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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 5801a86..c5935f6 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -3636,16 +3636,16 @@ anneau de valuation fait qu'on a défini une relation d'ordre \emph{total} sur l'ensemble des valuations (plus $\infty$ qui est le plus grand élément). -On définit $v(x)+v(y)$ comme $v(xy)$ et on note $0$ pour $v(1)$ -(ou $v(c)$ pour n'importe quel $c\in R^\times$) : -cette définition a bien un sens comme on le vérifie facilement, et -fait de l'ensemble des valuations (sans compter le symbole -spécial $\infty$) un \emph{groupe}, appelé \textbf{groupe des - valuations} (ou \textbf{des valeurs}) de $R$ (ou de $K$ pour $R$), -qui n'est autre que le groupe quotient $\Gamma := K^\times/R^\times$. -Avec l'ordre qu'on a mis ci-dessus, il s'agit d'un \emph{groupe - ordonné}, c'est-à-dire que si $u \geq u'$ alors $u+w \geq u'+w$ quel -que soit $w$. +On définit $v(x)+v(y)$ comme $v(xy)$ et on note $0$ pour $v(1)$ (ou +$v(c)$ pour n'importe quel $c\in R^\times$) : cette définition a bien +un sens comme on le vérifie facilement, et fait de l'ensemble des +valuations (sans compter le symbole spécial $\infty$) un \emph{groupe} +abélien, appelé \textbf{groupe des valuations} (ou \textbf{des + valeurs}) de $R$ (ou de $K$ pour $R$), qui n'est autre que le groupe +quotient $\Gamma := K^\times/R^\times$. Avec l'ordre qu'on a mis +ci-dessus, il s'agit d'un \emph{groupe abélien totalement ordonné}, +c'est-à-dire que si $u \geq u'$ alors $u+w \geq u'+w$ quel que +soit $w$. Lorsque le groupe des valuations est $\mathbb{Z}$, c'est-à-dire qu'il est engendré par un unique élément (on peut alors choisir un @@ -3670,8 +3670,8 @@ qui est une conséquence des précédentes. L'anneau $R$ peut se retrouver à partir de la valuation comme $\{x\in K : v(x) \geq 0\}$. -Réciproquement, si $\Gamma$ est un groupe totalement ordonné et -$v\colon K \to \Gamma \cup \{\infty\}$ une fonction surjective +Réciproquement, si $\Gamma$ est un groupe abélien totalement ordonné +et $v\colon K \to \Gamma \cup \{\infty\}$ une fonction surjective vérifiant (o), (i) et (ii), alors $R := \{x\in K : v(x) \geq 0\}$ est un anneau de valuation qui a $v$ pour valuation associée : on dit alors que $v$ est une \defin{valuation} sur $K$ ou sur $R$. @@ -3733,13 +3733,13 @@ v(y)$ où $y := \sum_{j\neq i} x_j$ d'après la propriété (ii), et (ii.b) entraîne alors que la valuation de la somme est égale à celle de $x_i$, donc n'est pas $\infty$.). -\thingy\label{valuations-on-integral-domains} -Si $A$ est un anneau et $v\colon A \to \Gamma\cup\{\infty\}$ -(où $\Gamma$ est un groupe totalement ordonné) une fonction vérifiant -(o), (i) et (ii) de \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}, -alors $A$ est intègre (à cause de (i)), et il est facile de vérifier -que $v$ se prolonge de façon unique en une valuation sur son corps des -fractions $K$ en posant $v(x/y) = v(x)-v(y)$ (ce qui est manifestement +\thingy\label{valuations-on-integral-domains} Si $A$ est un anneau et +$v\colon A \to \Gamma\cup\{\infty\}$ (où $\Gamma$ est un groupe +abélien totalement ordonné) une fonction vérifiant (o), (i) et (ii) +de \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}, alors $A$ est +intègre (à cause de (i)), et il est facile de vérifier que $v$ se +prolonge de façon unique en une valuation sur son corps des fractions +$K$ en posant $v(x/y) = v(x)-v(y)$ (ce qui est manifestement nécessaire et bien défini). Cette observation peut simplifier la recherche ou l'étude des valuations sur un corps défini comme corps des fractions. Le plus souvent, dans la situation qu'on vient de |