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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 8718bfa..c379b8b 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -401,7 +401,10 @@ suivants se produit : éléments dont le produit est nul dans $K$). \end{itemize} On remarquera que les éléments de $k$ eux-mêmes sont exactement les -algébriques de degré $1$ sur $k$. +algébriques de degré $1$ sur $k$. On remarquera aussi que si $k +\subseteq k' \subseteq K$, alors le polynôme minimal d'un $x\in K$ +sur $k'$ divise celui sur $k$ (car ce dernier annule $x$ et est à +coefficients dans $k$ donc dans $k'$). \thingy\label{monogeneous-extensions-dichotomy-bis} La dichotomie décrite ci-dessus admet une sorte de réciproque : d'une part, si $t$ @@ -1174,7 +1177,7 @@ Un exemple de corps qui \emph{n'est pas} parfait est le corps $\mathbb{F}_p(t)$ des fractions rationnelles en une indéterminée $t$ sur $\mathbb{F}_p$, vu que l'élément $t$ n'a pas de racine $p$-ième. -\thingy Si $k$ est parfait, tout élément $x$ algébrique sur $k$ (dans +\thingy\label{field-is-perfect-iff-every-algebraic-is-separable} Si $k$ est parfait, tout élément $x$ algébrique sur $k$ (dans un corps le contenant) est séparable : en effet, si $f$ est le polynôme minimal de $x$, on peut écrire $f(t) = f_0(t^{p^s})$ comme expliqué plus haut, mais quitte à appeler $f_1$ le polynôme dont les @@ -1182,6 +1185,15 @@ coefficients sont les racines $p^s$-ièmes de ceux de $f_0$ (c'est là qu'on utilise la perfection de $k$), on a $f(t) = f_0(t^{p^s}) = (f_1(t))^{p^s}$, et ceci ne peut être irréductible que pour $s=0$. +Réciproquement, si tout élément $x$ algébrique sur $k$ (dans un corps +le contenant, ou, mieux, dans une clôture algébrique $K$ fixée) est +séparable, alors $k$ est parfait : en effet, si $x\in k$, on peut +considérer $y$ sa racine $p$-ième dans la clôture algébrique $K$ : +puisque $t^p - x = (t-y)^p$ dans $K[t]$, toutes ses racines sont +égales à $y$, donc le polynôme minimal de $y$ sur $k$ est de la forme +$(t-y)^r$ pour un certain $1\leq r\leq p$, et s'il est séparable c'est +que $r=1$ donc $y\in k$. + \begin{prop}[théorème de l'élément primitif]\label{primitive-element-theorem} Soit $K = k(x_1,\ldots,x_n)$ avec $x_1,\ldots,x_n$ algébriques sur $k$ et $x_2,\ldots,x_n$ séparables sur $k$ (on ne demande pas que $x_1$ @@ -1237,6 +1249,20 @@ sur $k$ puisque $k$ est parfait, et d'après \ref{primitive-element-theorem}, l'extension est monogène. \end{proof} +\begin{prop} +Si $k \subseteq K$ est une extension algébrique avec $k$ parfait, +alors $K$ est aussi parfait. +\end{prop} +\begin{proof} +D'après \ref{field-is-perfect-iff-every-algebraic-is-separable}, il +suffit de montrer que tout algébrique sur $K$ est séparable. Mais un +algébrique sur $K$ est en particulier algébrique sur $k$ +(cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(4)), donc de nouveau +d'après \ref{field-is-perfect-iff-every-algebraic-is-separable} il est +séparable sur $k$, et comme son polynôme minimal sur $K$ divise celui +sur $k$, il est séparable. +\end{proof} + % TODO: % * Extensions séparables, composées, sommes, produits. % * Espace projectif, Nullstellensatz, lemme de Zariski. |