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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index d7f6eee..9f5c6fe 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -1686,6 +1686,71 @@ l'extension est monogène. Si $k$ est parfait, toute extension algébrique de $k$ est séparable. \end{proof} +\begin{prop} +Soit $k$ un corps parfait et $k \subseteq K$ une extension de corps de +type fini. Alors il existe $x_1,\ldots,x_{d+1} \in K$ tels que $K = +k(x_1,\ldots,x_{d+1})$ avec $x_1,\ldots,x_d$ algébriquement +indépendants sur $k$ (cf. \ref{definition-transcendence-basis}) et +$x_{d+1}$ séparable sur $k(x_1,\ldots,x_d)$ +(cf. \ref{definition-separable-element}). +\end{prop} +\begin{proof} +Supposons $K = k(w_1,\ldots,w_n)$ et soit $d = \degtrans_k(K)$ : +quitte à permuter les $w_i$, on peut supposer que $w_1,\ldots,w_d$ +sont algébriquement indépendants sur $K$ +(cf. \ref{transcendence-basis-facts}(1b)). Alors tout $y \in K$ est +algébrique sur $k(w_1,\ldots,w_d)$, donc on peut écrire +$f(w_1,\ldots,w_d,y) = 0$ avec $f \in k(t_1,\ldots,t_d)[y]$ +irréductible, donc, quitte à chasser les dénominateurs, $f \in +k[t_1,\ldots,t_d,y]$ irréductible. + +En particulier, on peut trouver un tel polynôme $f \in +k[t_1,\ldots,t_{d+1}]$ irréductible tel que $f(w_1,\ldots,w_{d+1}) = +0$. Considérons un tel polynôme. + +Expliquons maintenant pourquoi il existe $1\leq i\leq d+1$ tel que la +dérivée partielle $f'_i$ de $f$ par rapport à la variable $t_i$ ne +soit pas identiquement nulle. En effet, si on avait $f'_i = 0$ pour +chaque $i$, alors chaque variable $t_i$ n'apparaîtrait qu'à des +puissances multiples de la caractéristique $p>0$, donc on pourrait +écrire $f(t_1,\ldots,t_{d+1}) = f_0(t_1^p,\ldots,t_{d+1}^p)$. Quitte +à considérer la racine $p$-ième de chaque coefficient de $f_0$ (qui +existe car $k$ est algébriquement clos), +d'après \ref{raising-polynomial-to-the-power-p} (ou son analogue +évident à plusieurs variables), on voit que $f$ serait une puissance +$p$-ième, contredisant l'irréductibilité. + +Les éléments $w_1,\ldots,w_{i-1},w_{i+1},\ldots,w_{d+1}$ sont +algébriquement indépendants sur $i$. En effet, le fait que $f'_i \neq +0$ assure que $t_i$ apparaît vraiment dans $f(t_1,\ldots,t_{d+1})$ +donc $w_i$ est algébrique sur +$k(w_1,\ldots,w_{i-1},w_{i+1},\ldots,w_{d+1})$, donc le degré de +transcendance de $k(w_1,\ldots,w_{i-1},w_{i+1},\ldots,w_{d+1})$ +sur $k$ est le même que celui de $k(w_1,\ldots,w_{d+1})$, qui +vaut $d$, or $d$ éléments ne peuvent engendrer une extension de degré +de transcendance $d$ qu'en étant algébriquement indépendants +(cf. \ref{transcendence-basis-facts} (1a) et (3)). + +Ainsi, quitte à permuter $w_i$ avec $w_{d+1}$ (si $i\neq d+1$), on +peut s'arranger, tout en gardant $w_1,\ldots,w_d$ algébriquement +indépendants, pour avoir $f'_{d+1} \neq 0$ : ce fait assure que +$w_{d+1}$ est non seulement algébrique mais même séparable +sur $k(w_1,\ldots,w_d)$. + +Mais en procédant de même pour $w_{d+2},\ldots,w_n$, on peut s'assurer +(à chaque fois quitte à permuter le $w_j$ considéré, $j\geq d+1$, avec +un $w_i$ pour $1\leq i\leq d$) que chacun de $w_{d+1},\ldots,w_n$ est +algébrique séparable sur $k(w_1,\ldots,w_d)$, toujours avec +$w_1,\ldots,w_d$ algébriquement indépendants. Posons $x_i = w_i$ pour +$1\leq i\leq d$. Le théorème \ref{primitive-element-theorem} appliqué +à l'extension de $k(x_1,\ldots,x_d) = k(w_1,\ldots,w_d)$ engendrée par +les éléments algébriques séparables $w_{d+1},\ldots,w_n$ montre que +celle-ci est engendrée par un unique élément $x_{d+1}$, et comme cette +extension est séparable +d'après \ref{separably-generated-algebraic-extension-is-separable}, +l'élément $x_{d+1}$ est séparable. +\end{proof} + \subsection{Théorie de Galois : énoncé de résultats} @@ -1826,24 +1891,6 @@ les résultats suivants : \subsection{Idéaux maximaux d'anneaux de polynômes} -\begin{prop} -Soit $k$ un corps algébriquement clos et $k \subseteq K$ une extension -de corps de type fini. Alors il existe $z_1,\ldots,z_{d+1} \in K$ -tels que $K = k(z_1,\ldots,z_{d+1})$ avec $z_1,\ldots,z_d$ -algébriquement indépendants sur $k$ -(cf. \ref{definition-transcendence-basis}) et $z_{d+1}$ séparable sur -$k(z_1,\ldots,z_d)$ (cf. \ref{definition-separable-element}). -\end{prop} -\begin{proof} -Supposons $K = k(w_1,\ldots,w_n)$ et soit $d = \degtrans_k(K)$ : -disons que $w_1,\ldots,w_d$ sont algébriquement indépendants sur $K$ -(cf. \ref{transcendence-basis-facts}(1b)). Alors tout $y \in K$ est -algébrique sur $k(w_1,\ldots,w_d)$, donc on peut écrire -$f(w_1,\ldots,w_d,y) = 0$ avec $f \in k(t_1,\ldots,t_d)[y]$ -irréductible, donc, quitte à chasser les dénominateurs, $f \in -k[t_1,\ldots,t_d,y]$ irréductible. \textcolor{red}{...} -\end{proof} - % TODO: |