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(Pour tout anneau $A$, il +existe un unique morphisme de $A$ vers l'anneau nul ; en revanche, il +n'existe un morphisme de l'anneau nul vers $A$ que si $A$ est lui-même +l'anneau nul.) + +\thingy Si $k$ est un anneau, une \textbf{$k$-algèbre} (là aussi : +implicitement commutative) est la donnée d'un morphisme d'anneaux $k +\buildrel\varphi_A\over\to A$ appelé \textbf{morphisme structural} de +l'algèbre. On peut multiplier un élément de $A$ par un élément de $k$ +avec : $c\cdot x = \varphi_A(c)\,x \in A$ (pour $c\in k$ et $x\in A$). +Un morphisme de $k$-algèbres est un morphisme d'anneaux +$A\buildrel\psi\over\to B$ tel que le morphisme structural $k +\buildrel\varphi_B\over\to B$ de $B$ soit la composée $k +\buildrel\varphi_A\over\to A\buildrel\psi\over\to B$ de celui de $A$ +avec le morphisme considéré. + +De façon équivalente, une $k$-algèbre est un $k$-module qui est muni +d'une multiplication $k$-bilinéaire qui en fait un anneau, et les +morphismes de $k$-algèbres sont les applications $k$-linéaires qui +préservent la multiplication ; le morphisme structural peut alors se +retrouver par $c \mapsto c\cdot 1$. Notons qu'une +$\mathbb{Z}$-algèbre est exactement la même chose qu'un anneau (raison +pour laquelle il est souvent préférable d'énoncer les résultats en +parlant de $k$-algèbres pour plus de généralité). + +Dans la pratique, cependant $k$ sera généralement un corps : une +$k$-algèbre est donc un $k$-espace vectoriel muni d'une multiplication +$k$-bilinéaire qui en fait un anneau, et le morphisme structural est +automatiquement injectif si l'algèbre n'est pas l'algèbre nulle. \thingy Un élément $a$ d'un anneau $A$ (sous-entendu : commutatif) est dit \textbf{régulier}, resp. \textbf{inversible}, lorsque $x \mapsto @@ -85,7 +118,8 @@ Un anneau dans $A$ dans lequel l'ensemble des éléments régulier est égal à l'ensemble $A \setminus \{0\}$ des éléments non-nuls est appelé anneau \textbf{intègre} : autrement dit, un anneau intègre est un anneau dans lequel ($0\neq 1$ et) $ab = 0$ implique $a=0$ ou $b=0$ (la -réciproque est toujours vraie). +réciproque est toujours vraie). Par convention, l'anneau nul n'est +pas intègre. Un idéal $\mathfrak{p}$ d'un anneau $A$ est dit \textbf{premier} lorsque l'anneau quotient $A/\mathfrak{p}$ est un anneau intègre, @@ -102,8 +136,10 @@ des éléments inversibles est égal à l'ensemble $k\setminus\{0\}$ des éléments non-nuls : autrement dit, un corps est un anneau dans lequel ($0\neq 1$ et) tout élément non-nul est inversible. De façon équivalente, un corps est un anneau ayant exactement deux idéaux (qui -sont alors $0$ et lui-même). Un corps est, en particulier, un anneau -intègre. +sont alors $0$ et lui-même). Par convention, l'anneau nul n'est pas +un corps. + +Un corps est, en particulier, un anneau intègre. Un idéal $\mathfrak{m}$ d'un anneau $A$ est dit \textbf{maximal} lorsque l'anneau quotient $A/\mathfrak{m}$ est un corps : de façon @@ -119,6 +155,13 @@ $n$ est un nombre premier ; il est intègre exactement si $n$ est un nombre premier (le quotient étant alors le corps $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$). +Pour donner un exemple moins évident, dans l'anneau $k[x,y]$ des +polynômes à deux indéterminées $x,y$ sur un corps $k$, l'idéal $(y)$ +(des polynômes s'annulant identiquement sur l'axe des abscisses) est +premier mais non maximal puisque $k[x,y]/(y) \cong k[x]$, tandis que +l'idéal $(x,y)$ (des polynômes s'annulant à l'origine) est maximal +puisque $k[x,y]/(x,y) \cong k$. + \thingy Si $A$ est un anneau intègre, on définit un corps $\Frac(A)$, dit \textbf{corps des fractions} de $A$, dont les éléments sont les symboles formels $\frac{a}{q}$ avec $a \in A$ et $q \in A @@ -127,17 +170,21 @@ $\frac{a'}{q'}$ lorsque $aq' = a'q$ (i.e., formellement, $\Frac(A)$ est le quotient de $A \times (A\setminus\{0\})$ par la relation d'équivalence qu'on vient de dire) ; la structure d'anneau est définie par $\frac{a}{q} + \frac{a'}{q'} = \frac{aq'+a'q}{qq'}$ et -$\frac{a}{q} \cdot \frac{a'}{q'} = \frac{aa'}{qq'}$. À titre -d'exemple, $\Frac(\mathbb{Z})$ est $\mathbb{Q}$ (c'est même la +$\frac{a}{q} \cdot \frac{a'}{q'} = \frac{aa'}{qq'}$. On a aussi un +morphisme injectif $A \to \Frac(A)$ envoyant $a$ sur $\frac{a}{1}$, et +on identifiera $A$ à son image par ce morphisme. + +À titre d'exemple, $\Frac(\mathbb{Z})$ est $\mathbb{Q}$ (c'est même la définition de ce dernier). -Le corps des fractions d'un anneau intègre $A$ vérifie la propriété -« universelle » suivante : si $K$ est un corps quelconque, et -$\varphi\colon A \to K$ un morphisme d'anneaux injectif, il existe un -unique morphisme de corps $\hat\varphi\colon \Frac(A) \to K$ (i.e., -extension de corps, cf. ci-dessous) qui prolonge $\varphi$ (i.e., -$\hat\varphi(a) = \varphi(a)$ si $a\in A$). En effet, il suffit de -définir $\hat\varphi(\frac{a}{q})$ par $\varphi(a)/\varphi(q)$. +\thingy\label{universal-property-of-fraction-field} Le corps des +fractions d'un anneau intègre $A$ vérifie la propriété « universelle » +suivante : si $K$ est un corps quelconque, et $\varphi\colon A \to K$ +un morphisme d'anneaux injectif, il existe un unique morphisme de +corps $\hat\varphi\colon \Frac(A) \to K$ (i.e., extension de corps, +cf. ci-dessous) qui prolonge $\varphi$ (i.e., $\hat\varphi(a) = +\varphi(a)$ si $a\in A$). En effet, il suffit de définir +$\hat\varphi(\frac{a}{q})$ par $\varphi(a)/\varphi(q)$. \thingy Le corps des fractions de l'anneau $k[t_1,\ldots,t_n]$ des polynômes en $n$ indéterminées $t_1,\ldots,t_n$ sur un corps $k$ est @@ -145,71 +192,139 @@ appelé corps des \textbf{fractions rationnelles} (ou parfois « fonctions rationnelles ») en $n$ indéterminées $t_1,\ldots,t_n$ sur $k$, et noté $k(t_1,\ldots,t_n)$. -\subsection{Extensions algébriques et degré} +\thingy\label{finite-integral-algebra-is-a-field} Le fait suivant sera +important : si $k$ est un corps et $K$ une $k$-algèbre \emph{de + dimension finie} intègre, alors $K$ est, en fait, un corps. En +effet, une application $k$-linéaire $K \to K$ injective est +automatiquement bijective, et en appliquant ce fait à la +multiplication par un $a\in K$, on voit que tout élément régulier est +inversible. + +\subsection{Algèbre engendrée, extensions de corps} + +\thingy Si $A$ est une $k$-algèbre (où $k$ est un anneau), et +$(x_i)_{i\in I}$ est une famille d'éléments de $A$, l'intersection de +toutes les sous-$k$-algèbres de $A$ contenant les $x_i$ est encore une +sous-$k$-algèbre de $A$ contenant les $x_i$, c'est-à-dire que c'est la +plus petite sous-$k$-algèbre de $A$ contenant les $x_i$. On l'appelle +$k$-algèbre \textbf{engendrée} (dans $A$) par les $x_i$ et on la note +$k[x_i]_{i\in I}$. Lorsque les $x_i$ sont en nombre fini (le cas qui +nous intéressera le plus), disons indicés par $1,\ldots,n$, on note +$k[x_1,\ldots,x_n]$, et on dit que $k[x_1,\ldots,x_n]$ est une +$k$-algèbre \textbf{de type fini} (comme $k$-algèbre). + +\danger On prendra garde au fait que la même notation +$k[x_1,\ldots,x_n]$ peut désigner soit la $k$-algèbre engendrée +par $x_1,\ldots,x_n$ dans une $k$-algèbre $A$ plus grande, soit +l'anneau des polynômes à $n$ indéterminées $x_1,\ldots,x_n$ sur $k$. +Ces conventions sont cependant cohérentes en ce sens que l'anneau des +polynômes à $n$ indéterminées sur $k$ est bien la $k$-algèbre +engendrée par les indéterminées (cf. le point suivant). Il faut donc +prendre garde à ce que sont $x_1,\ldots,x_n$ quand cette notation +apparaît : si aucune remarque n'est faite et que les $x_i$ n'ont pas +été introduits auparavant, il est généralement sous-entendu que ce +sont des indéterminées. + +\thingy\label{subalgebra-generated-is-polynomials} La $k$-algèbre +engendrée par les $x_i$ dans $A$ peut encore se décrire concrètement +comme l'ensemble de tous les éléments de $A$ qui peuvent être obtenus +à partir de $1$ et des $x_i$ par sommes, produits par éléments de $k$ +et produits binaires. Autrement dit, ce sont les valeurs des +polynômes à coefficients dans $k$ évalués en des $x_i$. Pour dire les +choses de façon plus sophistiquée, en supposant les $x_i$ en nombre +fini pour simplifier (et indicés par $1,\ldots,n$), il existe un +unique morphisme $k[t_1,\ldots,t_n] \to A$ envoyant $t_i$ sur $x_i$, à +savoir le morphisme « d'évaluation » qui à un $P \in +k[t_1,\ldots,t_n]$ associe $P(x_1,\ldots,x_n)$, et $k[x_1,\ldots,x_n]$ +est l'\emph{image} de ce morphisme. On peut donc dire qu'une +$k$-algèbre de type fini $k[x_1,\ldots,x_n]$ est la même chose qu'un +\emph{quotient} de l'algèbre de polynômes $k[t_1,\ldots,t_n]$ (par le +noyau du morphisme d'évaluation). \thingy Une \textbf{extension de corps} est un morphisme d'anneaux $k -\to K$ entre corps, qui est automatiquement injectif (car son noyau -est un idéal d'un corps qui ne contient pas $1$), et qui peut donc -être considéré comme une inclusion : on notera soit $k \subseteq K$ -soit $K/k$ une telle extension ; lorsque l'inclusion a été fixée, on -dit aussi que $k$ est un sous-corps de $K$. - -\thingy Si $k \subseteq K$ est une extension de corps et $x\in K$, on -note $k(x)$ l'extension de $k$ engendrée par $x$, c'est-à-dire le plus -petit sous-corps de $K$ contenant $k$ et $x$, i.e., l'intersection de -tous les sous-corps de $K$ contenant $k$ et $x$, qui vérifie elle-même -cette propriété ; c'est encore le corps formé de tous les éléments de -$K$ obtenus à partir de $x$ et de ceux de $k$ par sommes, différences, -produits et quotients, c'est-à-dire le corps formé des valeurs en $x$ -de toutes les fractions rationnelles à une indéterminée sur $k$ qui -sont bien définies en $x$. On dira aussi que $k \subseteq k(x)$ est -une extension \textbf{monogène}. - -Plus généralement, si $x_i$ sont des éléments de $K$, on notera -$k(x_i)$ (par exemple $k(x_1,\ldots,x_n)$ s'ils sont en nombre fini) -l'extension de $k$ engendrée par eux, c'est-à-dire le plus petit -sous-corps de $K$ contenant les $x_i$. Une extension $k \subseteq -k(x_1,\ldots,x_n)$ engendrée par un nombre fini d'éléments est dite -\textbf{de type fini}. - -\danger On prendra garde au fait que la même notation $k(x)$ peut -désigner soit l'extension de $k$ engendrée par $x$ dans un corps $K$ -plus grand, soit le corps des fractions rationnelles à une -indéterminée $x$ sur $k$. (Ces conventions sont cependant cohérentes -en ce sens que le corps des fractions rationnelles à une indéterminée -sur $k$ est bien l'extension de $k$ engendrée par l'indéterminée.) Il -faut donc prendre garde à ce qu'est $x$ quand cette notation -apparaît : si aucune remarque n'est faite, il est généralement -sous-entendu que $x$ est une indéterminée. La même remarque vaut, -\textit{mutatis mutandis}, pour $k[x]$, qui peut désigner la plus -petite $k$-algèbre engendrée par $x$ ou bien l'anneau des polynômes en -une indéterminée $x$ sur $k$. Mêmes remarques pour -$k(x_1,\ldots,x_n)$ et $k[x_1,\ldots,x_n]$. - -\thingy Si $k \subseteq K$ est une extension de corps et $x\in K$, il -existe un unique morphisme $\varphi\colon k[t] \to K$ (où $k[t]$ est -l'anneau des polynômes en une indéterminée $t$ sur $k$) envoyant $t$ -sur $x$ (c'est-à-dire, envoyant $P$ sur $P(x)$ pour chaque $P \in -k[t]$). Le noyau de $\varphi$ est un idéal de $k[t]$. Exactement -l'un des deux cas suivants se produit : +\to K$ entre corps (c'est-à-dire que $K$ est une $k$-algèbre qui est +un corps). Un tel morphisme est automatiquement injectif (car son +noyau est un idéal d'un corps qui ne contient pas $1$), et qui peut +donc être considéré comme une inclusion : on notera soit $k \subseteq +K$ soit $K/k$ une telle extension ; lorsque l'inclusion a été fixée, +on dit aussi que $k$ est un \textbf{sous-corps} de $K$. Un +\textbf{corps intermédiaire} à une extension $k \subseteq K$, ou +encore \textbf{sous-extension}, est, naturellement, une extension de +corps $k \subseteq E$ contenue dans $K$. + +\thingy\label{subfield-generated} Si $k \subseteq K$ est une extension +de corps, et $(x_i)_{i\in I}$ est une famille d'éléments de $K$, +l'intersection de tous les sous-corps de $K$ contenant $k$ et +les $x_i$ est encore un sous-corps de $K$ contenant $k$ et les $x_i$, +c'est-à-dire que c'est le plus petit corps intermédiaire contenant +les $x_i$. On l'appelle sous-extension \textbf{engendrée} (dans $K$) +par les $x_i$ et on la note $k(x_i)_{i\in I}$. Lorsque les $x_i$ sont +en nombre fini (le cas qui nous intéressera le plus), disons indicés +par $1,\ldots,n$, on note $k(x_1,\ldots,x_n)$, et on dit que +$k(x_1,\ldots,x_n)$ est une extension de $k$ \textbf{de type fini} +(comme extension de corps). + +\danger On prendra garde au fait que la même notation +$k(x_1,\ldots,x_n)$ peut désigner soit la sous-extension engendrée +par $x_1,\ldots,x_n$ dans une extension $K$ plus grande, soit le corps +des fractions rationnelles à $n$ indéterminées $x_1,\ldots,x_n$ +sur $k$. Ces conventions sont cependant cohérentes en ce sens que le +corps des fractions rationnelles à $n$ indéterminées sur $k$ est bien +la sous-extension engendrée par les indéterminées (cf. le point +suivant). Comme dans le cas de la $k$-algèbre engendrée, il faut donc +prendre garde à ce que sont $x_1,\ldots,x_n$ quand cette notation +apparaît : si aucune remarque n'est faite et que les $x_i$ n'ont pas +été introduits auparavant, il est généralement sous-entendu que ce +sont des indéterminées. + +\thingy\label{subfield-generated-is-quotients} La sous-extension +engendrée (au-dessus de $k$) par les $x_i$ dans $K$ peut encore se +décrire concrètement comme l'ensemble de tous les éléments de $A$ qui +peuvent être obtenus à partir des éléments de $k$ et des $x_i$ par +sommes, produits et inverses (d'éléments non nuls). Autrement dit, ce +sont les valeurs des fractions rationnelles à coefficients dans $k$ +évalués en des $x_i$ (à condition d'être bien définies). + +\subsection{Extensions algébriques et degré} + +\thingy\label{monogeneous-extensions-dichotomy} Si $k \subseteq K$ est +une extension de corps et $x\in K$, on a noté +(cf. \ref{subfield-generated}) $k(x)$ l'extension de $k$ engendrée +par $x$. On dira aussi que $k \subseteq k(x)$ est une extension +\textbf{monogène}. + +On se pose la question de mieux comprendre cette extension. Pour +cela, on introduit l'unique morphisme $\varphi\colon k[t] \to K$, où +$k[t]$ est l'anneau des polynômes en une indéterminée $t$ sur $k$, qui +envoie $t$ sur $x$, c'est-à-dire, le morphisme « d'évaluation » +envoyant $P$ sur $P(x)$ pour chaque $P \in k[t]$. Le noyau de +$\varphi$ est un idéal de $k[t]$. Exactement l'un des deux cas +suivants se produit : \begin{itemize} -\item soit $\varphi$ est injectif, auquel cas on dit que $x$ est - \textbf{transcendant} sur $k$ : dans ce cas, $\varphi$ se prolonge - de manière unique en une extension de corps $k(t) \to K$ (où $k(t)$ - est le corps des fractions rationnelles en l'indéterminée $t$ - sur $k$), puisque $\varphi(P)/\varphi(Q)$ a bien un sens dès que - $P/Q \in k(t)$, et l'image de $k(t)$ dans $K$ est précisément - $k(x)$, ce qui permet d'identifier $k(x)$ avec le corps des - fractions rationnelles en une indéterminée (i.e., de considérer $x$ - comme une indéterminée) ; -\item soit le noyau de $\varphi$ est engendré par un unique polynôme +\item Soit $\varphi$ est injectif (=son noyau est nul), auquel cas on + dit que $x$ est \textbf{transcendant} sur $k$. Dans ce cas, d'après + la propriété universelle du corps des fractions + (cf. \ref{universal-property-of-fraction-field}), $\varphi$ se + prolonge de manière unique en une extension de corps $k(t) \to K$ + (où $k(t)$ est le corps des fractions rationnelles en l'indéterminée + $t$ sur $k$), envoyant $P/Q \in k(t)$ sur $P(x)/Q(x) \in K$, et + l'image de $k(t)$ dans $K$ est précisément $k(x)$ + (cf. \ref{subfield-generated-is-quotients}). Ceci permet + d'identifier $k(x)$ avec le corps des fractions rationnelles en une + indéterminée (i.e., de considérer $x$ comme une indéterminée). +\item Soit le noyau de $\varphi$ est engendré par un unique polynôme unitaire $\mu_x\in k[t]$, qu'on appelle le \textbf{polynôme minimal} de $x$, et alors $x$ est dit \textbf{algébrique} (ou - \textbf{entier}) sur $k$ : alors $k(x)$ s'identifie, via l'image - de $\varphi$, à $k[t]/(\mu_x)$, une $k$-algèbre de dimension - $\deg\mu_x$ finie sur $k$, qu'on appelle le \textbf{degré} de $x$ ; - de plus, le polynôme $\mu_x$ est irréductible dans $k[t]$ (sans quoi - on aurait deux éléments dont le produit est nul dans $K$). + \textbf{entier}) sur $k$. Alors l'image $k[x]$ de $\varphi$ + (cf. \ref{subalgebra-generated-is-polynomials}) s'identifie à + $k[t]/(\mu_x)$, une $k$-algèbre de dimension $\deg\mu_x$ finie + sur $k$, qu'on appelle le \textbf{degré} de $x$ ; mais comme $k[x]$ + est intègre (puisque c'est une sous-algèbre d'un corps), et de + dimension finie, c'est un corps + (cf. \ref{finite-integral-algebra-is-a-field}) : on a donc $k(x) = + k[x] = k[t]/(\mu_x)$ dans cette situation. De plus, le polynôme + $\mu_x$ est irréductible dans $k[t]$ (sans quoi on aurait deux + éléments dont le produit est nul dans $K$). \end{itemize} On remarquera que les éléments de $k$ eux-mêmes sont exactement les algébriques de degré $1$ sur $k$. @@ -220,15 +335,17 @@ $k(t)$ (le corps des fractions rationnelles) l'élément $t$ est bien transcendant sur $k$ (en fait, toute fraction rationnelle non constante est transcendante sur $k$) ; d'autre part, si $\mu$ est un polynôme unitaire irréductible sur $k$, alors $k[t]/(\mu)$ est une -extension de corps de $k$ dans laquelle la classe $x := \bar t$ de -l'indéterminée $t$ est algébrique de polynôme minimal $\mu$ : ce corps -$k(x) = k[t]/(\mu)$ est appelé \textbf{corps de rupture} du polynôme -irréductible $\mu$ sur $k$ (lorsque $\mu$ n'est pas unitaire, on peut -encore parler de corps de rupture quitte à diviser par le coefficient -dominant ; en revanche, l'irréductibilité est essentielle), et il va -de soi que le corps de rupture coïncide avec $k$ si et seulement si -$\mu$ est de degré $1$ (précisément, si $\mu = t-a$ alors l'élément $x -:= \bar t$ de $k(x) = k[t]/(\mu)$ s'identifie avec $a \in k$). +$k$-algèbre de dimension finie intègre donc +(cf. \ref{finite-integral-algebra-is-a-field}) une extension de corps +de $k$ dans laquelle la classe $x := \bar t$ de l'indéterminée $t$ est +algébrique de polynôme minimal $\mu$ : ce corps $k(x) = k[t]/(\mu)$ +est appelé \textbf{corps de rupture} du polynôme irréductible $\mu$ +sur $k$ (lorsque $\mu$ n'est pas unitaire, on peut encore parler de +corps de rupture quitte à diviser par le coefficient dominant ; en +revanche, l'irréductibilité est essentielle), et il va de soi que le +corps de rupture coïncide avec $k$ si et seulement si $\mu$ est de +degré $1$ (précisément, si $\mu = t-a$ alors l'élément $x := \bar t$ +de $k(x) = k[t]/(\mu)$ s'identifie avec $a \in k$). \thingy Une extension de corps $k\subseteq K$ est dite \textbf{algébrique} lorsque chaque élément de $K$ est algébrique @@ -252,14 +369,15 @@ est transcendant, alors $[k(x):k]$ est infini. En particulier, on a montré que : \emph{l'extension monogène $k\subseteq k(x)$ est finie si et seulement si $x$ est algébrique sur $k$}. -On aura également besoin du fait que si $k \subseteq K \subseteq L$ -sont deux extensions imbriquées alors $[L:k] = [K:k]\, [L:K]$ (au sens -où le membre de gauche est fini si et seulement si les deux facteurs -du membre de droite le sont, et dans ce cas leur produit lui est -égal). Cela résulte du fait plus précis que si $(x_\iota)_{\iota\in - I}$ est une $k$-base de $K$ et $(y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ une -$K$-base de $L$, alors $(x_\iota y_\lambda)_{(\iota,\lambda)\in - I\times\Lambda}$ est une $k$-base de $L$ (vérification aisée). +\thingy On aura également besoin du fait que si $k \subseteq K +\subseteq L$ sont deux extensions imbriquées alors +$[L:k] = [K:k] \, [L:K]$ (au sens où le membre de gauche est fini si et +seulement si les deux facteurs du membre de droite le sont, et dans ce +cas leur produit lui est égal). Cela résulte du fait plus précis que +si $(x_\iota)_{\iota\in I}$ est une $k$-base de $K$ et +$(y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ une $K$-base de $L$, alors $(x_\iota +y_\lambda)_{(\iota,\lambda)\in I\times\Lambda}$ est une $k$-base +de $L$ (vérification aisée). \thingy Les deux faits suivants sont à noter : @@ -283,9 +401,9 @@ certainement $K$ comme extension de corps de $k$.) Si $k\subseteq K$ est une extension de corps, une famille finie $x_1,\ldots,x_n$ d'éléments de $K$ est dite \textbf{algébriquement indépendante} (il serait plus logique de dire « collectivement - transcendante ») lorsque le seul polynôme $P \in k[t_1,\ldots,t_n]$ -à coefficients dans $k$ et tel que $P(x_1,\ldots,x_n) = 0$ est le -polynôme nul, autrement dit, lorsque l'unique morphisme +transcendante ») lorsque le seul polynôme $P \in k[t_1,\ldots,t_n]$ à +coefficients dans $k$ et tel que $P(x_1,\ldots,x_n) = 0$ est le +polynôme nul, autrement dit, lorsque le morphisme « d'évaluation » $k[t_1,\ldots,t_n] \to K$ (avec $k[t_1,\ldots,t_n]$ l'anneau des polynômes en $n$ indéterminées) envoyant $P$ sur $P(x_1,\ldots,x_n)$ est injectif. En particulier, chacun des $x_i$ est transcendant @@ -307,8 +425,9 @@ indéterminées, c'est-à-dire, si $k(t_1,\ldots,t_n)$ est le corps des fractions rationnelles en $n$ indéterminées. Réciproquement, si $x_1,\ldots,x_n$ sont algébriquement indépendants, alors $k(x_1,\ldots,x_n)$ s'identifie au corps des fractions rationnelles en -$n$ indéterminées comme dans le cas $n=1$ déjà vu ci-dessus (en -envoyant $P/Q$, avec $P,Q\in k[t_1,\ldots,t_n]$ et $Q\neq 0$, sur +$n$ indéterminées comme dans le cas $n=1$ déjà vu +en \ref{monogeneous-extensions-dichotomy} ci-dessus (en envoyant +$P/Q$, avec $P,Q\in k[t_1,\ldots,t_n]$ et $Q\neq 0$, sur $P(x_1,\ldots,x_n)/Q(x_1,\ldots,x_n)$). (On peut encore dire la même chose pour un nombre infini de $x_i$, à |