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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 25a8d75..18ebf26 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -758,7 +758,7 @@ et $x_1,\ldots,x_n$ ses racines avec multiplicité) et que $L = K(x_1,\ldots,x_n)$. \end{defn} -\begin{prop} +\begin{prop}\label{existence-uniqueness-decomposition-field} Soit $K$ un corps et $f \in K[t]$ un polynôme. Alors : (1) Il existe un corps de décomposition de $f$ sur $K$. (2) Si $K \subseteq L$ est un corps de décomposition de $f$ sur $K$, et si $K \subseteq L'$ est @@ -807,6 +807,48 @@ les racines $x'_1,\ldots,x'_n$ de $f$ dans $L'$, or on a $L = K(x'_1,\ldots,x'_n)$. \end{proof} +\begin{defn} +Soit $K$ un corps. On appelle \textbf{clôture algébrique} de $K$ une +extension $K \subseteq L$ algébrique telle que tout polynôme de $K[t]$ +soit complètement décomposé sur $L$. +\end{defn} + +De toute évidence, un corps est algébriquement clos si et seulement si +il est égal à sa propre clôture algébrique. + +\begin{prop}[théorème de Steinitz] +Soit $K$ un corps quelconque. Alors il existe une clôture algébrique +de $K$, et de plus, si $L$ et $L'$ sont deux clôtures algébriques +de $K$, il existe un isomorphisme entre elles qui soit l'identité +sur $K$. Enfin, une clôture algébrique de $K$ est algébriquement +close. +\end{prop} +\begin{proof}[Esquisse de démonstration] +L'existence se montre comme +\ref{existence-uniqueness-decomposition-field}(1) avec un argument de +passage à l'infini : pour chaque polynôme $f \in K[t]$, on construit +un corps de décomposition de ce polynôme au-dessus de tous les coprs +de décomposition précédemment obtenus, et tous ces corps sont +algébriques d'après \ref{basic-facts-algebraic-extensions} (3) et (4). +L'unicité se montre comme +\ref{existence-uniqueness-decomposition-field}(2), de nouveau en +passant à l'infini : quitte à supposer que $L$ a été construit comme +on vient de l'indiquer, pour chaque polynôme $f \in K[t]$, on +construit un morphisme entre le corps de décomposition de ce polynôme +au-dessus de tous les précédents, et un sous-corps de $L'$, jusqu'à +obtenir un morphisme de $L$ dans $L'$ (qui est l'identité au-dessus +de $K$), qui est forcément un isomorphisme puisque $L'$ est +algébrique, donc engendré par tous les éléments algébriques au-dessus +de $K$. + +Enfin, si $M$ est une clôture algébrique de $L$, qui est lui-même une +clôture algébrique de $K$, on voit que $M$ est algébrique sur $K$ +d'après \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(4), donc tout élément +de $M$ est racine d'un polynôme à coefficients dans $K$, donc il est +déjà dans $L$, et en fait $L = M$, ce qui montre que $L$ est +algébriquement clos. +\end{proof} + % % |