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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index a6b427e..b421609 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -3609,16 +3609,20 @@ inversible, c'est le plus grand idéal strict (=différent de l'idéal unité) pour l'inclusion, c'est donc bien le seul idéal maximal. \end{proof} -\thingy Le corps quotient de $R$ par son idéal maximal $\mathfrak{m}$ -s'appelle le \defin{corps résiduel} d'un anneau local, ou en -particulier, d'un anneau de valuation avec $\mathfrak{m} := \{x\in R : -v(x)>0\}$ comme on vient de l'expliquer. Lorsque $v$ est une -valuation sur un corps $K$, on peut bien sûr parler de son corps -résiduel, défini comme le quotient de l'anneau de valuation $R := -\{x\in K : v(x) \geq 0\}$ par l'unique idéal maximal de ce dernier. +\thingy Le corps quotient d'un anneau local $R$ par son idéal maximal +$\mathfrak{m}$ s'appelle le \index{résiduel (corps)}\defin{corps + résiduel} de $R$ ; en particulier, ceci s'applique à un anneau de +valuation avec $\mathfrak{m} := \{x\in R : v(x)>0\}$ comme on vient de +l'expliquer. Lorsque $v$ est une valuation sur un corps $K$, on peut +bien sûr parler de son corps résiduel, défini comme le quotient de +l'anneau de valuation $R := \{x\in K : v(x) \geq 0\}$ par l'unique +idéal maximal de ce dernier. On note parfois $\mathcal{O}_v$ pour l'anneau de valuation d'une -valuation $v$ et $\mathfrak{m}_v$ pour son idéal maximal. +valuation $v$ et $\mathfrak{m}_v$ pour son idéal maximal, et enfin +$\varkappa_v$ pour son corps résiduel $\mathcal{O}_v/\mathfrak{m}_v$. +On remarquera que si la place $v$ est au-dessus de $k$, alors +$\varkappa_v$ est une extension de $k$. Une valuation non-triviale au-dessus de $k$ sur un corps $K$ de fonctions sur $k$ comme en \ref{definition-function-field} s'appelle @@ -3642,6 +3646,11 @@ sur $k$ et le corps $K$ est \emph{fini} sur $k(x)$. v(x_n) < \infty$, alors $x_1,\ldots,x_n$ sont linéairement indépendants sur $k(x_n)$, et en particulier le degré $[K : k(x_n)]$ (lequel est fini d'après (A)) est supérieur ou égal à $n$. + +(C) Si $x$ vérifie $0 < v(x) < \infty$, alors $[\varkappa_v : k] \leq +[K : k(x)]$ (en particulier, il est fini d'après (A)), où $\varkappa_v +:= \mathcal{O}_v/\mathfrak{m}_v$ est le corps résiduel de la +place $v$. \end{lem} \begin{proof} Pour ce qui est de (A), commençons par supposer $v(x) < 0$ et @@ -3662,8 +3671,8 @@ fini, elle est \emph{finie} (cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(1)). Ceci démontre (A). Passons à l'affirmation (B) : supposons qu'on ait $f_1 x_1 + \cdots + -f_n x_n$ avec $f_i \in k(x_n)$ non tous nuls. Posons $x := x_n$. On -a vu ci-dessus que $x$ était transcendant sur $k$, c'est-à-dire que +f_n x_n = 0$ avec $f_i \in k(x_n)$ non tous nuls. Posons $x := x_n$. +On a vu ci-dessus que $x$ était transcendant sur $k$, c'est-à-dire que les $f_i$ sont des fractions rationnelles en $x$. Quitte à chasser les dénominateurs, on peut supposer $f_i \in k[x]$ et que $x$ ne les divise pas tous. Soit $c_i = f_i(0)$ le terme constant de $f_i$ (non @@ -3674,6 +3683,24 @@ la valuation $v(c_j x_j) = v(x_j)$ est strictement plus petite que celle de n'importe quel autre terme dans cette somme (puisque $v(g_i) \geq 0$ et $v(x x_i) = v(x_n) + v(x_i) > v(x_n) \geq v(x_j)$), ce qui interdit que la somme puisse être nulle. Ceci démontre (B). + +Pour ce qui est de (C) : considérons des éléments $b_1,\ldots,b_n$ de +$\varkappa_v$ qui sont linéairement indépendants sur $k$, et soient +$y_i \in \mathcal{O}_v$ qui représente la classe $b_i \in \varkappa_v += \mathcal{O}_v/\mathfrak{m}_v$ : on aura montré (C) si on montre que +$y_1,\ldots,y_n$ sont linéairement indépendants sur $k(x)$. Supposons +qu'on ait $f_1 y_1 + \cdots + f_n y_n = 0$ avec $f_i \in k(x)$ non +tous nuls. On a vu en (A) que $x$ était transcendant sur $k$, +c'est-à-dire que les $f_i$ sont des fractions rationnelles en $x$. +Quitte à chasser les dénominateurs, on peut supposer $f_i \in k[x]$ et +que $x$ ne les divise pas tous. Soit $c_i = f_i(0) \in k$ le terme +constant de $f_i$ (non tous nuls, donc), mettons $f_i = c_i + x g_i$ +où $g_i \in k[x]$. On a $c_1 y_1 + \cdots + c_n y_n + g_1 x y_1 + +\cdots + g_n x y_n =0$. Tous les termes de cette somme sont dans +$\mathcal{O}_v$ : en réduisant modulo $\mathfrak{m}_v$, les $g_i x +y_i$ disparaissent car $x \in \mathfrak{m}_v$ par hypothèse, et les +$y_i$ se réduisent en $b_i$. On a donc $c_1 b_1 + \cdots + c_n b_n = +0$, une contradiction. Ceci démontre (C). \end{proof} \begin{prop} |