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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index dd1f24d..0e83db0 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -3362,7 +3362,8 @@ puisse jouer le rôle de $(-1,0)$ dans le paramétrage par des droites de pente variable. L'exemple qui suit montre que cette hypothèse n'est pas anecdotique. -\thingy Considérons maintenant l'exemple de $P = x^2 + y^2 + 1$ sur un +\thingy\label{example-pointless-conic} +Considérons maintenant l'exemple de $P = x^2 + y^2 + 1$ sur un corps $k$ de caractéristique $\neq 2$ dans lequel $-1$ n'est pas somme de deux carrés (de nouveau, on pensera principalement au corps des réels). Le même argument que pour $x^2 + y^2 - 1$ montre que ce @@ -5507,6 +5508,20 @@ est transcendante parce que non constante, on a bien montré que $k(C)$ est le corps des fractions rationnelles en une indéterminée. \end{proof} +\thingy Pour montrer que l'hypothèse d'existence d'une place +rationnelle n'est pas inutile, reprenons l'exemple de la « conique + sans point » évoquée en \ref{example-pointless-conic} : on a vu que +(sur un corps $k$ de caractéristique $\neq 2$ dans lequel $-1$ n'est +pas somme de deux carrés, par exemple le corps des réels) la courbe +d'équation $x^2 + y^2 = -1$ n'est pas rationnelle. Elle est pourtant +de genre $0$ comme il résulte d'une application +de \ref{genus-does-not-change-under-separable-constant-field-extension} +ci-dessous à l'extension de corps $k \subseteq k(\sqrt{-1})$ et de +l'observation que la courbe $x^2 + y^2 = -1$ sur $k(\sqrt{-1})$ est la +même que $x^{\prime2} + y^{\prime2} = 1$ (quitte à faire le changement +de variable linéaire $x' = \sqrt{-1}\,x$ et $y' = \sqrt{-1}\,y$) donc +rationnelle (cf. \ref{example-curve-circle}) donc de genre $0$. + \subsection{Points et places}\label{subsection-points-and-places} @@ -5525,11 +5540,10 @@ fractions $K$ de l'anneau $A := k[t_1,\ldots,t_n]/I$ (des fonctions régulières sur $Z(I)$) soit de degré de transcendance $1$ sur $k$ (\emph{par exemple} $I = (h) \subseteq k[x,y]$ avec $h$ irréductible comme en \ref{function-field-of-a-plane-curve}), on a envie de faire -un lien entre les « points » (rationnels, fermés ou géométriques) -de $Z(I)$ -(cf. \ref{rational-and-closed-points-of-zariski-closed-sets}) et les -places de la courbe $C$ définie par $K$. Un tel rapport existe, même -s'il n'est pas parfait. +un lien entre les « points » (rationnels, fermés ou géométriques, +cf. \ref{rational-and-closed-points-of-zariski-closed-sets}) de $Z(I)$ +et les places de la courbe $C$ définie par $K$. Un tel rapport +existe, même s'il n'est pas parfait. \thingy Cherchons dans un premier temps à associer un point (rationnel, fermé ou géométrique) de $Z(I)$ à une place de $C$. Il @@ -5751,6 +5765,9 @@ multiples de $e$). Cette place $v$ est appelée l'\defin[image d'une place par un revêtement]{image} de $w$ par le revêtement $\varphi$, et notée $\varphi(w)$. L'entier $e$ est, pour sa part, appelé l'\defin{indice de ramification} de $\varphi$ en la place $w$. +Lorsque $e$ est égal à $1$, on dit que la place $w$ est \textbf{non + ramifiée} pour le revêtement $\varphi$ ; lorsque c'est le cas pour +toute place $w$, on dit que $\varphi$ est [partout] non ramifié. Enfin, le degré $[\varkappa_w : \varkappa_v]$ de l'extension des corps résiduels (définie par le fait que pour $x\in K$ on a $v(x) \geq 0$ @@ -5884,6 +5901,57 @@ on a aussi $r\deg(P) = \deg(x)$ par une nouvelle application de \ref{degree-identity}, on en déduit la formule annoncée. \end{proof} +\thingy\label{change-of-scalars-of-a-curve} +Soit $C$ une courbe sur un corps $k$, et soit $k'$ une +extension algébrique de $k$. On peut chercher à considérer une +courbe, qu'on notera $C_{k'}$, qui soit définie par les mêmes +équations que $C$ mais sur $k'$. C'est légitime à condition que les +extensions $K := k(C)$ et $k'$ de $k$ soient linéairement disjointes +(à l'intérieur de $K^{\alg}$), typiquement si $C$ était définie +(cf. \ref{regular-functions-on-a-zariski-closed-set}) par un fermé de +Zariski \emph{géométriquement irréductible} sur $k$ (ou en tout cas, +qui reste irréductible sur $k'$) : +cf. \ref{field-of-fractions-versus-change-of-scalars}. Sous cette +hypothèse, on peut définir $C_{k'}$ comme la courbe dont le corps des +fonctions est le composé $K.k'$ (le composé étant pris +dans $K^{\alg}$). On dira que $C_{k'}$ « est définie » pour résumer +cette situation, et on appellera $C_{k'}$ la courbe obtenue par +\defin{extension des scalaires} de $C$ de $k$ à $k'$. + +Si $k'$ est une extension \emph{finie} de $k$, alors $K.k' = +k'(C_{k'})$ est une extension de $K$ de même degré fini +(cf. \ref{linear-disjointness-and-degrees}), et on peut considérer +qu'on a affaire à un revêtement $C_{k'} \to C$ donné par l'inclusion +$K \subseteq K.k'$. + +\begin{prop} +Soit $k \subseteq k'$ une extension de corps \emph{finie et + séparable}, et soit $C$ une courbe sur un corps $k$ dont le corps +des fonctions $K := k(C)$ est linéairement disjoint de $k'$ sur $k$ +(par exemple si $C$ est géométriquement intègre, +cf. \ref{change-of-scalars-of-a-curve}). Alors $K \subseteq K.k'$ est +séparable, et le revêtement $C_{k'} \to C$ de courbes sur $k$ défini +par l'extension $K \subseteq K.k'$ est partout non ramifié. +\end{prop} +\begin{proof}[Références] +\cite[théorème 3.2.3]{Goldschmidt2003}, +\cite[théorème 3.4.2(c)]{FriedJarden2008} +\end{proof} + +\begin{prop}\label{genus-does-not-change-under-separable-constant-field-extension} +Soit $C$ une courbe géométriquement irréductible sur un corps $k$, et +soit $k'$ une extension algébrique \emph{séparable} de $k$. Soit +$C_{k'}$ la courbe $k'$ qui est définie par la même équation, +c'est-à-dire, dont le corps des fonctions est le composé $K.k'$ (où $K +:= k(C)$, le composé étant pris dans $K^{\alg}$ ; +cf. \ref{field-of-fractions-versus-change-of-scalars}). Alors +$C_{k'}$ a le même genre que $C$. +\end{prop} +\begin{proof}[Références] +\cite[théorème 3.4.4]{Goldschmidt2003}, +\cite[théorème 3.4.2(b)]{FriedJarden2008} +\end{proof} + % |