diff options
| -rw-r--r-- | notes-accq205.tex | 58 |
1 files changed, 50 insertions, 8 deletions
diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 104c9ae..d067469 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -489,14 +489,15 @@ est transcendant, alors $[k(x):k]$ est infini. En particulier, on a montré que : \emph{l'extension monogène $k\subseteq k(x)$ est finie si et seulement si $x$ est algébrique sur $k$}. -\thingy On aura également besoin du fait que si $k \subseteq K -\subseteq L$ sont deux extensions imbriquées alors -$[L:k] = [K:k] \, [L:K]$ (au sens où le membre de gauche est fini si -et seulement si les deux facteurs du membre de droite le sont, et dans -ce cas leur produit lui est égal). Cela résulte du fait plus précis -que si $(x_i)_{i\in I}$ est une $k$-base de $K$ et $(y_j)_{j\in J}$ -une $K$-base de $L$, alors $(x_i y_j)_{(i,j)\in I\times J}$ est une -$k$-base de $L$ (vérification aisée). +\thingy\label{remark-multiplicativity-of-degree} On aura également +besoin du fait que si $k \subseteq K \subseteq L$ sont deux extensions +imbriquées alors $[L:k] = [K:k] \, [L:K]$ (au sens où le membre de +gauche est fini si et seulement si les deux facteurs du membre de +droite le sont, et dans ce cas leur produit lui est égal). Cela +résulte du fait plus précis que si $(x_i)_{i\in I}$ est une $k$-base +de $K$ et $(y_j)_{j\in J}$ une $K$-base de $L$, alors $(x_i +y_j)_{(i,j)\in I\times J}$ est une $k$-base de $L$ (vérification +aisée). \thingy\label{basic-facts-algebraic-extensions} Les faits suivants sont à noter : @@ -598,6 +599,32 @@ on a $y_j + \sum_{i=r+1}^n c_{i,j} y_i = 0$ pour chaque $j\leq r$, ce qui contredit l'indépendance linéaire des $y_i$ sur $L$. \end{proof} +\begin{prop}\label{linear-disjointness-with-basis} +Soient $k \subseteq K$ et $k \subseteq L$ deux extensions contenues +dans une même troisième $M$, et soit $(v_j)$ une base de $K$ comme +$k$-espace vectoriel. Alors $K$ et $L$ sont linéairement disjointes +si et seulement si $(v_i)$ est encore linéairement indépendante sur +$L$ quand on la voit comme une famille d'éléments de $M$. +\end{prop} +\begin{proof} +La nécessité (« seulement si ») fait partie de la définition des +extensions linéairement disjointes appliquée à la base $(v_i)$. +Montrons la suffisance. Pour cela, soit $x_1,\ldots,x_n$ des éléments +de $K$ linéairement indépendants sur $k$, et soient $v_1,\ldots,v_m$ +les éléments de la base qui interviennent dans l'écriture des $x_j$. +On peut écrire $x_j = \sum_{i=1}^m c_{i,j} v_j$ avec $c_{i,j} \in k$. +Le fait que les $x_j$ soient linéairement indépendants signifie +exactement que la matrice des $c_{i,j}$ a rang $n$. Mais \emph{le + rang d'une matrice ne dépend pas du corps sur lequel on la + considère}, si bien qu'elle a aussi rang $n$ quand on la voit comme +une matrice à coefficients dans $L$ : comme par hypothèse les +$v_1,\ldots,v_m$ vus comme des éléments de $M$ sont linéairement +indépendants sur $L$, ceci implique que les $x_j = \sum_{i=1}^m +c_{i,j} v_j$ vus comme des éléments de $M$ sont eux aussi linéairement +indépendants sur $L$. On a donc bien prouvé que $K$ et $L$ sont +linéairement disjointes. +\end{proof} + \thingy Lorsque $k \subseteq K$ et $k \subseteq L$ sont deux extensions contenues dans une même troisième $M$, on appelle \textbf{composé} des corps $K$ et $L$ le sous-corps de $M$ engendré @@ -671,6 +698,21 @@ engendré dans $K.L$ par les $(v_j)$, c'est-à-dire que ceux-ci sont générateurs, et finalement sont une base de $K.L$. \end{proof} +\thingy En particulier, dans les conditions de la proposition +ci-dessus, on a $[K.L : L] = [K : k]$, et +d'après \ref{remark-multiplicativity-of-degree} on a aussi $[K.L : k] += [K : k] \cdot [L : k]$. + +Réciproquement, si $[K.L : L] = [K : k]$ (ou, ce qui revient au même, +$[K.L : k] = [K : k] \cdot [L : k]$) pour deux extensions +\emph{finies} $k \subseteq K$ et $k \subseteq L$ contenues dans une +même troisième, on peut considérer une base de $K$ comme $k$-espace +vectoriel, qui, d'après \ref{compositum-generated-by-products}, +engendre $K.L$ comme $L$-espace vectoriel, donc en est une base +puisqu'elle a la bonne dimension. +D'après \ref{linear-disjointness-with-basis}, ceci assure que $K$ +et $L$ sont linéairement disjointes. + \begin{prop}\label{linear-disjointness-of-algebraic-and-transcendental} Soit $k \subseteq K$ une extension de corps, et $t_1,\ldots,t_n$ des indéterminées. Alors les extension $k\subseteq K$ et $k\subseteq |