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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index ce8237a..7447025 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -507,6 +507,15 @@ sur $k$, alors chaque extension $k(x_1,\ldots,x_{i-1}) \subseteq k(x_1,\ldots,x_i)$ est monogène algébrique, donc finie, donc leur composée est fini). +(1bis) En fait, sous ces conditions, on peut être un peu plus précis : +$k(x_1,\ldots,x_n)$ a une base comme $k$-espace vectoriel formée de +monômes en les $x_1,\ldots,x_n$ (c'est-à-dire d'expressions de la +forme $x_1^{r_1}\cdots x_n^{r_n}$). Ceci découle de la description de +la base donnée en \ref{remark-multiplicativity-of-degree} appliquée au +fait que chaque $k(x_1,\ldots,x_i)$ a une base sur +$k(x_1,\ldots,x_{i-1})$ formée des puissances de $x_i$ (jusqu'au degré +de celui-ci exclu). + (2) Une extension $k\subseteq K$ est finie si et seulement si elle est à la fois algébrique et de type fini. (Le sens « si » résulte de l'affirmation (1) ; pour le sens « seulement si », remarquer que pour @@ -525,20 +534,20 @@ quantités algébriques sur $k$ sont algébriques sur $k$. (4) Si $k\subseteq K$ et $K\subseteq L$ sont algébriques alors $k\subseteq L$ l'est (en effet, si $y \in L$, et si $x_1,\ldots,x_n -\in K$ sont les coefficients du polynôme minimal de $y$ sur $L$, alors +\in K$ sont les coefficients du polynôme minimal de $y$ sur $K$, alors $y$ est algébrique sur $k(x_1,\ldots,x_n)$, qui est une extension finie de $k$ d'après (1), donc $k(x_1,\ldots,x_n,y)$ est une extension finie de $k(x_1,\ldots,x_n)$ donc de $k$, donc $k(y)$ est une extension finie de $k$, donc $y$ est algébrique sur $k$). -\thingy L'observation (3) ci-dessus entraîne que si $k\subseteq K$ est -une extension de corps, l'extension de $k$ engendrée par tous les -éléments de $K$ algébriques sur $k$ est tout simplement -l'\emph{ensemble} de tous les éléments de $K$ algébriques sur $k$, -c'est-à-dire que cet ensemble est un corps, qui est manifestement la -plus grande extension intermédiaire algébrique sur $k$ : on l'appelle -la \textbf{fermeture algébrique} de $k$ dans $K$ (la précision -« dans $K$ » est importante). +\thingy\label{relative-algebraic-closure} L'observation (3) ci-dessus +entraîne que si $k\subseteq K$ est une extension de corps, l'extension +de $k$ engendrée par tous les éléments de $K$ algébriques sur $k$ est +tout simplement l'\emph{ensemble} de tous les éléments de $K$ +algébriques sur $k$, c'est-à-dire que cet ensemble est un corps, qui +est manifestement la plus grande extension intermédiaire algébrique +sur $k$ : on l'appelle la \textbf{fermeture algébrique} de $k$ +dans $K$ (la précision « dans $K$ » est importante). Si c'est précisément $k$, on dit que $k$ est \textbf{algébriquement fermé} dans $K$ : autrement dit, cela signifie que tout élément @@ -625,11 +634,11 @@ indépendants sur $L$. On a donc bien prouvé que $K$ et $L$ sont linéairement disjointes. \end{proof} -\thingy Lorsque $k \subseteq K$ et $k \subseteq L$ sont deux -extensions contenues dans une même troisième $M$, on appelle -\textbf{composé} des corps $K$ et $L$ le sous-corps de $M$ engendré -par $K$ et $L$, autrement dit $k(K \cup L) = K(L) = L(K)$, et on le -note $K.L$. +\thingy\label{definition-compositum} Lorsque $k \subseteq K$ et $k +\subseteq L$ sont deux extensions contenues dans une même +troisième $M$, on appelle \textbf{composé} des corps $K$ et $L$ le +sous-corps de $M$ engendré par $K$ et $L$, autrement dit $k(K \cup L) += K(L) = L(K)$, et on le note $K.L$. \danger Il faut prendre garde au fait que l'extension composée n'a de sens que si les deux extensions sont contenues dans une même troisième @@ -1182,7 +1191,7 @@ morphisme est surjectif.. L'intérêt principal de la proposition qu'on vient de démontrer est de montrer l'existence et l'unicité de la clôture algébrique : -\begin{defn} +\begin{defn}\label{definition-algebraic-closure} Soit $K$ un corps. On appelle \textbf{clôture algébrique} de $K$ une extension $K \subseteq L$ algébrique telle que tout polynôme de $K[t]$ soit scindés sur $L$. @@ -1215,7 +1224,7 @@ algébriquement clos. \end{proof} -\subsection{Éléments séparables, corps parfaits, théorème de l'élément primitif} +\subsection{Éléments et extensions séparables, corps parfaits, théorème de l'élément primitif} \thingy On rappelle que la \textbf{caractéristique} d'un corps $k$ est le générateur positif de l'idéal noyau de l'unique morphisme d'anneux @@ -1230,7 +1239,8 @@ $\Frob_p\colon k \to k$ définie par $x \mapsto x^p$, ou a $(x+y)^p = x^p + y^p$ et $(xy)^p = x^p y^p$ ; en particulier, il est injectif. On notera $k^p$ l'image de ce morphisme (cf. \ref{definition-perfect-field}), qui est donc un sous-corps -de $k$. +de $k$. Par exemple, $k^p[t]$ désigne l'anneau des polynômes dont les +coefficients sont des puissances $p$-ièmes. L'application $x \mapsto x^{p^e}$ est l'itérée $e$-ième du Frobenius et peut se noter indifféremment $\Frob_{p^e}$ ou $\Frob_p^e$. Son @@ -1257,12 +1267,13 @@ alors $e = 0$, et si $f$ est irréductible alors $f_0$ l'est aussi. suivant reviendra très souvent : si $g \in k[t]$ où $k$ est de caractéristique $p$, alors $g(t)^p = g^{\Frob}(t^p)$ où $g^{\Frob}$ désigne le polynôme obtenu en élevant chaque coefficient de $g$ à la -puissance $p$. En effet, si on appelle $c_n$ le coefficient -devant $t^n$ dans $g$, on a $(c_n t^n)^p = (c_n)^p (t^n)^p$. +puissance $p$ (c'est donc un élément de $k^p[t]$). En effet, si on +appelle $c_n$ le coefficient devant $t^n$ dans $g$, on a $(c_n t^n)^p += (c_n)^p (t^n)^p$. On a bien sûr de même $g(t)^{p^e} = g^{\Frob^e}(t^{p^e})$ où -$g^{\Frob^e}$ désigne le polynôme obtenu en élevant chaque coefficient -de $g$ à la puissance $p^e$. +$g^{\Frob^e} \in k^{p^e}[t]$ désigne le polynôme obtenu en élevant +chaque coefficient de $g$ à la puissance $p^e$. \begin{lem}\label{power-in-kp-lemma} Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$, et soit $h \in k[t]$ un @@ -1274,7 +1285,7 @@ Comme $i$ est premier avec $p$, on peut trouver une relation de Bézout $ui = 1 + vp$ avec $u,v\in\mathbb{N}$. On a alors $(h^i)^u = h\cdot (h^p)^v$ avec $h^i \in k^p[t]$ par hypothèse et $h^p \in k^p[t]$ d'après \ref{raising-polynomial-to-the-power-p}. On a donc $h \in -k^p(t)$ (comme quotient de $(h^i)^u$ par $(h^p)^v$) et $h \in k[t]$, +k^p(t)$ (comme quotient de $(h^i)^u$ par $(h^p)^v$), et $h \in k[t]$, et il suffit d'appliquer la remarque (triviale mais importante) que si $k_0 \subseteq k$ est une extension de corps alors $k_0(t) \cap k[t] = k_0[t]$. @@ -1285,8 +1296,8 @@ Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$, soit $f_0 \in k[t]$ unitaire irréductible, et soit $f(t) := f_0(t^{p^e})$ où $e>0$. Alors $f$ est réductible (i.e., n'est pas irréductible) si et seulement si les coefficients de $f_0$ (ou de façon équivalente, ceux de $f$) sont -des puissances $p$-ièmes, i.e., ssi $f_0 \in k^p[t]$. De plus, dans -ce cas, $f$ est en fait une puissance $p$-ième +des puissances $p$-ièmes, i.e., si et seulement si $f_0 \in k^p[t]$. +De plus, dans ce cas, $f$ est en fait une puissance $p$-ième (cf. \ref{raising-polynomial-to-the-power-p}). \end{prop} \begin{proof} @@ -1300,9 +1311,9 @@ Montrons la réciproque : supposons que les coefficients de $f_0$ ne soient pas tous des puissances $p$-ièmes, et on veut montrer que $f$ est irréductible. Par récurrence, on se ramène au cas $e=1$, c'est-à-dire $f(t) = f_0(t^p)$. Comme $\Frob_p$ est un isomorphisme -entre $k$ et $k^p$, il suffit de montrer que $\Frob_p(f) =: f^{\Frob}$ -est irréductible dans $k^p[t]$. Or on a $f^{\Frob} = f_0(t)^p$ comme -au paragraphe précédent : dans $k[t]$, il s'agit d'une factorisation +entre $k$ et $k^p$, il suffit de montrer que $f^{\Frob}$ est +irréductible dans $k^p[t]$. Or on a $f^{\Frob} = f_0(t)^p$ comme au +paragraphe précédent : dans $k[t]$, il s'agit d'une factorisation irréductible (car on a supposé $f_0$ irréductible) ; donc tout diviseur unitaire non-constant de $f^{\Frob}$ dans $k[t]$, et en particulier tout facteur irréductible de $f^{\Frob}$ dans $k^p[t]$, @@ -1310,18 +1321,24 @@ doit être de la forme $f_0^i$ pour un certain $1\leq i\leq p$. Mais si $f_0^i \in k^p[t]$ pour $i<p$, le lemme \ref{power-in-kp-lemma} montre que $f_0 \in k^p[t]$, et on a supposé le contraire : c'est donc que le seul facteur irréductible de $f^{\Frob}$ dans $k^p[t]$ -est $f_0^p$, donc que $f^{\Frob}$ est irréductible dans $k^p[t]$ donc -que $f$ l'est dans $k[t]$. +est $f_0^p = f^{\Frob}$ lui-même, donc que $f^{\Frob}$ est +irréductible dans $k^p[t]$ donc que $f$ l'est dans $k[t]$. \end{proof} \thingy\label{definition-separable-element} Lorsque $k \subseteq K$ est une extension de corps, un élément $x \in K$ algébrique sur $k$ est dit \textbf{séparable} (sur $k$) lorsque son polynôme minimal l'est. D'après ce qu'on a dit ci-dessus, en caractéristique $0$, tout -algébrique est séparable, et en caractéristique $p$, pour tout -algébrique $x$ il existe un $e$ tel que $x^{p^e}$ soit séparable et de -degré égal à l'entier $\deg(x)/p^e$ (notamment, si $\deg(x)$ n'est pas -multiple de $p$, alors $x$ est séparable). +algébrique est séparable ; et en caractéristique $p$, pour tout +algébrique $x$ il existe un $e$ unique tel que $x^{p^e}$ soit +séparable et de degré égal à l'entier $\deg(x)/p^e$, et en +particulier, si $\deg(x)$ n'est pas multiple de $p$, alors $x$ est +séparable. + +On remarquera que si $k \subseteq k' \subseteq K$ est une tour +d'extension, un élément $x\in K$ séparable sur $k$ est en particulier +séparable sur $k'$ (car son polynôme minimal sur $k'$ divise celui +sur $k$ et un polynôme divisant un polynôme séparable est séparable). \begin{prop}\label{separable-inseparable-dichotomy} Soit $k \subseteq K$ une extension de corps de caractéristique $p>0$, @@ -1351,43 +1368,19 @@ de $x$ sur $k$, et on a $\deg(f) = p\cdot \deg(f_0)$ donc $\deg(x) = p\cdot \deg(x^p)$. \end{proof} -\thingy On peut donner encore une autre condition équivalente au fait -qu'un élément $x \in K$ algébrique sur un sous-corps $k$ soit -séparable (en caractéristique $p>0$) : on vient de voir que cela -équivaut à $\deg(x^p) = \deg(x)$ ou à $k(x^p) = k(x)$ ; mais comme on -a de toute manière $[k(x):k] = [k^p(x^p) : k^p]$ (puisque le Frobenius -est un isomorphisme entre $k(x)$ et $k^p(x^p)$), la séparabilité -de $x$ équivaut aussi à $[k(x^p):k] = [k^p(x^p) : k^p]$, c'est-à-dire, +\thingy\label{linear-criterion-for-separability} On peut donner encore +une autre condition équivalente au fait qu'un élément $x \in K$ +algébrique sur un sous-corps $k$ soit séparable (en +caractéristique $p>0$) : on vient de voir que cela équivaut à +$\deg(x^p) = \deg(x)$ ou à $k(x^p) = k(x)$ ; mais comme on a de toute +manière $[k(x):k] = [k^p(x^p) : k^p]$ (puisque le Frobenius est un +isomorphisme entre $k(x)$ et $k^p(x^p)$), la séparabilité de $x$ +équivaut aussi à $[k(x^p):k] = [k^p(x^p) : k^p]$, c'est-à-dire, d'après \ref{linear-disjointness-and-degrees}, au fait que les extensions $k^p(x^p)$ et $k$ de $k^p$ sont linéairement disjointes -(cf. \ref{definition-linear-disjointness}). - -Avec ce critère, on démontre immédiatement la proposition suivante : - -\begin{prop}\label{separably-generated-algebraic-extension-is-separable} -Soit $k \subseteq K$ une extension de corps et $x\in K$ algébrique -séparable sur $k$. Alors tout $y \in k(x)$ est (algébrique) séparable -sur $k$. -\end{prop} -\begin{proof}[Démonstration directe] -Soit $d = \deg(x)$, si bien que $1,x,x^2,\ldots,x^{d-1}$ est une base -de $k(x)$ comme $k$-espace vectoriel. Écrivons $y^j = -\sum_{i=0}^{d-1} c_{i,j} x^i$ sur cette base, pour $0\leq j\leq d'-1$ -avec $d' = \deg(y)$ : le fait que $y$ soit de degré $d'$ entraîne que -$1,y,\ldots,y^{d'-1}$ sont linéairement indépendants sur $k$, -autrement dit la matrice des $c_{i,j}$ est de rang $d'$. Maintenant, -en élevant $y^j = \sum_{i=0}^{d-1} c_{i,j} x^i$ à la puissance $p$, on -trouve $y^{pj} = \sum_{i=0}^{d-1} c_{i,j}^p x^{pi}$. Comme $x$ est -séparable, $x^p$ est de degré $d$ et $1,x^p,\ldots,x^{p(d-1)}$ est une -base de $k(x)$ comme $k$-espace vectoriel. La matrice des $c_{i,j}^p$ -est de rang $d'$ car le Frobenius est un isomorphisme de $k$ sur $k^p$ -et que \emph{le rang d'une matrice ne dépend pas du corps sur lequel - on la considère}. Des trois dernières phrases, on déduit que -$1,y^p,\ldots,y^{p(d'-1)}$ sont linéairement indépendants sur $k$, -c'est-à-dire que $\deg(y^p) \geq d'$, l'inégalité dans le sens -contraire étant évidente on a $\deg(y^p) = \deg(y)$ et $y$ est -séparable. -\end{proof} +(cf. \ref{definition-linear-disjointness}). C'est cette façon de voir +les choses qui va inspirer l'énoncé et la démonstration +de \ref{linear-criterion-for-separable-algebraic-extensions}. \thingy\label{definition-separable-algebraic-extension} Une extension de corps $k \subseteq K$ algébrique est dite \textbf{séparable} (ou @@ -1395,40 +1388,127 @@ que $K$ est séparable sur / au-dessus de $k$) lorsque tout élément de $K$ est séparable sur $k$ (cf. \ref{definition-separable-element}). C'est, bien sûr, toujours le cas en caractéristique $0$. -La -proposition \ref{separably-generated-algebraic-extension-is-separable} -signifie ainsi que si $x$ est séparable sur $k$ alors $k(x)$ est -séparable (la réciproque est triviale). +\begin{prop}\label{linear-criterion-for-separable-algebraic-extensions} +Soit $k \subseteq K$ une extension de corps \emph{finie} de +caractéristique $p$ telle que $K^p$ engendre $K$ comme $k$-espace +vectoriel. Alors $K$ est séparable sur $k$. +\end{prop} +\begin{proof}[Démonstration utilisant \ref{linear-disjointness-and-degrees}] +On a $[K^p : k^p] = [K : k]$ car $\Frob$ est un isomorphisme de $K$ +sur $K^p$. Par hypothèse, $K = K^p.k$ +(cf. \ref{definition-compositum} pour la notation, et +cf. aussi \ref{compositum-generated-by-products}) : ainsi, $[K^p.k : + k] = [K^p : k^p]$, donc +d'après \ref{linear-disjointness-and-degrees} les extensions $K^p$ et +$k$ de $k^p$ sont linéairement disjointes. En particulier, si $y\in +K$, les extensions $k^p(y^p)$ et $k$ sont linéairement disjointes, ce +qui d'après \ref{linear-criterion-for-separability} implique que $y$ +est séparable sur $k$. +\end{proof} -\begin{prop} -Soit $k \subseteq K$ une extension algébrique. Elle est séparable si -et seulement si $K^p$ engendre $K$ comme $k$-espace vectoriel. +\begin{proof}[Démonstration directe (déroulée)] +Soit $d = [K:k]$ et soit $x_1,\ldots,x_d$ une base de $K$ comme +$k$-espace vectoriel. Soit $y \in K$ : on veut montrer que $y$ est +séparable sur $k$. Écrivons $y^j = \sum_{i=0}^{d-1} c_{i,j} x_i$ sur +cette base, pour $0\leq j\leq d'-1$ avec $d' = \deg(y)$ : le fait que +$y$ soit de degré $d'$ entraîne que $1,y,\ldots,y^{d'-1}$ sont +linéairement indépendants sur $k$, autrement dit la matrice des +$c_{i,j}$ est de rang $d'$. Maintenant, en élevant $y^j = +\sum_{i=0}^{d-1} c_{i,j} x_i$ à la puissance $p$, on trouve $y^{pj} = +\sum_{i=0}^{d-1} c_{i,j}^p x_d^p$. + +L'hypothèse que $K^p$ engendre $K$ comme $k$-espace vectoriel signifie +que tout élément de $K$ peut s'écrire comme combinaison linéaire +d'éléments de $K^p$ à coefficients dans $k$ ; comme les éléments de +$K^p$ peuvent eux-mêmes s'écrire comme combinaisons linéaires des +$x_1^p,\ldots,x_d^p$ à coefficients dans $k^p$ (donc dans $k$), on +voit que $x_1^p,\ldots,x_d^p$ engendrent $K$ comme $k$-espace +vectoriel, donc en sont une base (puisque $[K:k] = d$). + +Or la matrice des $c_{i,j}^p$ est de rang $d'$ car le Frobenius est un +isomorphisme de $k$ sur $k^p$ et que \emph{le rang d'une matrice ne + dépend pas du corps sur lequel on la considère}. Des trois +dernières phrases, on déduit que $1,y^p,\ldots,y^{p(d'-1)}$ sont +linéairement indépendants sur $k$, c'est-à-dire que $\deg(y^p) \geq +d'$, l'inégalité dans le sens contraire étant évidente on a $\deg(y^p) += \deg(y)$ et $y$ est séparable. +\end{proof} + +\begin{prop}\label{tower-of-finite-separable-extensions} +Soit $k \subseteq K$ une extension de corps. Si $x_1,\ldots,x_n$ sont +des éléments de $K$ tels que $x_i$ est algébrique séparable sur +$k(x_1,\ldots,x_{i-1})$ pour chaque $1\leq i\leq n$, alors +$k(x_1,\ldots,x_n)$ est séparable sur $k$. \end{prop} \begin{proof} -Si $K$ est séparable sur $k$, tout élément $x\in K$ est séparable -sur $k$, c'est-à-dire appartient à $k(x^p)$ donc appartient au -$k$-espace vectoriel engendré par les $x^{pi}$, donc notamment -par $K^p$. +En caractéristique $0$, il n'y a rien à prouver : plaçons-nous en +caractéristique $p > 0$. + +Comme $x_1$ est séparable sur $k$, on a $k(x_1) = k(x_1^p)$ ; comme +$x_2$ est séparable sur $k(x_1)$, on a $k(x_1,x_2) = k(x_1)(x_2) = +k(x_1)(x_2^p) = k(x_1^p)(x_2^p) = k(x_1^p,x_2^p)$, et en procédant +ainsi de suite on voit que $k(x_1,\ldots,x_n) = +k(x_1^p,\ldots,x_n^p)$. L'hypothèse +de \ref{linear-criterion-for-separable-algebraic-extensions} est donc +vérifiée (les monômes en $x_1^p,\ldots,x_n^p$ +engendrent $k(x_1,\ldots,x_n)$ comme $k$-espace vectoriel, +cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(1bis)), donc +$k(x_1,\ldots,x_n)$ est séparable sur $k$. +\end{proof} + +\begin{cor}\label{separably-generated-algebraic-extension-is-separable} +Soit $K = k(x_i)_{i\in I}$ avec les $x_i$ algébriques séparables +sur $k$. Alors tout $K$ est (algébrique) séparable sur $k$. +(Comparer avec \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(3).) -\textcolor{red}{...} +Concrètement, donc, les sommes, différences, produits et inverses de +quantités algébriques séparables sur $k$ sont algébriques séparables +sur $k$. +\end{cor} +\begin{proof} +Il s'agit de montrer que tout élément de $K$ est séparable sur $k$ : +comme tout élément de $K = k(x_i)_{i\in I}$ s'écrit en utilisant un +ensemble fini des $x_i$, i.e., appartient à $k(x_i)_{i\in J}$ pour $J +\subseteq I$ fini (cf. \ref{subfield-generated-is-quotients}), on peut +supposer que $J$ est fini, disons $J = \{1,\ldots,n\}$, bref $K = +k(x_1,\ldots,x_n)$. Chaque $x_i$ est séparable sur $k$ donc \textit{a + fortiori} sur $k(x_1,\ldots,x_{i-1})$ et le résultat découle +de \ref{tower-of-finite-separable-extensions}. \end{proof} -\begin{prop} +\begin{cor}\label{tower-of-separable-extensions-is-separable} Soit $k \subseteq K \subseteq L$ une tour d'extensions algébriques. Si $K$ est séparable sur $k$ et $L$ est séparable sur $K$, alors $L$ est séparable sur $k$ (la réciproque est claire). -\end{prop} + +(Comparer avec \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(4).) +\end{cor} \begin{proof} -La proposition précédente montre que $K^p$ engendre $K$ comme -$k$-espace vectoriel, et que $L^p$ engendre $L$ comme $K$-espace -vectoriel. Si $x \in L$, on peut écrire $x$ comme combinaison -linéaire à coefficients dans $K$ d'éléments de $L^p$, et les -coefficients peuvent eux-mêmes se réécrire comme combinaisons -linéaires à coefficients dans $k$ d'éléments de $K^p$ : on a donc -écrit $x$ comme combinaison linéaire à coefficients dans $k$ -d'éléments de $L^p$, et ceci montre que $L$ est séparable sur $k$. +Si $y\in L$ et si $x_1,\ldots,x_n \in K$ sont les coefficients du +polynôme minimal de $y$ sur $K$, alors $y$ est algébrique séparable +sur $k(x_1,\ldots,x_n)$ et $x_1,\ldots,x_n$ sont séparables sur $k$ : +le résultat découle de \ref{tower-of-finite-separable-extensions}. \end{proof} +\thingy\label{separable-closure} (Comparer +avec \ref{relative-algebraic-closure}.) La +proposition \ref{separably-generated-algebraic-extension-is-separable} +entraîne que si $k\subseteq K$ est une extension de corps, l'extension +de $k$ engendrée par tous les éléments de $K$ algébriques séparables +sur $k$ est tout simplement l'\emph{ensemble} de tous les éléments +de $K$ algébriques séparables sur $k$, c'est-à-dire que cet ensemble +est un corps, qui est manifestement la plus grande extension +intermédiaire algébrique séparable sur $k$ : on l'appelle la +\textbf{fermeture [algébrique] séparable} de $k$ dans $K$. + +La fermeture séparable de $k$ dans une clôture algébrique de $k$ +(cf. \ref{definition-algebraic-closure}) s'appelle \textbf{clôture + séparable} de $k$. Si $k$ est égal à sa clôture séparable (i.e., +séparablement fermé dans une clôture algébrique), on dit que $k$ est +\textbf{séparablement clos}. + +\bigbreak + \begin{defn}\label{definition-perfect-field} Un corps $k$ est dit \textbf{parfait} lorsque \emph{soit} $k$ est de caractéristique $0$, \emph{soit} $k$ est de caractéristique $p$ et le @@ -1464,11 +1544,25 @@ que $r=1$ donc $y\in k$. Bien sûr, on peut aussi dire qu'un corps $k$ est parfait si et seulement si toute extension algébrique de $k$ est séparable -(cf. \ref{definition-separable-algebraic-extension}). +(cf. \ref{definition-separable-algebraic-extension} +et \ref{separably-generated-algebraic-extension-is-separable}). + +\begin{prop} +Si $k \subseteq K$ est une extension algébrique avec $k$ parfait, +alors $K$ est aussi parfait. +\end{prop} +\begin{proof} +D'après \ref{field-is-perfect-iff-every-algebraic-is-separable}, il +suffit de montrer que tout algébrique sur $K$ est séparable. Mais un +algébrique sur $K$ est en particulier algébrique sur $k$ +(cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(4)), donc de nouveau +d'après \ref{field-is-perfect-iff-every-algebraic-is-separable} il est +séparable sur $k$ donc sur $K$. +\end{proof} \begin{prop}[théorème de l'élément primitif]\label{primitive-element-theorem} Soit $K = k(x_1,\ldots,x_n)$ avec $x_1,\ldots,x_n$ algébriques sur $k$ -et $x_2,\ldots,x_n$ séparables sur $k$ (on ne demande pas que $x_1$ +et $x_2,\ldots,x_n$ séparables sur $k$ (on ne suppose pas que $x_1$ soit séparable). Alors l'extension $k\subseteq K$ est monogène, c'est-à-dire qu'il existe $y \in K$ tel que $K = k(y)$. \end{prop} @@ -1511,32 +1605,19 @@ $x_2 \in k(y)$, et on a expliqué que cela conclut. \end{proof} \begin{cor} -Toute extension finie d'un corps parfait est monogène. +Toute extension finie séparable d'un corps parfait est monogène. En +particulier, toute extension finie d'un corps parfait est monogène. \end{cor} \begin{proof} -Soit $k$ un corps parfait, $k \subseteq K$ une extension finie : -d'après \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(2), elle est engendrée -par un nombre fini d'éléments algébriques, ceux-ci sont séparables -sur $k$ puisque $k$ est parfait, et d'après -\ref{primitive-element-theorem}, l'extension est monogène. -\end{proof} - -\begin{prop} -Si $k \subseteq K$ est une extension algébrique avec $k$ parfait, -alors $K$ est aussi parfait. -\end{prop} -\begin{proof} -D'après \ref{field-is-perfect-iff-every-algebraic-is-separable}, il -suffit de montrer que tout algébrique sur $K$ est séparable. Mais un -algébrique sur $K$ est en particulier algébrique sur $k$ -(cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(4)), donc de nouveau -d'après \ref{field-is-perfect-iff-every-algebraic-is-separable} il est -séparable sur $k$, et comme son polynôme minimal sur $K$ divise celui -sur $k$, il est séparable. +Soit $k \subseteq K$ une extension finie séparable : d'après +\ref{basic-facts-algebraic-extensions}(2), elle est engendrée par un +nombre fini d'éléments algébriques, ceux-ci sont séparables sur $k$ +par définition, et d'après \ref{primitive-element-theorem}, +l'extension est monogène. Si $k$ est parfait, toute extension +algébrique de $k$ est séparable. \end{proof} % TODO: -% * Extensions séparables, composées, sommes, produits. % * Espace projectif, Nullstellensatz, lemme de Zariski. % * Différentielles. % * Valuations. Clôture intégrale ? |