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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 79f6c87..a1cc590 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -3178,7 +3178,7 @@ raison, ce que nous appelons « courbe » s'appellerait « courbe normale projective » ou « courbe projective lisse » chez d'autres auteurs), et \textbf{(b)} les hypothèses effectuées ne sont pas forcément les mêmes (notamment, beaucoup d'auteurs restreignent les courbes à ce -qu'on appellera plus bas les courbes « géométriquement intègres »). +qu'on appellera plus bas les courbes « géométriquement irréductibles »). On sera éventuellement amené à restreindre la définition qui vient d'être donnée. @@ -3540,9 +3540,9 @@ précédemment, $x^2+y^2+1$, $x^2+y^2-1$, $y^2-x^3-x^2$, $y^2-x^3+x^2$ et $y^2-x^3$, l'irréductibilité de $P$ n'était jamais perdue en montant à un corps plus gros.) -Le corps $k(x)[y]/(P)$ des fonctions de la courbe est simplement -$k(\sqrt{-1},x)$ (par exemple, $\mathbb{R}(x)[y]/(y^2+1)$ est -$\mathbb{C}(x)$). +Le corps $k(x,y: P=0) = k(x)[y]/(P)$ des fonctions de la courbe est +simplement $k(\sqrt{-1},x)$ (par exemple, $\mathbb{R}(x)[y]/(y^2+1)$ +est $\mathbb{C}(x)$). Il faut imaginer cette courbe de la façon suivante : c'est la réunion de deux droites « géométriques » (c'est-à-dire définies sur la clôture @@ -3553,6 +3553,15 @@ est irréductible (cf. \ref{closed-irreducible-iff-prime-ideal}) mais qui cesse de l'être sur la clôture algébrique (cf. \ref{geometric-irreducibility}). +Lorsque $P$ est géométriquement (=absolument) irréductible, on dira +que la courbe plane $\{P=0\}$ \index{géométriquement + irréductible}\index{absolument irréductible}l'est. Une conséquence +de cette propriété sur le corps $K := k(x,y: P=0)$ est que, d'après la +proposition \ref{field-of-fractions-versus-change-of-scalars}, dans le +corps $K.k^{\alg} = k^{\alg}(x,y: P=0)$, les sous-corps $K$ et +$k^{\alg}$ sont linéairement disjoints sur $k$. Cette propriété sera +parfois utile. + \thingy\label{function-field-of-an-irreducible-set} Bien sûr, il n'y a pas de raison de se limiter aux courbes \emph{planes} ou même, dans une certaine mesure, de se limiter aux @@ -3570,7 +3579,17 @@ valeur $\infty$ sur les pôles (alors qu'en dimension $\geq 2$ une fonction rationnelle peut ne pas être définie sans pour autant avoir un pôle : penser à $x/y$ en $(x,y) = (0,0)$). -\thingy Si $I \subseteq k[t_1,\ldots,t_d]$ est un idéal premier tel +La même remarque que ci-dessus vaut : si le fermé de Zariski $X$ est +géométriquement (=absolument) irréductible +(cf. \ref{geometric-irreducibility}), son corps des fractions $K := +\Frac(k[t_1,\ldots,t_d]/I)$ a la propriété, d'après la +proposition \ref{field-of-fractions-versus-change-of-scalars}, que +dans le corps $K.k^{\alg} = +\Frac(k^{\alg}[t_1,\ldots,t_d]/(I.k^{\alg}))$, les sous-corps $K$ et +$k^{\alg}$ sont linéairement disjoints sur $k$. + +\thingy\label{remark-separating-transcendence-basis-geometrically} +Si $I \subseteq k[t_1,\ldots,t_d]$ est un idéal premier tel que $Z(I)$ soit de dimension $1$, c'est-à-dire que le corps des fractions $K$ de l'anneau intègre $k[t_1,\ldots,t_d]/I$ soit un corps de fonctions de courbe au sens où on l'a défini, la @@ -4304,6 +4323,7 @@ contexte). Le corps $\tilde k$ peut s'appeler \textbf{corps des est de degré de transcendance $1$ sur $k$, il existe toujours des places — chose qui n'était pas triviale \textit{a priori} !) +\thingy\label{fields-of-constants-and-geometrically-integral-curves} En général, $\tilde k$ peut être strictement plus grand que $k$ : un exemple de ce phénomène a été donné en \ref{example-curve-irreducible-but-not-geometrically} (où $\tilde k @@ -4315,8 +4335,9 @@ notamment lorsque $K = k(C)$ est défini (au sens de \ref{function-field-of-a-plane-curve} ou plus généralement de \ref{function-field-of-an-irreducible-set}) par un polynôme $P \in k[x,y]$ ou un fermé de Zariski $Z(I)$ \emph{géométriquement} -irréductible (cf. \ref{geometric-irreducibility}) : en effet, si c'est -le cas, disons $K = \Frac(k[t_1,\ldots,t_d]/I)$, d'après la +irréductible (cf. \ref{geometric-irreducibility}) : en effet, on a +signalé en \ref{function-field-of-an-irreducible-set} que si c'est le +cas, disons avec $K = \Frac(k[t_1,\ldots,t_d]/I)$, d'après la proposition \ref{field-of-fractions-versus-change-of-scalars}, dans le corps $K.k^{\alg} = \Frac(k^{\alg}[t_1,\ldots,t_d]/(I.k^{\alg}))$, les sous-corps $K$ et $k^{\alg}$ sont linéairement disjoints sur $k$ et en @@ -4982,6 +5003,73 @@ En notant $D$ et $D'$ des diviseurs sur une même courbe : \end{proof} +\subsection{Différentielles de Kähler}\label{subsection-kaehler-differentials} + +\begin{defn} +Soit $k \subseteq K$ une extension de corps (ou plus généralement $K$ +une algèbre sur un anneau $k$, auquel cas remplacer « espace +vectoriel » par « module » dans ce qui suit). On appelle espace des +\defin{différentielles de Kähler} de $K$ sur $k$, et on note +$\Omega^1_{K/k}$, le $K$-espace vectoriel engendré par des symboles +formels $dx$ pour chaque $x \in K$, sujets aux relations : +\begin{itemize} +\item $d(x+x') = dx + dx'$ si $x,x'\in K$, et $d(cx) = c\,dx$ si $c\in + k$ et $x\in K$ (i.e., $d\colon K \to \Omega^1_{K/k}$ + est $k$-linéaire), et +\item $d(xy) = x\, dy + y\, dx$ si $x,y \in K$ +\end{itemize} +(autrement dit, $\Omega^1_{K/k}$ est le quotient du $K$-espace +vectoriel libre de base $\{dx : x\in K\}$ par le sous-espace vectoriel +engendré par les relations qu'on vient de dire, par exemple les +$d(x+x') - dx -dx'$). +\end{defn} + +\thingy Cette définition n'est pas très élégante. Une définition plus +satisfaisante serait de dire que $d\colon K \to \Omega^1_{K/k}$ a la +propriété « universelle » que toute autre application $\delta\colon K +\to V$ (où $V$ est un $K$-espace-vectoriel) $k$-linéaire vérifiant +$\delta(xy) = x\,\delta(y) + y\,\delta(x)$ (on dit que $\delta$ est +une \defin{dérivation} de $K$ à valeurs dans $V$) se factorise de +façon unique par $d$ (i.e., il existe une application $K$-linéaire +$u\colon \Omega^1_{K/k}\to V$ unique tel que $\delta(x) = u(dx)$). Il +est purement formel de vérifier que cette propriété caractérise +complètement $\Omega^1_{K/k}$, et est bien vérifiée de l'objet défini +ci-dessus. + +\begin{prop}\label{differentials-of-separable-field-extension} +Soit $k \subseteq K$ une extension de corps telle qu'il existe une +base de transcendance $(t_i)_{i\in I}$ pour laquelle $K$ est +(algébrique) \emph{séparable} sur $k(t_i)_{i\in I}$ +(cf. \ref{definition-separable-algebraic-extension}). Alors +$\Omega^1_{K/k}$ est un $K$-espace vectoriel de base $(dt_i)_{i\in + I}$. + +De plus, l'hypothèse qu'on vient de dire est vérifiée exactement quand +les extensions $K^p$ et $k$ de $k^p$ sont linéairement disjointes +dans $K$ (comparer avec \ref{linear-criterion-for-separability}). +Elle est \emph{notamment} vérifiée lorsque les extensions $K$ et +$k^{\alg}$ de $k$ sont linéairement disjointes dans $K^{\alg}$, et en +particulier lorsque $K$ est le corps de fonctions d'un fermé de +Zariski \emph{géométriquement} irréductible +(cf. \ref{geometric-irreducibility}, +et \ref{function-field-of-an-irreducible-set}). Elle est par ailleurs +aussi vérifiée lorsque $k$ est \emph{parfait} +(d'après \ref{remark-separating-transcendence-basis-geometrically}). +\end{prop} +\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof} + +\thingy On retiendra surtout ceci : si $K = k(C)$ est le corps des +fractions d'une courbe sur un corps $k$ parfait ou bien définie par un +polynôme $P$ géométriquement irréductible dans le contexte +de \ref{function-field-of-a-plane-curve} (ou plus généralement par un +fermé de Zariski géométriquement irréductible), alors l'hypothèse +de \ref{differentials-of-separable-field-extension} est satisfaite, +donc : \emph{$\Omega^1_{K/k}$ est un $K$-espace vectoriel de + dimension $1$}, et une base en est donnée par n'importe quel $x\in +K$ tel que $dx \neq 0$, ce qui donne du même coup un sens à +$\frac{df}{dx}$, qui est un élément de $K$, pour tout $f \in K$. + + % TODO: % * Différentielles. |