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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 9c4ad51..0f8e4c8 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -92,7 +92,8 @@ aussi que $k$ est un sous-corps de $K$. note $k(x)$ l'extension de $k$ engendrée par $x$, c'est-à-dire le plus petit sous-corps de $K$ contenant $k$ et $x$ (i.e., l'intersection de tous les sous-corps de $K$ contenant $k$ et $x$, qui vérifie elle-même -cette propriété). +cette propriété). On dira aussi que $k \subseteq k(x)$ est une +extension \textbf{monogène}. \danger On prendra garde au fait que la même notation $k(x)$ peut désigner soit l'extension de $k$ engendrée par $x$ dans un corps $K$ @@ -111,8 +112,8 @@ une indéterminée $x$ sur $k$. existe un unique morphisme $\varphi\colon k[t] \to K$ (où $k[t]$ est l'anneau des polynômes en une indéterminée $t$ sur $k$) envoyant $t$ sur $x$ (c'est-à-dire, envoyant $P$ sur $P(x)$ pour chaque $P \in -k[t]$). Le noyau de $\varphi$ est un idéal de $k[t]$. Deux cas -peuvent se produire : +k[t]$). Le noyau de $\varphi$ est un idéal de $k[t]$. Exactement +l'un des deux cas suivants se produit : \begin{itemize} \item soit $\varphi$ est injectif, auquel cas on dit que $x$ est \textbf{transcendant} sur $k$ : dans ce cas, $\varphi$ se prolonge @@ -132,6 +133,55 @@ peuvent se produire : de plus, le polynôme $\mu_x$ est irréductible dans $k[t]$ (sans quoi on aurait deux éléments dont le produit est nul dans $K$). \end{itemize} +On remarquera que les éléments de $k$ eux-mêmes sont exactement les +algébriques de degré $1$ sur $k$. + +\thingy La dichotomie décrite ci-dessus admet une sorte de +réciproque : d'une part, si $t$ est une indéterminée, alors dans +$k(t)$ (le corps des fractions rationnelles) l'élément $t$ est bien +transcendant sur $k$ (en fait, toute fraction rationnelle non +constante est transcendante sur $k$) ; d'autre part, si $\mu$ est un +polynôme unitaire irréductible sur $k$, alors $k[t]/(\mu)$ est une +extension de corps de $k$ dans laquelle la classe $x := \bar t$ de +l'indéterminée $t$ est algébrique de polynôme minimal $\mu$ : ce corps +$k(x) = k[t]/(\mu)$ est appelé \textbf{corps de rupture} du polynôme +irréductible $\mu$ sur $k$ (lorsque $\mu$ n'est pas unitaire, on peut +encore parler de corps de rupture quitte à diviser par le coefficient +dominant ; en revanche, l'irréductibilité est essentielle), et il va +de soi que le corps de rupture coïncide avec $k$ si et seulement si +$\mu$ est de degré $1$ (précisément, si $\mu = t-a$ alors l'élément $x +:= \bar t$ de $k(x) = k[t]/(\mu)$ s'identifie avec $a \in k$). + +\thingy Une extension de corps $k\subseteq K$ est dite +\textbf{algébrique} lorsque chaque élément de $K$ est algébrique +sur $k$. + +Un corps $k$ est dit \textbf{algébriquement clos} lorsque la seule +extension algébrique de $k$ est $k$ lui-même : d'après les remarques +précédentes, cela revient à dire que les seuls polynômes unitaires +irréductibles dans $k[t]$ sont les $t-a$. + +\thingy Si $k\subseteq K$ est une extension de corps, on peut +considérer $K$ comme un $k$-espace vectoriel, et sa dimension (finie +ou infinie) est notée $[K:k]$ et appelée \textbf{degré} de +l'extension. Une extension de degré fini est aussi dite +\textbf{finie}. + +Il résulte de l'identification de $k(x)$ à $k[t]/(\mu_x)$ que, si $x$ +est un élément algébrique sur $k$, alors $[k(x):k]$ est fini et égal +au degré $\deg\mu_x =: \deg(x)$ de $x$. \textit{A contrio}, si $x$ +est transcendant, alors $[k(x):k]$ est infini. En particulier, on a +montré que : \emph{l'extension monogène $k\subseteq k(x)$ est finie si + et seulement si $x$ est algébrique sur $k$}. + +On aura également besoin du fait que si $k \subseteq K \subseteq L$ +sont deux extensions imbriquées alors $[L:k] = [K:k]\, [L:K]$ (au sens +où le membre de gauche est fini si et seulement si les deux facteurs +du membre de droite le sont, et dans ce cas leur produit lui est +égal). Cela résulte du fait plus précis que si $(x_\iota)_{\iota\in + I}$ est une $k$-base de $K$ et $(y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ une +$K$-base de $L$, alors $(x_\iota y_\lambda)_{(\iota,\lambda)\in + I\times\Lambda}$ est une $k$-base de $L$ (vérification aisée). % % |