}{x}) = \ord_\heartsuit(\frac{1}{x}) \, \deg(\heartsuit)$ puisque, comme on l'a montré en (4), $\heartsuit$ est la \emph{seule} place où $\frac{1}{x}$ a un zéro (i.e., la seule place $P$ pour laquelle $\ord_P(x) < 0$). Comme on a vu que $\ord_\heartsuit(x) = -2$ (donc $\ord_\heartsuit(\frac{1}{x}) = 2$) et -$\deg(x) = 2$, on en déduit $\deg(\heartsuit) = 1$ : la place est -\emph{rationnelle}. +que $\deg_E(\frac{1}{x}) = \deg_E(x) = 2$, on en déduit +$\deg(\heartsuit) = 1$ : la place est \emph{rationnelle}. Une uniformisante en $\heartsuit$ est donnée par $x/y$ puisque $\ord_\heartsuit(x) = -2$ et $\ord_\heartsuit(y) = -3$. @@ -328,20 +342,20 @@ confirme bien que $\heartsuit$ est rationnelle. satisfaite.} (7) Soit $f_\sharp$ un facteur unitaire irréductible de $f := x^3 + ax -+ b$ dans $k[x]$. Montrer qu'il existe exactement une valuation $v$ -de $K$ au-dessus de $k$ telle que $v(f_\sharp)>0$ : on calculera -$v(y)$ au passage, et on considérera plus généralement la valuation de ++ b$ dans $k[x]$. Montrer qu'il existe exactement une valuation $w$ +de $K$ au-dessus de $k$ telle que $w(f_\sharp(x))>0$ : on calculera +$w(y)$ au passage, et on considérera plus généralement la valuation de $f_0 + f_1 y$ pour $f_0,f_1 \in k(x)$. On notera $\clubsuit$ une place comme on vient de trouver. \begin{corrige} Soit $w$ une valuation de $K$ au-dessus de $k$ telle que $r := -w(f_\sharp) > 0$. Alors en considérant la décomposition en facteurs -irréductibles d'un élément non nul quelconque de $k(x)$, on voit que -$w|_{k(x)} = r v_{f_\sharp}$ où $v_{f_\sharp}$ est la valuation -de $k(x)$ associée à $f_\sharp$ (i.e., la multiplicité de ce dernier -dans la décomposition en facteurs irréductibles d'un élément). En -particulier, comme $v_{f_\sharp}(f) = 1$ (puisque $f_\sharp$ est un +w(f_\sharp(x)) > 0$. Alors en considérant la décomposition en +facteurs irréductibles d'un élément non nul quelconque de $k(x)$, on +voit que $w|_{k(x)} = r v_{f_\sharp}$ où $v_{f_\sharp}$ est la +valuation de $k(x)$ associée à $f_\sharp$ (i.e., la multiplicité de ce +dernier dans la décomposition en facteurs irréductibles d'un élément). +En particulier, comme $v_{f_\sharp}(f) = 1$ (puisque $f_\sharp$ est un facteur irréductible de $f$ et qu'il n'apparaît pas plus qu'une fois d'après l'hypothèse, trouvée en (1), que $f$ est séparable), on a $w(f) = r$, et par conséquent $w(y) = \frac{1}{2}r$. @@ -354,8 +368,8 @@ le plus petit des valuations des termes, cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)). Bref, on a complètement caractérisé $w$, à la donnée de $r$ près. Mais puisque l'image de $w$ doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de -normalisation), on a forcément $r = 2$, c'est-à-dire $w(f_\sharp) = 2$ -et $w(y) = 1$. +normalisation), on a forcément $r = 2$, c'est-à-dire $w(f_\sharp(x)) = +2$ et $w(y) = 1$. Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit en le vérifiant à la main ; soit en invoquant le théorème d'existence @@ -366,7 +380,7 @@ avoir une valuation positive sur $k[x,y]$ et strictement positive en $f_\sharp$ ; soit, tout simplement, en se rappelant que $f_\sharp$ doit avoir un zéro quelque part, cf. \ref{constant-functions-on-a-curve}, c'est-à-dire qu'il doit -exister une valuation telle que $v(f_\sharp)>0$). +exister une valuation telle que $w(f_\sharp)>0$). \end{corrige} \smallbreak @@ -473,9 +487,10 @@ vue comme un élément de $k[x,y]/\mathfrak{n}$) n'est pas nulle. Rappeler pourquoi ceci construit sur $E$ : dans le cas (a) deux places de degré $\deg f_P$, et dans le cas (b) une place de degré $2\deg f_P$. Montrer que $f_P(x) \in K$ s'annule aux places ainsi -construites. Quel est le degré de $f_P(x) \in K$ en tant que fonction -sur $E$ (c'est-à-dire $[K : k(f_P(x))]$) ? En déduire que $f_P(x)$ ne -s'annule pas ailleurs qu'aux places qu'on a construites. +construites. Quel est le degré $\deg_E(f_P(x))$ de $f_P(x) \in K$ en +tant que fonction sur $E$ (c'est-à-dire $[K : k(f_P(x))]$) ? En +déduire que $f_P(x)$ ne s'annule pas ailleurs qu'aux places qu'on a +construites, et qu'il s'y annule précisément à l'ordre $1$. \begin{corrige} On a $h'_y = 2y$. On rappelle qu'un élément d'un anneau est @@ -497,15 +512,63 @@ qu'on a construits. Le fait que $f_P$ s'annule aux places ainsi construites vient du fait qu'il est nul dans $\kappa$. -Le degré de $f_P(x)$ en tant que fonction sur $E$ est $[K : k(f_P(x))] -= [K : k(x)]\cdot [k(x) : k(f_P(x))]$. Dans ce produit, le premier -facteur est $\deg x = 2$ d'après (5), et le second est $\deg f_P$ (en -se rappelant que le degré d'un polynôme est le même que son degré en -tant que fonction sur $\mathbb{P}^1$, -cf. circa \ref{degree-of-a-function}). Or on a trouvé des places de -degré total $2\deg f_P$ en lesquelles $f_P(x)$ s'annule : d'après -l'identité du degré, ce sont exactement toutes les places où $f_P(x)$ -s'annule. +Comme on a vu en (5), le degré de $f_P(x)$ en tant que fonction +sur $E$ est $\deg_E(f_P(x)) = 2\deg f_P$. Or on a trouvé des places +$Q_i$ (deux dans le cas (a) et une dans le cas (b)), de degré total +$2\deg f_P$, en lesquelles $f_P(x)$ s'annule : d'après l'identité du +degré, ce sont exactement toutes les places où $f_P(x)$ s'annule, et +il s'annule précisément à l'ordre $\ord_{Q_i}(f_P(x)) = 1$. +\end{corrige} + +\smallbreak + +(11) Expliquer pourquoi aucun élément de $A := k[x,y]/(h) \subseteq K$ +ne peut avoir de pôle ailleurs qu'en la place à l'infini (celle qu'on +a notée $\heartsuit$). Expliquer pourquoi $y$ n'a pas de zéro +ailleurs qu'aux places (notées $\clubsuit$) trouvées en (7). Décrire +précisément le diviseur principal $\divis(y)$. Décrire le diviseur +principal $\divis(f_\sharp(x))$ lorsque $f_\sharp$ est un facteur +unitaire irréductible de $f := x^3 + ax + b$ dans $k[x]$. Décrire le +diviseur principal $\divis(f_P(x))$ lorsque $f_P = f_P(x)$ est un +polynôme unitaire irréductible dans $k[x]$ qui \emph{ne divise + pas} $f$. + +\begin{corrige} +On sait que (les classes modulo $h$ de) $x$ et $y$ n'ont pas de pôle +ailleurs qu'en $\heartsuit$ (vu que $\heartsuit$ était la seule place +où $\ord(x) < 0$ ou bien $\ord(y) < 0$) : autrement dit, $x$ et $y$ +appartiennent à $\mathcal{O}_P$ pour toute place $P \neq \heartsuit$ +de $A$ ; on en déduit que tout polynôme en $x,y$, autrement dit, tout +élément de $A$, a les mêmes propriétés. + +Si $P$ est une place telle que $\ord_P(y) > 0$ alors $\ord_P(y^2)>0$ +c'est-à-dire $\ord_P(x^3 + ax + b) > 0$. Il doit donc exister un +facteur irréductible $f_\sharp$ de $f := x^3 + ax + b$ tel que +$\ord_P(f_\sharp) > 0$, et on a vu en (7) que ce facteur détermine +uniquement la valuation $P = \clubsuit$, et qu'on a alors +$\ord_\clubsuit(y) = 1$. + +On a donc $\divis(y) = \sum_i (\clubsuit_i) - 3(\heartsuit)$ où +$\clubsuit_i$ sont les ($1$, $2$ ou $3$) places associées aux facteurs +irréductibles $f_\sharp$ de $f$, ayant mêmes degrés qu'eux, et +$\heartsuit$ est la place à l'infini (de degré $1$). Ce diviseur est +bien de degré $0$ puisque $\sum_i \deg(\clubsuit_i) = 3$ car $\sum_i +\deg f_{\sharp i} = \deg f = 3$. + +Si $f_\sharp$ est un diviseur de $f$, et $\clubsuit$ la place +correspondante, on a $\ord_\clubsuit(f_\sharp(x)) = 2$ d'après (7) et +$\ord_\heartsuit(f_\sharp(x)) = -2\deg(f_\sharp)$ d'après (4). +Puisque $\deg_E(f_\sharp(x)) = 2\deg f_\sharp$ (cf. (5)), l'identité +du degré confirme qu'on a bien trouvé tous les zéros et tous les pôles +de $f_\sharp(x)$ : autrement dit, $\divis(f_\sharp(x)) = 2(\clubsuit) +- 2\deg(f_\sharp) \cdot (\heartsuit)$. + +Si $f_P$ est irréductible mais n'est pas un diviseur de $f$, on a +toujours $\ord_\heartsuit(f_P(x)) = -2\deg(f_P)$ d'après (4) et +$\deg_E(f_P(x)) = 2\deg f_P$. Cette fois, cependant, d'après (11), il +existe une ou deux places $Q_i$, de degré total $\sum_i \deg(Q_i) = +2\deg f_P$, telles que $\ord_{Q_i}(f_P(x)) = 1$. Autrement dit, +$\divis(f_P(x)) = \sum_i (Q_i) - 2\deg(f_P) \cdot (\heartsuit)$. \end{corrige} |