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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 4471a5d..fb1ac06 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -32,11 +32,8 @@ \newtheorem{scho}[comcnt]{Scholie} \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} % -\newcommand{\outnb}{\operatorname{outnb}} -\newcommand{\downstr}{\operatorname{downstr}} -\newcommand{\mex}{\operatorname{mex}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} -\newcommand{\limp}{\Longrightarrow} +\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % @@ -76,17 +73,86 @@ Git: \input{vcline.tex} \section{Corps et extensions de corps} +\subsection{Anneaux intègres, corps, idéaux premiers et maximaux} + +\thingy Un élément $a$ d'un anneau $A$ (sous-entendu : commutatif) est +dit \textbf{régulier}, resp. \textbf{inversible}, lorsque $x \mapsto +ax$ est injectif, resp. bijectif, autrement dit lorsque $ax = 0$ +implique $x = 0$ (la réciproque est toujours vraie), resp. lorsqu'il +existe $x$ (appelé inverse de $a$) tel que $ax = 1$. + +Un anneau dans $A$ dans lequel l'ensemble des éléments régulier est +égal à l'ensemble $A \setminus \{0\}$ des éléments non-nuls est appelé +anneau \textbf{intègre} : autrement dit, un anneau intègre est un +anneau dans lequel ($0\neq 1$ et) $ab = 0$ implique $a=0$ ou $b=0$ (la +réciproque est toujours vraie). + +Un idéal $\mathfrak{p}$ d'un anneau $A$ est dit \textbf{premier} +lorsque l'anneau quotient $A/\mathfrak{p}$ est un anneau intègre, +autrement dit lorsque $\mathfrak{p}\neq A$ et que $ab \in +\mathfrak{p}$ implique $a \in \mathfrak{p}$ ou $b \in \mathfrak{p}$ +(la réciproque est toujours vraie). + +\thingy Dans un anneau (toujours sous-entendu commutatif...), +l'ensemble noté $A^\times$ des éléments inversibles est un groupe, +aussi appelé groupe des \textbf{unités} de $A$. + +Un \textbf{corps} est un anneau $k$ dans lequel l'ensemble $k^\times$ +des éléments inversibles est égal à l'ensemble $k\setminus\{0\}$ des +éléments non-nuls : autrement dit, un corps est un anneau dans lequel +($0\neq 1$ et) tout élément non-nul est inversible. De façon +équivalente, un corps est un anneau ayant exactement deux idéaux (qui +sont alors $0$ et lui-même). Un corps est, en particulier, un anneau +intègre. + +Un idéal $\mathfrak{m}$ d'un anneau $A$ est dit \textbf{maximal} +lorsque l'anneau quotient $A/\mathfrak{m}$ est un corps : de façon +équivalente, lorsque $\mathfrak{m}\neq A$ et que $\mathfrak{m}$ est +maximal pour l'inclusion parmi les idéaux $\neq A$. Un idéal maximal +est, en particulier, premier. + +\thingy À titre d'exemple, l'idéal $n\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}$ (on +rappelle que tous les idéaux de $\mathbb{Z}$ sont de cette forme, pour +un $n \in \mathbb{N}$ défini de façon unique) est premier si et +seulement si $n = 0$ (le quotient étant $\mathbb{Z}$ lui-même) ou bien +$n$ est un nombre premier ; il est intègre exactement si $n$ est un +nombre premier (le quotient étant alors le corps +$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$). + +\thingy Si $A$ est un anneau intègre, on définit un corps $\Frac(A)$, +dit \textbf{corps des fractions} de $A$, dont les éléments sont les +symboles formels $\frac{a}{q}$ avec $a \in A$ et $q \in A +\setminus\{0\}$, en convenant d'identifier $\frac{a}{q}$ avec +$\frac{a'}{q'}$ lorsque $aq' = a'q$ (i.e., formellement, $\Frac(A)$ +est le quotient de $A \times (A\setminus\{0\})$ par la relation +d'équivalence qu'on vient de dire) ; la structure d'anneau est définie +par $\frac{a}{q} + \frac{a'}{q'} = \frac{aq'+a'q}{qq'}$ et +$\frac{a}{q} \cdot \frac{a'}{q'} = \frac{aa'}{qq'}$. À titre +d'exemple, $\Frac(\mathbb{Z})$ est $\mathbb{Q}$ (c'est même la +définition de ce dernier). + +Le corps des fractions d'un anneau intègre $A$ vérifie la propriété +« universelle » suivante : si $K$ est un corps quelconque, et +$\varphi\colon A \to K$ un morphisme d'anneaux injectif, il existe un +unique morphisme de corps $\hat\varphi\colon \Frac(A) \to K$ (i.e., +extension de corps, cf. ci-dessous) qui prolonge $\varphi$ (i.e., +$\hat\varphi(a) = \varphi(a)$ si $a\in A$). En effet, il suffit de +définir $\hat\varphi(\frac{a}{q})$ par $\varphi(a)/\varphi(q)$. + +\thingy Le corps des fractions de l'anneau $k[t_1,\ldots,t_n]$ des +polynômes en $n$ indéterminées $t_1,\ldots,t_n$ sur un corps $k$ est +appelé corps des \textbf{fractions rationnelles} (ou parfois +« fonctions rationnelles ») en $n$ indéterminées $t_1,\ldots,t_n$ +sur $k$, et noté $k(t_1,\ldots,t_n)$. + \subsection{Extensions algébriques et degré} -\thingy On rappelle qu'un \textbf{corps} est un anneau (sous-entendu : -commutatif) $k$ dans lequel l'ensemble $k^\times$ des éléments -inversibles est l'ensemble $k\setminus\{0\}$ des éléments non-nuls. -Une \textbf{extension de corps} est un morphisme d'anneaux $k \to K$ -entre corps, qui est automatiquement injectif (car son noyau est un -idéal d'un corps qui ne contient pas $1$), et qui peut donc être -considéré comme une inclusion : on notera soit $k \subseteq K$ soit -$K/k$ une telle extension ; lorsque l'inclusion a été fixée, on dit -aussi que $k$ est un sous-corps de $K$. +\thingy Une \textbf{extension de corps} est un morphisme d'anneaux $k +\to K$ entre corps, qui est automatiquement injectif (car son noyau +est un idéal d'un corps qui ne contient pas $1$), et qui peut donc +être considéré comme une inclusion : on notera soit $k \subseteq K$ +soit $K/k$ une telle extension ; lorsque l'inclusion a été fixée, on +dit aussi que $k$ est un sous-corps de $K$. \thingy Si $k \subseteq K$ est une extension de corps et $x\in K$, on note $k(x)$ l'extension de $k$ engendrée par $x$, c'est-à-dire le plus |