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diff --git a/exercices-courbes.tex b/exercices-courbes.tex index 19d2611..6192b9d 100644 --- a/exercices-courbes.tex +++ b/exercices-courbes.tex @@ -219,26 +219,26 @@ Montrer qu'une telle valuation existe bien. On appellera cette place « point à l'infini » de $E$ et on la notera $\heartsuit$. \begin{corrige} -Si $w$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$ telle que $r := w(x) -< 0$ alors $w(x^3 + ax + b) = 3r$, c'est-à-dire $w(y^2) = 3r$, donc -$w(y) = \frac{3}{2}r < 0$. Réciproquement, si $w(y) < 0$ alors +Si $w$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$ telle que $e := -w(x) +> 0$ alors $w(x^3 + ax + b) = -3e$, c'est-à-dire $w(y^2) = -3e$, donc +$w(y) = -\frac{3}{2}e < 0$. Réciproquement, si $w(y) < 0$ alors $w(y^2) < 0$ donc $w(x^3 + ax + b) < 0$ et ceci interdit $w(x) \geq 0$ (car on aurait alors $w(x^3 + ax + b) \geq 0$). Les hypothèses $w(x)<0$ et $w(y)<0$ sont donc équivalentes. Un élément de $K = k(x)[y]/(h)$ s'écrit sous la forme $f_0 + f_1 y$. -Par ailleurs, la donnée de $r = w(x)$ détermine $w$ sur $k[x]$ (c'est -$r$ fois le degré) donc sur $k(x)$ (c'est $-r$ fois la valuation +Par ailleurs, la donnée de $e = -w(x)$ détermine $w$ sur $k[x]$ (c'est +$-e$ fois le degré) donc sur $k(x)$ (c'est $e$ fois la valuation $v_\infty$ usuelle en l'infini sur $k(x)$). Et comme $w(f_1 y) = -\frac{3}{2}r + w(f_1)$ n'est pas un multiple entier de $r$ donc pas +-\frac{3}{2}e + w(f_1)$ n'est pas un multiple entier de $e$ donc pas égal à la valuation d'un élément de $k(x)$, la valuation de $f_0 + f_1 y$ est complètement déterminée (la valuation d'une somme dont les termes sont de valuations \emph{différentes} est le plus petit des valuations des termes, cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)). Bref, on a -complètement caractérisé $w$, à la donnée de $r$ près. Mais puisque +complètement caractérisé $w$, à la donnée de $e$ près. Mais puisque l'image de $w$ doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de -normalisation), on a forcément $r = 2$, c'est-à-dire $w(x) = -2$ et +normalisation), on a forcément $e = 2$, c'est-à-dire $w(x) = -2$ et $w(y) = -3$. Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit @@ -349,26 +349,26 @@ $f_0 + f_1 y$ pour $f_0,f_1 \in k(x)$. On notera $\clubsuit$ une place comme on vient de trouver. \begin{corrige} -Soit $w$ une valuation de $K$ au-dessus de $k$ telle que $r := +Soit $w$ une valuation de $K$ au-dessus de $k$ telle que $e := w(f_\sharp(x)) > 0$. Alors en considérant la décomposition en facteurs irréductibles d'un élément non nul quelconque de $k(x)$, on -voit que $w|_{k(x)} = r v_{f_\sharp}$ où $v_{f_\sharp}$ est la +voit que $w|_{k(x)} = e v_{f_\sharp}$ où $v_{f_\sharp}$ est la valuation de $k(x)$ associée à $f_\sharp$ (i.e., la multiplicité de ce dernier dans la décomposition en facteurs irréductibles d'un élément). En particulier, comme $v_{f_\sharp}(f) = 1$ (puisque $f_\sharp$ est un facteur irréductible de $f$ et qu'il n'apparaît pas plus qu'une fois d'après l'hypothèse, trouvée en (1), que $f$ est séparable), on a -$w(f) = r$, et par conséquent $w(y) = \frac{1}{2}r$. +$w(f) = e$, et par conséquent $w(y) = \frac{1}{2}e$. -Comme $w(f_1 y) = \frac{1}{2}r + w(f_1)$ n'est pas un multiple entier -de $r$ donc pas égal à la valuation d'un élément de $k(x)$, la +Comme $w(f_1 y) = \frac{1}{2}e + w(f_1)$ n'est pas un multiple entier +de $e$ donc pas égal à la valuation d'un élément de $k(x)$, la valuation de $f_0 + f_1 y$ est complètement déterminée (la valuation d'une somme dont les termes sont de valuations \emph{différentes} est le plus petit des valuations des termes, cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)). Bref, on a -complètement caractérisé $w$, à la donnée de $r$ près. Mais puisque +complètement caractérisé $w$, à la donnée de $e$ près. Mais puisque l'image de $w$ doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de -normalisation), on a forcément $r = 2$, c'est-à-dire $w(f_\sharp(x)) = +normalisation), on a forcément $e = 2$, c'est-à-dire $w(f_\sharp(x)) = 2$ et $w(y) = 1$. Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit @@ -571,6 +571,99 @@ existe une ou deux places $Q_i$, de degré total $\sum_i \deg(Q_i) = $\divis(f_P(x)) = \sum_i (Q_i) - 2\deg(f_P) \cdot (\heartsuit)$. \end{corrige} +\smallbreak + +(12) On a construit différentes sortes de places de $E$ : la place +$\heartsuit$ « à l'infini » en (4), une place $\clubsuit$ pour chaque +facteur irréductible $f_\sharp$ de $f := x^3 + ax + b$ en (7), et une +ou deux places $Q_i$ pour chaque facteur irréductible $f_P$ qui +\emph{ne divise pas} $f$ en (9). Expliquer pourquoi on a ainsi une +description complète des places de $E$ (on pourra considérer la +restriction à $k(x) \subseteq K$ d'une place de $K$). + +\begin{corrige} +Si $w$ est une place quelconque de $K$, il est clair que sa +restriction $w|_{k(x)}$ à $k(x)$ vérifie (o), (i) et (ii) +de \ref{valuation-ring-versus-valuation-function} puisque c'est le cas +de $w$. C'est donc \emph{à multiplication près par un entier $e\geq + 1$} une valuation sur $k(x)$, au-dessus de $k$. Cette valuation +n'est pas triviale car si elle l'est, c'est-à-dire si $w$ est nulle +sur $k(x)$ on a $w(y) = w(x^3 + ax + b) \geq 0$ donc $w$ est positive +sur tout élément de la forme $f_0 + f_1 y$, mais aussi sur son inverse +pour la même raison, bref sur tout élément de $K$, et du coup $w$ est +triviale, ce qui contredit l'hypothèse qu'il s'agisse d'une place +de $E$. On a donc $e \geq 1$ et $w|_{k(x)} = ev$ avec $e$ une place +de $k(x)$ au-dessus de $k$. Or on sait qu'une telle place est +forcément soit la place à l'infini soit la place définie par un +polynôme unitaire irréductible dans $k[x]$, et selon le cas que ce +dernier divise ou ne divise pas $f$, on trouve dans les différents cas +$w(x) < 0$ ou bien $w(f_\sharp(x)) > 0$ ou encore $w(f_P(x)) > 0$, +donc une des places qu'on a classifiées. +\end{corrige} + +\smallbreak + +\emph{On pourra désormais librement supposer que $k$ est parfait} +(même si ce n'est pas utile ici). + +(13) Relier $dx$ et $dy$ dans $\Omega^1_{K/k}$. Relier $dx$ et +$d(f_0(x))$ lorsque $f_0 \in k[x]$ est un polynôme quelconque. En +déduire $\ord_M(dx)$ pour les différentes places $M$ de $E$, +c'est-à-dire, décrire $\divis(dx)$. Quel est le genre de la +courbe $E$ ? + +\begin{corrige} +On a $y = x^3 + ax + b$ donc $y\,dy = (3x^2+a)\,dx$, ce qui peut bien +sûr se réécrire librement en $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2+a}{y} = +\frac{3x^2+a}{x^3+ax+b}y$, ou encore $\frac{dy}{3x^2+a} = +\frac{dx}{y}$ ou encore $\frac{1}{3x^2+a}\,dy = +\frac{1}{x^3+ax+b}\,y\,dx$. + +%% $\frac{1}{3x^2+a} = \frac{4a^2}{27 y^4 - 54 b y^2 + \Delta} + +%% \frac{9y^2 - 9b}{27 y^4 - 54 b y^2 + \Delta} x + \frac{6a}{27 y^4 - 54 +%% b y^2 + \Delta} x^2$ + +Si $f_0 \in k[x]$, on a $d(f_0(x)) = f_0'(x)\,dx$ où $f_0'$ est la +dérivée usuelle des polynômes : cela résulte facilement de +l'application des règles de calcul sur $d$. + +Calculons $\ord_M(dx)$ pour les différentes places $M$ de $E$. En +$\heartsuit$, on sait que $\ord_\heartsuit(x) = -2$, d'où il résulte +que $\ord_\heartsuit(dx) = -3$ (cf. \ref{order-of-derivatives}). En +une place $\clubsuit$, on sait que $\ord_\clubsuit(f_\sharp(x)) = 2$, +d'où il résulte que $\ord_\clubsuit(d(f_\sharp(x))) = 1$, c'est-à-dire +$\ord_\clubsuit(f_\sharp'(x)) + \ord_\clubsuit(dx) = 1$. Mais on a vu +que $\ord_\clubsuit(r(x)) = 2\ord_{(f_\sharp)}(r)$ quel que soit $r +\in k(x)$, et par ailleurs $f_\sharp'$ et $f_\sharp$ sont premiers +entre eux dans $k[x]$ vu que $f_\sharp$ est séparable (puisqu'il +divise $f$). Bref, $\ord_\clubsuit(dx) = 1$. On pouvait aussi le +déduire du fait que $\ord_\clubsuit(y) = 1$ donc $\ord_\clubsuit(dy) = +0$, et $dx = \frac{y}{3x^2+a}\,dy$ où l'ordre du dénominateur est $0$ +en chaque place $\clubsuit$ (puisque $3x^2+a$ est premier avec $f$). +Enfin, en une place $Q$ telle que $\ord_Q(f_P(x)) = 1$, on a +$\ord_Q(d(f_P(x))) = 0$, c'est-à-dire $\ord_Q(f_P'(x)) + \ord_Q(dx) = +0$, et comme les deux termes sont positifs (puisque $A \subseteq +\mathcal{O}_Q$ comme on l'a déjà signalé), ils sont tous les deux +nuls, bref $\ord_Q(dx) = 0$. + +Finalement, on a $\divis(dx) = \sum_i (\clubsuit_i) - 3(\heartsuit)$ +(diviseur de degré $0$, qui coïncide avec $\divis(y)$). + +Le genre de la courbe $E$ est donné par l'égalité $\deg(\divis(dx)) = +2g-2$ (cf. \ref{degree-of-canonical-divisor}), donc $g = 1$. +\end{corrige} + +\smallbreak + +(14) Donner un élément $\omega \in \Omega^1_{K/k}$ tel que +$\divis(\omega) = 0$. + +\begin{corrige} +On a vu que $\divis(dx) = \divis(y)$, donc la différentielle +$\frac{dx}{y} = \frac{1}{x^3 + ax + b}\,y\,dx = \frac{1}{3x^2+a}\,dy$ +répond à la question. +\end{corrige} + % |