diff options
| -rw-r--r-- | controle-20170421.tex | 277 |
1 files changed, 272 insertions, 5 deletions
diff --git a/controle-20170421.tex b/controle-20170421.tex index ff1364c..ea3ddb7 100644 --- a/controle-20170421.tex +++ b/controle-20170421.tex @@ -15,7 +15,7 @@ \usepackage{wasysym} \usepackage{url} % -%\usepackage{xr-hyper} +\usepackage{xr-hyper} % \usepackage{graphics} \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} @@ -23,7 +23,7 @@ \usetikzlibrary{matrix,calc} \usepackage{hyperref} % -%\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf] +\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf] % \theoremstyle{definition} \newtheorem{comcnt}{Tout} @@ -97,9 +97,13 @@ \noindent\textbf{Consignes.} -Les exercices sont totalement indépendants. Ils pourront être traités -dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon -très visible dans les copies où commence chaque exercice. +Ce contrôle est formé d'un unique exercice. Les questions dépendent +les unes des autres, mais elles ont été formulées de manière à ce que +le fait de ne pas savoir répondre à une question ne bloque pas toute +la suite. + +Des notations étant introduites au fur et à mesure de l'énoncé, il est +conseillé de le lire attentivement. \medbreak @@ -126,6 +130,269 @@ Git: \input{vcline.tex} % % +Dans tout ce qui suit $k$, désigne un corps algébriquement clos de +caractéristique $\not\in\{2,5\}$. + +On s'intéresse à la courbe plane d'équation $y^2 = x^5 - x$. Plus +exactement, on pose $K = k(x)[y]/(y^2 - x^5 + x)$. On admettra sans +démonstration que $h := y^2 - x^5 + x$ est irréductible dans $k[x,y]$, +ce qui implique que $K$, corps de rupture de $h$ sur $k(x)$, est un +corps de fonction de courbe. On notera abusivement $x$ et $y$ les +images dans $K$ des indéterminées de même nom. On appelle $C$ la +courbe associée à $K$, qu'on peut considérer comme son ensemble de +places (=valuations discrètes de $K$ au-dessus de $k$). Pour $P$ une +place de $C$, on note $\ord_P$ la valuation en question. On rappelle +que comme $k$ est supposé algébriquement clos, le degré de toute place +vaut $1$ (et son corps résiduel $\varkappa_P$ s'identifie à $k$). + +\medbreak + +(1) Rappeler brièvement pourquoi un élément de $K$ admet une écriture +unique sous la forme $f_0 + f_1 y$ avec $f_0,f_1 \in k(x)$. + +\begin{corrige} +On a $K = k(x)[y]/(h)$ où $h \in k(x)[y]$ est irréductible de +degré $2$ (vu comme un polynôme en $y$) : tout élément de $k(x)[y]$ +est donc congru modulo $h$ à un unique polynôme (en $y$) de +degré $<2$, à savoir le reste de sa division euclidienne par $h$, donc +il s'écrit $f_0 + f_1 y$ avec $f_0,f_1 \in k(x)$ ce qui est +précisément ce qui était demandé. +\end{corrige} + +\medbreak + +(2) Le but de cette question est d'étudier la place « à l'infini » +de $C$. + +(2.1) Soit $P$ une place telle que $\ord_P(x) < 0$ (autrement dit, $x$ +a un pôle en $P$). Posons $e = -\ord_P(x)$. (a) Que vaut +$\ord_P(x^n)$ pour $n\in\mathbb{N}$ ? Que vaut $\ord_P(f(x))$ pour $f +\in k[x]$ un polynôme en $x$ ? (b) En déduire que si $f \in k(x)$ +alors $\ord_P(f(x)) = e \ord_\infty(f)$ où $\ord_\infty$ désigne la +valuation usuelle à l'infini\footnote{C'est-à-dire la fonction qui à + $f\in k(x)$ associe le degré de son dénominateur moins celui de son + numérateur.} de $k(x)$. (c) Montrer que $\ord_P(y) = +-\frac{5}{2}e$. (d) En déduire ce que vaut $\ord_P(f_0 + f_1 y)$. +(e) En déduire que $e=2$, et réexprimer $\ord_P(f_0 + f_1 y)$ compte +tenu de cette information. + +\begin{corrige} +(a) Si on a $\ord_P(x) = -e < 0$ alors $\ord_P(x^n) = -ne$. On en + déduit que $\ord_P(a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n) = -ne$ si + $a_n\neq 0$, parce que le terme $a_n x^n$ a une valuation + strictement inférieure à tous les autres, c'est-à-dire $\ord_P(f(x)) + = -e\,\deg f$. (b) En écrivant $f$ comme rapport de deux polynômes, + on en déduit immédiatement $\ord_P(f(x)) = e \ord_\infty(f)$. + (c) On a $y^2 = x^5 - x$ donc $\ord_P(y^2) = -5e$, c'est-à-dire + $\ord_P(y) = -\frac{5}{2}e$. (d) On en déduit que $\ord_P(f_0 + f_1 + y) = e \min(\ord_\infty(f_0), \ord_\infty(f_1)-\frac{5}{2})$ (car + les deux termes ne peuvent pas avoir la même valuation). (e) Comme + la valeur $1$ doit être atteinte par $\ord_P$, on a nécessairement + $e=2$, donc $\ord_P(f_0 + f_1 y) = \min(2\ord_\infty(f_0), + 2\ord_\infty(f_1)-5)$. +\end{corrige} + +\smallbreak + +(2.2) Montrer que réciproquement, $\ord_P(y) < 0$ implique $\ord_P(x) +< 0$ (on pourra procéder par contraposée). + +\begin{corrige} +Si $\ord_P(x) \geq 0$ alors $\ord_P(x^5 - x) \geq 0$ (on rappelle que +$\mathcal{O}_P := \{f\in K : \ord_P(f)\geq 0\}$ est un anneau), +c'est-à-dire $\ord_P(y^2) \geq 0$ donc $\ord_P(y) \geq 0$ : on a donc +montré la contraposée de ce qui était demandé. +\end{corrige} + +\smallbreak + +(2.3) Déduire des questions précédentes que la courbe $C$ a une unique +place $P$ telle que $\ord_P(x) < 0$, qui est aussi l'unique place $P$ +telle que $\ord_P(y) < 0$. + +\begin{corrige} +On a vu que $\ord_P(x) < 0$ équivaut à $\ord_P(y) < 0$ et implique +$\ord_P(f_0 + f_1 y) = \min(2\ord_\infty(f_0), 2\ord_\infty(f_1)-5)$, +ce qui détermine complètement $\ord_P$. Par ailleurs, une telle place +existe bien car la fonction $x$, qui n'est pas constante, doit avoir +un pôle quelque part sur $C$. +\end{corrige} + +\smallbreak + +\emph{Cette place sera appelée « place à l'infini » sur $C$ et + notée $\heartsuit$ dans ce qui suit.} + +\smallbreak + +(2.4) Montrer que le diviseur des pôles\footnote{On rappelle que le + diviseur des pôles de $f\in K$ est défini comme + $\sum_{P\;:\;\ord_P(f) < 0} -\ord_P(f)\cdot (P)$.} de $x$ +vaut $2\cdot(\heartsuit)$. Quel est le diviseur des pôles de $y$ ? +Quel sont les degrés de $x$ et $y$ en tant que fonctions sur $C$ +(c'est-à-dire, les degrés $[K:k(x)]$ et $[K:k(y)]$) ? + +\begin{corrige} +On vient de voir que $x$ n'a de pôle qu'en $\heartsuit$, et +$\ord_\heartsuit(x) = -2$ : ceci signifie exactement que son diviseur +des pôles est $2\cdot(\heartsuit)$. On a de même vu que $y$ n'a de +pôle qu'en $\heartsuit$, et $\ord_\heartsuit(y) = -5$ : ceci signifie +exactement que son diviseur des pôles est $5\cdot(\heartsuit)$. Les +degrés de $x$ et $y$ valent respectivement $2$ et $5$, comme il +résulte du degré des diviseurs qu'on vient de dire, ou directement en +considérant que $K$ est une extension de $k(x)$ et de $k(y)$ +respectivement qui est le corps de rupture de $h$. +\end{corrige} + +\medbreak + +(3) (a) Montrer que le polynôme $x^5 - x$ (en une variable $x$) est +sans racine multiple. (b) En déduire que les polynômes $h$ et +$\frac{\partial h}{\partial x}$ et $\frac{\partial h}{\partial y}$ en +deux variables $x,y$ (où toujours $h = y^2 - x^5 + x$) ne s'annulent +jamais tous les trois simultanément. + +\begin{corrige} +(a) Les racines de $x^5 - x = x(x^4 - 1)$ sont $0$ et les racines + quatrièmes de l'unité dans $k$ : il y a bien cinq racines + distinctes, donc pas de racine multiple. (b) On a $\frac{\partial + h}{\partial y} = 2 y$, qui s'annule exactement lorsque $y=0$. Si + $h$ et $\frac{\partial h}{\partial x}$ et $\frac{\partial + h}{\partial y}$ s'annulent simultanément en $(x_0,y_0)$, alors + $y_0 = 0$ et $x_0$ annule à la fois $x^5 - x$ et sa dérivée, or on + vient de voir que ce n'est pas possible. +\end{corrige} + +\medbreak + +On rappelle (\ref{smooth-points-give-unique-place} du cours) que ceci +implique le fait suivant : pour tout $(x_0,y_0) \in k^2$ vérifiant +$y_0^2 = x_0^5 - x_0$ (i.e., tout $(x_0,y_0) \in Z(h)$), il existe une +unique place $P$ de $C$ en laquelle l'évaluation de $x$ vaut $x_0$ et +l'évaluation de $y$ vaut $y_0$ (si on préfère, $\ord_P(x-x_0) > 0$ et +$\ord_P(y-y_0) > 0$). \emph{Cette place sera notée $Q(x_0,y_0)$ dans + la suite.} + +\medbreak + +(4) Dans cette question, on considère un $c\in k$, et on va se pencher +sur les places de $C$ en lesquelles l'évaluation de $x$ vaut $c$. + +(4.1) Pourquoi le degré de $x-c$ en tant que fonction sur $C$ +vaut-il $2$ ? + +\begin{corrige} +Le corps $k(x-c)$ engendré par $x-c$ au-dessus de $k$ est égal à celui +$k(x)$ engendré par $x$, puisque chacun de $x$ et de $x-c$ s'exprime +rationnellement en fonction de l'autre (à savoir $x = (x-c) + c$ et +$(x-c) = (x) - c$). Le degré de $K$ sur ce corps est donc le même +dans les deux cas, à savoir $2$ comme on l'a vu en (2.4). +\end{corrige} + +\smallbreak + +(4.2) On suppose pour cette sous-question que $c^5 - c \neq 0$. +(a) Expliciter deux places $P$ de $C$ où $x - c$ a un zéro +(c'est-à-dire $\ord_P(x-c) > 0$). (b) En déduire que ces deux zéros +sont simples (c'est-à-dire $\ord_P(x-c) = 1$) : on pourra pour cela +invoquer l'identité du degré (\ref{degree-identity} du cours). + +\begin{corrige} +(a) Soit $y_0$ une racine carrée de $c^5 - c$ (non nulle par + hypothèse). Alors $y_0^2 = c^5 - c$, ce qui permet de parler de + $Q(c,y_0)$, et symétriquement de $Q(c,-y_0)$. Ces deux places sont + bien distinctes car $y$ y a une évaluation différente. La fonction + $x-c$ a un zéro en ces deux places puisque $x$ s'y évalue en $c$. + (b) La somme des ordres des zéros de $x-c$ doit valoir $2$ d'après + (4.1) et l'identité du degré ; or on a trouvé deux zéros, il + s'ensuit qu'ils sont forcément simples. +\end{corrige} + +\smallbreak + +(4.3) On suppose pour cette sous-question que $c^5 - c = 0$. +(a) Expliciter la seule place $P$ de $C$ où $x - c$ a un zéro. (b) En +déduire que ce zéro est double (c'est-à-dire $\ord_P(x-c) = 2$). + +\begin{corrige} +(a) Le fait que $c^5 - c = 0$ permet de parler de la place $Q(c,0)$. + La fonction $x-c$ y a un zéro. Mais si $x-c$ a un zéro en une place + de $C$, forcément $y$ y a aussi un zéro puisque l'évaluation de $y^2 + = x^5 - x$ vaut $c^5 - c = 0$ : la place évoquée est donc la seule + où $x-c$ a un zéro. (b) La somme des ordres des zéros de $x-c$ doit + valoir $2$ d'après (4.1) et l'identité du degré ; or on a vu qu'il y + en a exactement une, donc son zéro est double. +\end{corrige} + +\medbreak + +(5) On s'intéresse dans cette question à la différentielle $dx$ de la +fonction $x$. + +(5.1) Expliquer pourquoi $\ord_\heartsuit(dx) = -3$. + +\begin{corrige} +On a vu que $\ord_\heartsuit(x) = -2$. Comme $k$ est de +caractéristique $\neq 2$, cette quantité n'est pas nulle dans $k$, +donc (cf. \ref{order-of-derivatives}) on a $\ord_\heartsuit(dx) = -2-1 += -3$. +\end{corrige} + +\smallbreak + +(5.2) Montrer que $\ord_{Q(x_0,0)}(dx) = 1$ lorsque $x_0^5 - x_0 = 0$. + +\begin{corrige} +On a vu en (4.3) que lorsque $x_0^5 - x_0 = 0$, on a +$\ord_{Q(x_0,0)}(x) = 2$. Comme $k$ est de caractéristique $\neq 2$, +cette quantité n'est pas nulle dans $k$, donc +(cf. \ref{order-of-derivatives}) on a $\ord_\heartsuit(dx) = 2-1 = 1$. +\end{corrige} + +\smallbreak + +(5.3) (a) Rappeler pourquoi $d(x-c) = dx$ quel que soit $c\in k$. +(b) Que vaut $\ord_{Q(x_0,y_0)}(dx)$ lorsque $y_0 \neq 0$ (avec bien +sûr $y_0^2 = x_0^5 - x_0$) ? + +\begin{corrige} +(a) On a $d(x-c) = dx - dc$, or $dc=0$. (b) On a vu en (4.2) que + lorsque $y_0 \neq 0$, on a $\ord_{Q(x_0,y_0)}(x - x_0) = 1$, donc + (cf. \ref{order-of-derivatives}) on a $\ord_\heartsuit(d(x-x_0)) = + 1-1 = 0$. Mais on vient de voir que ceci signifie + $\ord_\heartsuit(dx) = 0$. +\end{corrige} + +\smallbreak + +(5.4) (a) Récapituler la valeur de $\ord_P(dx)$ en toute place $P$ +de $C$ (b) En déduire que le diviseur canonique $\divis(dx)$ est de +degré $2$. + +\begin{corrige} +(a) Considérons une place $P$ de $C$. Soit $x$ y a un pôle, auquel + cas (cf. (2.3)) $P = \heartsuit$ et on a vu (cf. (5.1)) que + $\ord_\heartsuit(dx) = -3$. Soit $x$ n'a pas un pôle, et si $x_0 + \in k$ y est son évaluation, on a $P = Q(x_0,y_0)$ où $y_0$ est + l'évaluation de $y$, et on a vu (cf. (5.2) et (5.3)) que + $\ord_P(dx)$ vaut $1$ ou $0$ selon que $y_0 = 0$ ou $y_0 \neq 0$. + Bref, les seules places où $\ord_P(dx) \neq 0$ sont $\heartsuit$ où + l'ordre vaut $-3$, et les cinq points $(x_0,0)$ avec $x_0$ valant + $0$ ou une racine quatrième de l'unité, où l'ordre vaut $1$. (b) En + particulier, le degré de $dx$ vaut $-3 + 5\times 1 = 2$. +\end{corrige} + +\smallbreak + +(5.5) Quel est le genre de la courbe $C$ ? + +\begin{corrige} +D'après \ref{degree-of-canonical-divisor}, on sait que $g(C) = +\deg(\divis(dx))$, c'est-à-dire $2$ d'après la question (5.4(b)). +\end{corrige} + + + % |