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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index db4811b..eb62a8c 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -496,8 +496,14 @@ suivants se produit : indéterminée (i.e., de considérer $x$ comme une indéterminée). \item Soit le noyau de $\varphi$ est engendré par un unique polynôme unitaire $\mu_x\in k[t]$, qu'on appelle le \defin{polynôme minimal} - de $x$, et alors $x$ est dit \defin[algébrique (élément)]{algébrique} (ou - \defin[entier (élément)]{entier}) sur $k$. Alors l'image $k[x]$ de $\varphi$ + de $x$, et alors $x$ est dit \defin[algébrique + (élément)]{algébrique} (ou \defin[entier algébrique + (élément)]{entier [algébrique]})\footnote{Les termes « algébrique » + et « entier [algébrique] » sont synonymes au-dessus d'un corps + puisque tout polynôme peut être rendu unitaire en divisant par le + coefficient dominant ; sur un anneau, la notion d'élément entier + [algébrique] se comporte généralement mieux.} sur $k$. + Alors l'image $k[x]$ de $\varphi$ (cf. \ref{subalgebra-generated-is-polynomials}) s'identifie à $k[t]/(\mu_x)$, une $k$-algèbre de dimension $\deg\mu_x$ finie sur $k$, qu'on appelle le \defin[degré (d'un élément)]{degré} de $x$ ; mais comme $k[x]$ @@ -3513,14 +3519,15 @@ signifie bien sûr exactement que $x$ a une valuation plus grande que $y$ et réciproquement. Il s'agit là d'une relation d'équivalence sur $K$ : les classes d'équivalences des éléments non nuls s'appellent les \emph{valuations} : on notera $v_R(x)$ ou simplement $v(x)$ pour -la valuation de $x$ ; la classe de $0$ sera mise à part et +la valuation de $x$ ; la classe de $0 \in R$ sera mise à part et notée $\infty$ (on écrira $v(0) = \infty$ mais on ne considère généralement pas qu'il s'agisse d'une valuation). La définition d'un anneau de valuation fait qu'on a défini une relation d'ordre \emph{total} sur l'ensemble des valuations (plus $\infty$ qui est le plus grand élément). -On définit $v(x)+v(y)$ comme $v(xy)$ et on note $0$ pour $v(1)$ : +On définit $v(x)+v(y)$ comme $v(xy)$ et on note $0$ pour $v(1)$ +(ou $v(c)$ pour n'importe quel $c\in R^\times$) : cette définition a bien un sens comme on le vérifie facilement, et fait de l'ensemble des valuations (sans compter le symbole spécial $\infty$) un \emph{groupe}, appelé \textbf{groupe des @@ -3642,9 +3649,139 @@ transcendance $1$.) On notera parfois $\mathscr{V}_K$ (ou, s'il faut être plus explicite, $\mathscr{V}_{K/k}$) l'ensemble des $k$-places de $K$ +\begin{prop}\label{existence-of-valuations} +Soit $K$ un corps, soit $A \subseteq K$ un sous-anneau et soit +$\mathfrak{p}$ un idéal premier +(cf. \ref{regular-elements-and-prime-ideals}) de $A$. Alors il existe +un anneau de valuation $R$ de $K$ tel que $A \subseteq R \subseteq K$ +et que $\mathfrak{m} \cap A = \mathfrak{p}$ en notant $\mathfrak{m}$ +l'idéal maximal de $R$ (cf. \ref{valuation-rings-are-local-rings}). +\end{prop} +\begin{proof} +Soit $A'$ l'ensemble des quotients $\frac{a}{q}$ avec $a\in A$ et $q +\not\in \mathfrak{p}$ : on rappelle que le produit de deux éléments +qui ne sont pas dans $\mathfrak{p}$ n'est pas dans $\mathfrak{p}$, ce +qui permet de voir que $A'$ est stable par addition et multiplication +(en utilisant les formules usuelles $\frac{a}{q} + \frac{a'}{q'} = +\frac{aq'+a'q}{qq'}$ et $\frac{a}{q} \cdot \frac{a'}{q'} = +\frac{aa'}{qq'}$) ; il contient bien sûr $0$ et $1$ et est donc un +sous-anneau de $K$ vérifiant $A \subseteq A' \subseteq K$. L'idéal +$\mathfrak{p}'$ de $A'$ formé des $\frac{p}{q}$ avec $p\in +\mathfrak{p}$ et $q\not\in \mathfrak{p}$ est maximal et est même +l'unique idéal maximal de $A'$ (tout élément qui n'est pas +dans $\mathfrak{p}'$ est inversible dans $A'$ par construction ; on +pourrait remarquer au passage que le corps $A'/\mathfrak{p}'$ est le +corps des fractions de $A/\mathfrak{p}$) ; notons par ailleurs que +$\mathfrak{p}' \cap A = \mathfrak{p}$ (car si $\frac{p}{q} =: a \in A$ +avec les notations d'avant, $p = aq \in \mathfrak{p}$ implique $a \in +\mathfrak{p}$ vu que $q \not\in \mathfrak{p}$). + +On remplace maintenant $A$ par $A'$ et $\mathfrak{p}$ +par $\mathfrak{p}'$ : comme on vient de le voir, ceci permet de +supposer que $A$ est un anneau \emph{local}, dont l'unique idéal +maximal est noté $\mathfrak{p}$. + +Soit $\mathscr{F}$ l'ensemble des sous-anneaux $R$ de $K$ contenant +$A$ et tels que $1 \not\in \mathfrak{p}R$ (où $\mathfrak{p}R$ est +l'idéal de $R$ engendré par $\mathfrak{p}$). Alors $\mathscr{F}$ est +non vide (il contient $A$) et si $\mathscr{T}$ est une partie +de $\mathscr{F}$ totalement ordonnée par l'inclusion (=: chaîne) alors +$R := \bigcup_{S\in\mathscr{T}} S$ est encore dans $\mathscr{F}$ (la +réunion d'une chaîne de sous-anneaux est un sous-anneau pour la même +raison que dans la preuve de \ref{existence-maximal-ideals}, ce +sous-anneau contient évidemment $A$, et si on pouvait écrire $1$ comme +combinaison linéaire à coefficients dans $R$ d'éléments +de $\mathfrak{p}$, ces coefficients seraient déjà dans un $S$ +de $\mathscr{T}$, une contradiction). Ainsi, le +principe \ref{hausdorff-maximal-principle} s'applique et il existe $R$ +maximal pour l'inclusion. On va montrer que $R$ répond au problème +posé. + +Tout d'abord, vérifions que $R$ est un anneau local : comme +$\mathfrak{p}R \neq R$ par hypothèse, il est inclus +(cf. \ref{existence-maximal-ideals}) dans un idéal +maximal $\mathfrak{m}$. Si on répète la construction du premier +paragraphe de cette preuve, on peut considérer l'anneau $R'$ des +quotients $\frac{a}{q}$ avec $a\in R$ et $q\not\in\mathfrak{m}$ : la +maximalité de $R$ impose qu'en fait $R' = R$ c'est-à-dire que tout +élément n'appartenant pas à $\mathfrak{m}$ est inversible dans $R$. +L'idéal maximal $\mathfrak{m}$ est donc unique, i.e., $R$ est un +anneau local, comme annoncé. + +De plus, on a $\mathfrak{m} \cap A = \mathfrak{p}$ puisque l'inclusion +$\supseteq$ est claire et que $\mathfrak{p}$ est un idéal maximal +de $A$. Il reste simplement à vérifier que $R$ est un anneau de +valuation. + +Si $x \in K$ n'appartient pas à $R$, alors $R[x]$ est un sous-anneau +de $K$ contenant $R$ (donc $A$) et strictement plus grand que $R$ : +par maximalité de ce dernier, c'est que $1 \in \mathfrak{p}R[x]$, +c'est-à-dire qu'on peut écrire $1 = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n$ +avec $a_i \in \mathfrak{p}R$, et en particulier $a_i \in +\mathfrak{m}$. Mais $1 - a_0 \not\in \mathfrak{m}$ est inversible +dans $R$ puisque $R$ est local, donc on peut multiplier l'égalité +précédente par son inverse, et quitte à appeler $b_i = a_i/(1-a_0)$, +on a $1 = b_1 x + \cdots + b_n x^n$ avec $b_i \in \mathfrak{m}$. +Choisissons une telle relation avec $n$ le plus petit possible. De +même, si $x^{-1}$ n'appartient pas à $R$, on choisit une relation $1 = +c_1 x^{-1} + \cdots + c_m x^{-m}$ avec $c_i \in \mathfrak{m}$ et $m$ +le plus petit possible. Sans perte de généralité, on peut +supposer $n\geq m$ : alors quitte à multiplier la dernière relation +par $b_n x^n$ et la soustraire à la précédente, on obtient une +relation $1 = b'_1 x + \cdots + b'_{n-1} x^{n-1}$, toujours avec $b'_i +\in \mathfrak{m}$, ce qui contredit la minimalité de $n$. On a donc +bien montré que $x \in K$ implique soit $x\in R$ soit $x^{-1} \in R$. +\end{proof} + +\begin{prop}\label{valuation-rings-and-integral-closure} +Soit $K$ un corps et soit $A \subseteq K$ un sous-anneau. Alors +l'intersection $B$ de tous les anneaux de valuations de $K$ +contenant $A$ coïncide exactement avec l'ensemble des éléments $x \in +K$ qui sont \defin[entier (élément)]{entiers [algébriques]} sur $A$ au +sens où il existe un $f \in A[t]$ \emph{unitaire} non constant tel que +$f(x) = 0$. + +(Cet ensemble $B$, qui est donc un sous-anneau de $K$, s'appelle la +\defin{fermeture intégrale} de $A$ dans $K$, ou \defin{clôture + intégrale} lorsque $K$ est le corps des fractions de $A$.) + +En particulier, si $k$ est un sous-corps de $K$, alors l'intersection +de tous les anneaux de valuations de $K$ au-dessus de $k$ est la +fermeture algébrique (cf. \ref{relative-algebraic-closure}) de $k$ +dans $K$. +\end{prop} +\begin{proof} +Montrons d'abord que si $x \in K$ est entier sur $A$ alors $x$ +appartient à n'importe quel anneau de valuation $R$ de $K$ +contenant $A$. Or si $x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n = 0$ avec $a_i +\in A$ (et notamment $a_i \in R$), on ne peut pas avoir $v_R(x) < 0$ +car on a $v(x^i) = i\,v(x)$, et si $a \in R$, comme $v(a) \geq 0$, on +a $v(a x^i) \geq i\,v(x)$ ; par conséquent, si on a une relation $x^n ++ a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n = 0$, la valuation du terme $x^n$ est +$n\,v(x)$ donc strictement plus petite que celle de n'importe quel +autre terme de la somme, ce qui interdit qu'elle puisse être nulle (on +utilise \ref{valuation-ring-versus-valuation-function} et le cas +d'égalité dans (ii)). Ceci montre une inclusion. + +Montrons réciproquement que si $x$ n'est pas entier sur $A$ alors il +existe un anneau de valuation de $K$ contenant $A$ auquel $x$ +n'appartient pas. Pour cela, posons $y = x^{-1} \in K$, et +considérons l'anneau $A[y]$ qu'il engendre avec $A$ et l'idéal $y +A[y]$ qu'il engendre dans cet anneau. On a $1 \not\in y A[y]$ sans +quoi il y aurait une relation du type $1 = a_1 y + \cdots + a_n y^n$, +donc $x^n = a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n$ et $x$ serait entier sur $A$, +or on a supposé le contraire. L'idéal $y A[y]$ est donc strict et il +existe donc (cf. \ref{existence-maximal-ideals}) un idéal maximal +$\mathfrak{p}$ de $A[y]$ le contenant (donc contenant $y$). +D'après \ref{existence-of-valuations}, il existe $R$ anneau de +valuation de $K$ contenant $A[y]$ et dont l'idéal maximal +contienne $\mathfrak{p}$. En particulier, $v_R(y) > 0$, donc $v_R(x) +< 0$, ce qui signifie $x \not\in R$, ce qu'on voulait montrer. +\end{proof} + \begin{prop}\label{discrete-valuation-rings-are-principal} -Soit $\mathcal{O}$ un anneau de valuation discrète, dont on note -$\mathfrak{m}$ l'idéal maximal +Soit $\mathcal{O}$ un anneau de valuation \emph{discrète}, dont on +note $\mathfrak{m}$ l'idéal maximal (cf. \ref{valuation-rings-are-local-rings}) et $v$ la valuation. Alors : \begin{itemize} @@ -3679,10 +3816,9 @@ L'existence de $t$ est simplement une conséquence de la définition de la valuation (ou de l'élément $1$ dans le groupe des valeurs). Montrons maintenant le (ii). Si $v(x) = r$ alors $u := x/t^r$ est de -valuation nulle, donc il est dans $\mathcal{O}$ et son inverse -dans $K$ est aussi dans $\mathcal{O}$, c'est-à-dire que $u$ est -dans $\mathcal{O}^\times$. Réciproquement, si $x = u t^r$, on a $v(x) -= v(u) + r v(t) = r$ puisque $v(u)=0$ et $v(t)=1$. +valuation nulle, c'est-à-dire dans $\mathcal{O}^\times$. +Réciproquement, si $x = u t^r$, on a $v(x) = v(u) + r v(t) = r$ +puisque $v(u)=0$ et $v(t)=1$. Remarquons que les multiples de $u t^r$ dans $\mathcal{O}$ sont les éléments de la forme $uu' t^{r+r'}$ c'est-à-dire les éléments de @@ -3846,6 +3982,16 @@ On dira symétriquement que $f$ a un \defin[zéro (d'une que $f(v) = 0$ (le $0$ de $\varkappa_v$ étant défini comme l'idéal $\mathfrak{m} := \{x\in \mathcal{O}_v : v(x)>0\}$). +La valuation $v(f)$ peut également être appelée \defin{multiplicité} +du zéro de $f$ en $v$ (même si cette terminologie est un peu abusive +ou bizarre si en fait $v(f)<0$), et inversement, au moins si $v(f)<0$, +l'entier $-v(f)$ peut être appelé multiplicité du pôle de $f$ en $v$. + +On rappelle qu'on a donné le nom d'\defin{uniformisante} en $v$ à un +$f \in K$ tel que $v(f) = 1$ (c'est-à-dire, avec la terminologie qu'on +vient d'introduire, une fonction qui a un zéro d'ordre exactement $1$ +en $v$). On parle aussi de \defin{paramètre local} pour $K$ en $v$. + |