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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index a067e81..46bc80d 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -3785,11 +3785,14 @@ en \ref{valuations-on-curves-are-discrete} ci-dessous que toutes les valuations non-triviales sur les courbes sont discrètes. \begin{prop}\label{local-rings} -Les deux propriétés suivantes sur un anneau $R$ sont équivalentes : +Les deux propriétés suivantes sur un anneau non nul $R$ sont +équivalentes : \begin{itemize} -\item $R$ a un unique idéal maximal, -\item le complémentaire dans $R$ de l'ensemble $R^\times$ des unités - de $R$ est un idéal (forcément maximal) +\item[(i)]$R$ a un unique idéal maximal, +\item[(ii)]le complémentaire dans $R$ de l'ensemble $R^\times$ des + unités de $R$ est un idéal (forcément maximal), +\item[(iii)]pour tout $x\in R$, soit $x$ est inversible, soit $1-cx$ + est inversible pour tout $c\in R$. \end{itemize} Un anneau vérifiant ces propriétés est appelé un anneau \defin[local (anneau)]{local}. @@ -3799,16 +3802,47 @@ Soit $R^\times$ l'ensemble des unités de $R$. Comme une unité engendre l'idéal (unité !) $R$, tout idéal autre que $R$ est inclus dans le complémentaire $R \setminus R^\times$. -Si $R$ a un unique idéal maximal $\mathfrak{m}$, alors tout élément $x -\in R$ qui \emph{n'est pas} une unité engendre un idéal $(x)$ qui est -inclus dans $\mathfrak{m}$ d'après \ref{existence-maximal-ideals}, -donc $x \in \mathfrak{m}$ : ceci montre $(R\setminus R^\times) -\subseteq \mathfrak{m}$, et l'inclusion réciproque résulte du -paragraphe précédent. - -Réciproquement, si $R \setminus R^\times$ est un idéal, on a expliqué -qu'il continent tout autre idéal strict, et en particulier, il est -maximal. +Si (i) $R$ a un unique idéal maximal $\mathfrak{m}$, alors tout +élément $x \in R$ qui \emph{n'est pas} une unité engendre un idéal +$(x)$ qui est inclus dans $\mathfrak{m}$ +d'après \ref{existence-maximal-ideals}, donc $x \in \mathfrak{m}$ : +ceci montre $(R\setminus R^\times) \subseteq \mathfrak{m}$, et +l'inclusion réciproque résulte du paragraphe précédent, donc +$(R\setminus R^\times) = \mathfrak{m}$ et en particulier on a (ii). + +Réciproquement, si (ii) $R \setminus R^\times$ est un idéal, on a +expliqué qu'il contient tout autre idéal strict, et en particulier, il +est l'unique idéal maximal, ce qui montre (i). + +Considérons l'ensemble $\mathop{\mathrm{rad}} R$ des $x \in R$ tels +que $1-cx$ soit inversible pour tout $c \in R$. Sans aucune hypothèse +sur $R$, on peut faire les observations suivantes : si $x \in +\mathop{\mathrm{rad}} R$ et $a \in R$ alors $ax \in +\mathop{\mathrm{rad}} R$ (car $1-cax$ est de la forme $1-c'x$ +où $c'=ca$) ; dire que $1-cx$ est inversible pour tout $c \in R$ +équivaut à dire que $u-cx$ est inversible pour tout $c \in R$ et tout +$u \in R^\times$ (cette dernière condition est \textit{a priori} plus +forte, mais comme $u-cx = u(1-c'x)$ où $c'=u^{-1}c$, le fait que $x +\in \mathop{\mathrm{rad}} R$ entraîne bien cette condition plus +forte) ; enfin, si $x,y\in \mathop{\mathrm{rad}} R$ alors $1-c(x+y) = +(1-cx)-cy$ est de la forme $u-cy$ où $u\in R^\times$ donc est +inversible : tout ceci montre que $\mathop{\mathrm{rad}} R$ est un +\emph{idéal}\footnote{On l'appelle \textbf{idéal de Jacobson} de $R$, + et on peut montrer que c'est toujours l'intersection des idéaux + \emph{maximaux} de $R$ : comparer avec \ref{nilradical-facts}.} +de $R$. Manifestement, les conditions $x \in R^\times$ et $x \in +\mathop{\mathrm{rad}} R$ sont toujours incompatibles (prendre pour $c$ +l'inverse de $x$) dans un anneau non-nul. + +On vient de voir que $\mathop{\mathrm{rad}} R$ est un idéal strict, +i.e., contenu dans $R\setminus R^\times$ : si (iii) leur union +est $R$, alors ils sont complémentaires, donc le complémentaire de +$R\setminus R^\times$ est un idéal, ce qui montre (ii). + +Enfin, si (ii) $R\setminus R^\times$ est un idéal $\mathfrak{m}$, et +si $x \not\in R^\times$, c'est-à-dire $x\in \mathfrak{m}$, alors $cx +\in\mathfrak{m}$ quel que soit $c\in R$, donc $1-cx$ est +dans $R^\times$, et on a bien montré (iii). \end{proof} \thingy Un exemple d'anneau local est celui formé des fractions |