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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index d1134b0..25a8d75 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -385,13 +385,13 @@ suivants se produit : On remarquera que les éléments de $k$ eux-mêmes sont exactement les algébriques de degré $1$ sur $k$. -\thingy La dichotomie décrite ci-dessus admet une sorte de -réciproque : d'une part, si $t$ est une indéterminée, alors dans -$k(t)$ (le corps des fractions rationnelles) l'élément $t$ est bien -transcendant sur $k$ (en fait, toute fraction rationnelle non -constante est transcendante sur $k$) ; d'autre part, si $\mu$ est un -polynôme unitaire irréductible sur $k$, alors $k[t]/(\mu)$ est une -$k$-algèbre de dimension finie intègre donc +\thingy\label{monogeneous-extensions-dichotomy-bis} La dichotomie +décrite ci-dessus admet une sorte de réciproque : d'une part, si $t$ +est une indéterminée, alors dans $k(t)$ (le corps des fractions +rationnelles) l'élément $t$ est bien transcendant sur $k$ (en fait, +toute fraction rationnelle non constante est transcendante sur $k$) ; +d'autre part, si $\mu$ est un polynôme unitaire irréductible sur $k$, +alors $k[t]/(\mu)$ est une $k$-algèbre de dimension finie intègre donc (cf. \ref{finite-integral-algebra-is-a-field}) une extension de corps de $k$ dans laquelle la classe $x := \bar t$ de l'indéterminée $t$ est algébrique de polynôme minimal $\mu$ : ce corps $k(x) = k[t]/(\mu)$ @@ -706,6 +706,108 @@ algébrique sur $k(x_i,y_j)$ (cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(4)). \end{proof} + +\subsection{Corps de rupture, corps de décomposition, clôture algébrique} + +\begin{defn} +Soit $K$ un corps et $\mu \in K[t]$ un polynôme irréductible. On +appelle \textbf{corps de rupture} de $\mu$ sur $K$ une extension $K +\subseteq L$ telle que $\mu$ admette une racine $x$ dans $K$ pour +laquelle $L = K(x)$. (Bien sûr, $\mu$ est alors le polynôme minimal +de $x$ sur $K$.) +\end{defn} + +On a déjà introduit le terme « corps de rupture » +en \ref{monogeneous-extensions-dichotomy-bis}, mais il s'agit bien de +la même notion, plus précisément : +\begin{prop}\label{existence-uniqueness-rupture-field} +Soit $K$ un corps et $\mu \in K[t]$ un polynôme irréductible. Alors : +(1) il existe un corps de rupture de $\mu$ sur $K$, à savoir +$K[t]/(\mu)$. (2) Si $K \subseteq L$ est un corps de rupture de $\mu$ +sur $K$ avec $L = K(x)$, et si $K \subseteq L'$ est une extension dans +laquelle $\mu$ a une racine $x'$, alors il existe un unique morphisme +de corps\footnote{On rappelle qu'un morphisme de corps est + automatiquement injectif.} $L \to L'$ qui soit l'identité sur $K$ et +envoie $x$ sur $x'$. (3) Si en outre $K \subseteq L'$ est aussi un +corps de rupture de $\mu$ sur $K$, le morphisme en question est un +isomorphisme ; autrement dit : si $K \subseteq L$ et $K \subseteq L'$ +sont deux corps de rupture de $\mu$ sur $K$ avec $L = K(x)$ et $L' = +K(x')$, il existe un unique morphisme $L \to L'$ qui soit l'identité +sur $K$ et envoie $x$ sur $x'$, et c'est un isomorphisme ; notamment, +deux corps de rupture de $\mu$ sur $K$ sont isomorphes. +\end{prop} +\begin{proof} +L'affirmation (1) a déjà été démontrée +en \ref{monogeneous-extensions-dichotomy-bis}, en appelant $x$ la +classe de $t$ dans $K[t]/(\mu)$. Pour ce qui est de (2), il suffit de +le prouver pour $L = K[t]/(\mu)$, or le morphisme $L \to L'$ recherché +doit provenir d'un morphisme $K[t] \to L'$ envoyant $t$ sur $x'$, ce +morphisme existe bien et est unique (il s'agit de l'évaluation +en $x'$), et il passe au quotient de façon unique (puisque $x'$ a pour +polynôme minimal $\mu$ sur $K$). Enfin, pour ce qui est de (3), le +morphisme est un isomorphisme (i.e., est surjectif) puisque son image +est un corps contenant $K$ et $x'$ et qu'on a $L' = K(x')$. +\end{proof} + +\begin{defn} +Soit $K$ un corps et $f \in K[t]$ un polynôme quelconque. On appelle +\textbf{corps de décomposition} de $f$ sur $K$ une extension $K +\subseteq L$ telle que $f$ soit complètement décomposé sur $L$, i.e., +$f = c\prod_{i=1}^n (t-x_i)$ (avec $c$ le coefficient dominant de $f$, +et $x_1,\ldots,x_n$ ses racines avec multiplicité) et que $L = +K(x_1,\ldots,x_n)$. +\end{defn} + +\begin{prop} +Soit $K$ un corps et $f \in K[t]$ un polynôme. Alors : (1) Il existe +un corps de décomposition de $f$ sur $K$. (2) Si $K \subseteq L$ est +un corps de décomposition de $f$ sur $K$, et si $K \subseteq L'$ est +une extension dans laquelle $f$ est complètement décomposé, il existe +un morphisme de corps $L \to L'$ qui soit l'identité sur $K$ ; de +plus, (2b) dans les conditions, si $f$ est irréductible, et si $x$ et +$x'$ sont une racine de $f$ dans $L$ et $L'$ respectivement, on peut +de plus choisir l'isomorphisme pour envoyer $x$ sur $x'$. (3) Si en +outre $K \subseteq L'$ est aussi un corps de décomposition de $f$ +sur $K$, tout morphisme comme en (2) est un isomorphisme ; autrement +dit : si $K \subseteq L$ et $K \subseteq L'$ sont deux corps de +décomposition de $f$ sur $K$, il existe un morphisme $L \to L'$ qui +soit l'identité sur $K$, et un tel morphisme est un isomorphisme ; +notamment, deux corps de décomposition de $f$ sur $K$ sont isomorphes. +\end{prop} +\begin{proof} +Pour montrer (1), (2) et (2b), on procède par récurrence sur le degré +de $f$. Si $\deg f = 1$, toutes les affirmations sont triviales +($K$ lui-même est un corps de décomposition de $f$ sur $K$, et c'est +le seul). Sinon, soit $f_1$ un facteur irréductible de $f$ sur $K$ +(qui est $f$ lui-même si $f$ est irréductible) et soit $E$ le corps de +rupture de $f_1$, dans lequel $f_1$ admet une racine, disons $x_1$, et +si on cherche à prouver (2b) on prendra $x_1 = x$ : comme $x_1$ est +racine de $f$ dans $E$, on peut écrire $f = (t-x_1) f_2$ dans $E[t]$, +avec $\deg f_2 < \deg f =: n$, ce qui permet par récurrence +d'appliquer les conclusions à $f_2$. + +Pour montrer (1), on utilise l'hypothèse de récurrence pour construire +un corps de décomposition $L$ de $f_2$ sur $E$ : disons $L = +E(x_2,\ldots,x_n)$ avec $x_2,\ldots,x_n$ les racines de $f_2$, et il +est clair que $f$ est complètement décomposé sur $L$ et on a $L = +K(x_1,\ldots,x_n)$, donc $L$ est un corps de décomposition de $f$ +sur $K$. Pour montrer (2) et (2b), soit $x'$ une racine de $f$ +dans $L'$ : d'après \ref{existence-uniqueness-rupture-field}(2), il +existe un unique plongement de $E$ dans $L'$ envoyant $x_1$ sur $x'$ : +quitte à identifier $E$ à son image, on peut considérer qu'il s'agit +de l'identité ; comme $L$ est un corps de décomposition de $f_2$ +sur $E$, par l'hypothèse de récurrence, il existe un morphisme $L \to +L'$ qui soit l'identité sur $E$, donc sur $K$, ce qui prouve (2), et +ce morphisme envoie $x_1$ sur $x'$ (on les a identifiés), ce qui +prouve aussi (2b). + +Enfin, pour ce qui est de (3), le morphisme est un isomorphisme (i.e., +est surjectif) puisque son image est un corps contenant $K$ et toutes +les racines $x'_1,\ldots,x'_n$ de $f$ dans $L'$, or on a $L = +K(x'_1,\ldots,x'_n)$. +\end{proof} + + % % % |