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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 1a116c9..58950c3 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -1681,7 +1681,7 @@ on choisit pour $c$ une valeur dans $k$ différente de tous les $(z_1 - x_1)/(x_2 - z_2)$ pour $z_1$ parcourant les racines de $f_1$ et $z_2$ parcourant celles de $f_2$ (autres que $x_2$), ce qui est possible vu que $k$ est infini et qu'on n'exclut qu'un nombre fini de valeurs, -alors la seule racine commune de $f_1$ et $g$ est $x_2$. Comme de +alors la seule racine commune de $f_2$ et $g$ est $x_2$. Comme de plus $f_1$ est séparable, cette racine est simple pour $f_1$ donc pour $h$, et ainsi $x_2$ est racine d'un polynôme $h$ dans $k(y)$ ayant une unique seule racine, de surcroît simple, dans un corps $L$ @@ -1690,8 +1690,8 @@ $x_2 \in k(y)$, et on a expliqué que cela conclut. \end{proof} \begin{cor} -Toute extension finie séparable d'un corps parfait est monogène. En -particulier, toute extension finie d'un corps parfait est monogène. +Toute extension finie séparable est monogène. En particulier, toute +extension finie d'un corps parfait est monogène. \end{cor} \begin{proof} Soit $k \subseteq K$ une extension finie séparable : d'après @@ -1707,8 +1707,9 @@ Soit $k$ un corps parfait et $k \subseteq K$ une extension de corps de type fini (cf. \ref{subfield-generated}). Alors il existe $x_1,\ldots,x_{d+1} \in K$ tels que $K = k(x_1,\ldots,x_{d+1})$ avec $x_1,\ldots,x_d$ algébriquement indépendants sur $k$ -(cf. \ref{definition-transcendence-basis}) et $x_{d+1}$ séparable sur -$k(x_1,\ldots,x_d)$ (cf. \ref{definition-separable-element}). +(cf. \ref{definition-transcendence-basis}) et $x_{d+1}$ algébrique +séparable sur $k(x_1,\ldots,x_d)$ +(cf. \ref{definition-separable-element}). \end{prop} \begin{proof} Supposons $K = k(w_1,\ldots,w_n)$ et soit $d = \degtrans_k(K)$ : @@ -1716,9 +1717,9 @@ quitte à permuter les $w_i$, on peut supposer que $w_1,\ldots,w_d$ sont algébriquement indépendants sur $K$ (cf. \ref{transcendence-basis-facts}(1b)). Alors tout $y \in K$ est algébrique sur $k(w_1,\ldots,w_d)$, donc on peut écrire -$f(w_1,\ldots,w_d,y) = 0$ avec $f \in k(t_1,\ldots,t_d)[y]$ +$f(w_1,\ldots,w_d,y) = 0$ avec $f \in k(t_1,\ldots,t_d)[u]$ irréductible, donc, quitte à chasser les dénominateurs, $f \in -k[t_1,\ldots,t_d,y]$ irréductible. +k[t_1,\ldots,t_d,u]$ irréductible. En particulier, on peut trouver un tel polynôme $f \in k[t_1,\ldots,t_{d+1}]$ irréductible tel que $f(w_1,\ldots,w_{d+1}) = |