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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 5008f5b..0d7ce7c 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -3155,14 +3155,18 @@ Toute cette situation se résume en disant que le cercle $C = quelconque de caractéristique $\neq 2$), ou rationnellement paramétrée. Le cadre dans lequel nous considérons les courbes fait qu'on « ne voit pas » la différence entre les courbes rationnelles et -la droite. - -De façon générale, le même raisonnement va fonctionner pour une -conique « non-dégénérée » sur un corps de caractéristique $\neq 2$, -i.e., la courbe définie par un polynôme de degré $2$ qui ne se -factorise pas même sur la clôture algébrique (géométriquement, ceci -signifie que la conique ne sera pas réunion de deux droites, même sur -la clôture algébrique), \emph{à condition d'avoir un point rationnel} +la droite. (Un exemple encore plus simple d'une courbe rationnelle +est fourni par la parabole $\{x = y^2\}$, où ici $k(x)[y]/(y^2-x)$ est +simplement $k(y)$, dans lequel $k(x)$ est vu comme le +sous-corps $k(y^2)$.) + +De façon générale, le même raisonnement que pour le cercle va +fonctionner pour une conique « non-dégénérée » sur un corps de +caractéristique $\neq 2$, i.e., la courbe définie par un polynôme de +degré $2$ qui ne se factorise pas même sur la clôture algébrique +(géométriquement, ceci signifie que la conique ne sera pas réunion de +deux droites, même sur la clôture algébrique), \emph{à condition + d'avoir un point rationnel} (cf. \ref{rational-points-of-zariski-closed-sets}) qui puisse jouer le rôle de $(-1,0)$ dans le paramétrage par des droites de pente variable. L'exemple qui suit montre que cette hypothèse n'est pas |