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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 4d57c4b..552c8cc 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -2307,11 +2307,13 @@ algébriques sur $\mathbb{Q}$ (cf. \ref{relative-algebraic-closure} et \ref{algebraic-closure-in-algebraically-closed-field}). \thingy\label{maximal-ideals-of-points} Soit $k$ un corps. On va s'intéresser aux idéaux -\begin{align*} +\[ +\begin{aligned} \mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_n)} &:= \{f \in k[t_1,\ldots,t_n] : f(x_1,\ldots,x_n) = 0\}\\ &= (t_1-x_1,\ldots,t_n-x_n) -\end{align*} +\end{aligned} +\] pour $(x_1,\ldots,x_n) \in k^n$, et on va expliquer qu'ils sont maximaux (cf. \ref{fields-and-maximal-ideals}). @@ -2739,10 +2741,12 @@ peut donner une interprétation de $k[t_1,\ldots,t_d]/(I)$ comme suit : Considérons l'application qui à un polynôme $f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ associe la restriction à $Z(I)$ de ce polynôme, vu comme une application de $(k^{\alg})^d$ vers $k^{\alg}$ ; autrement dit, -\begin{align*} +\[ +\begin{aligned} k[t_1,\ldots,t_d] &\to (k^{\alg})^{Z(I)}\\ f &\mapsto ((x_1,\ldots,x_d) \mapsto f(x_1,\ldots,x_d)) -\end{align*} +\end{aligned} +\] Il s'agit manifestement d'un morphisme d'anneaux (en munissant $(k^{\alg})^{Z(I)}$ des opérations point à point) dont le noyau est $\mathfrak{I}(Z(I))$ par définition. Il s'ensuit que son image, @@ -4812,6 +4816,10 @@ Le \defin[degré (d'un diviseur)]{degré} d'un diviseur $D = \sum_P n_P $\deg(P)$ est le degré de la place $P$ (cf. \ref{degree-of-a-place}). On notera $\Divis^0(C)$ le sous-groupe des diviseurs de degré zéro (i.e., le noyau de $\deg$). + +Un diviseur $D$ est dit \defin[effectif (diviseur)]{effectif} (ou +abusivement : « positif ») lorsque tous les coefficients $n_P$ sont +positifs. On note $D \geq 0$ pour cette affirmation. \end{defn} \begin{defn} @@ -4820,11 +4828,13 @@ K$ est non constante, on appelle respectivement \textbf{diviseur des zéros}, \textbf{diviseur des pôles} et \defin[principal (diviseur)]{diviseur principal} associés à la fonction $f$ les diviseurs -\begin{align*} +\[ +\begin{aligned} f^*((0)) &:= \sum_{P\;:\;v_P(f) > 0} v_P(f)\cdot (P)\\ f^*((\infty)) &:= \sum_{P\;:\;v_P(f) < 0} -v_P(f)\cdot (P)\\ \divis(f) := f^*((0)-(\infty)) &= \sum_{P\in C} v_P(f)\cdot (P)\\ -\end{align*} +\end{aligned} +\] où $v_P$ est la valuation correspondant\footnote{Formellement, avec la présentation utilisée ici, $v_P$ et $P$ sont \emph{égaux}. Il est cependant utile de les distinguer, et d'appeler $P$ une « place » de @@ -4844,7 +4854,12 @@ Il faut souligner que $\divis(fg) = \divis(f) + \divis(g)$ d'après la propriété \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(i) des valuations. -\begin{defn} +Si $D = \sum_P n_P\cdot (P)$ est un diviseur, certains appellent +valuation de $D$ en $P$ l'entier $n_P$ (ce qui fait donc que la +valuation de $\divis(f)$ en $P$ est par définition exactement la +valuation $v_P(f)$ de $f$ en $P$). On évitera cette terminologie. + +\begin{defn}\label{definition-linear-equivalence-and-picard-group} Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, on appelle \defin[principal (diviseur)]{diviseur} un diviseur sur $C$ (de degré zéro) de la forme $\divis(f) := \sum_{P\in C} v_P(f)\cdot (P)$ pour @@ -4890,6 +4905,79 @@ dit, $\Pic(\mathbb{P}^1_k) = \mathbb{Z}$ (l'isomorphisme étant donné par le degré) et $\Pic^0(\mathbb{P}^1_k) = 0$. +\subsection{Espaces de Riemann-Roch}\label{subsection-riemann-roch-spaces} + +\begin{defn} +Soit $K = k(C)$ un corps de fonction de courbe sur $k$, et soit $D = +\sum_P n_P \cdot (P)$ un divisuer sur $C$ (c'est-à-dire une +combinaison linéaire formelle, à coefficients entiers, de places +de $C$). On appelle \defin[Riemann-Roch (espace de)]{espace de + Riemann-Roch} associé au diviseur $D$ le $k$-espace vectoriel +\[ +\begin{aligned} +\mathscr{L}(D) &:= \{f \in K : (\forall P)\, v_P(f) \geq -n_P\}\\ +&= \{f \in K : \divis(f) + D \geq 0\}\\ +\end{aligned} +\] +des fonctions rationnelles sur $C$ qui ont en chaque place $P$ un pôle +d'ordre au plus $n_P$ (ou un zéro d'ordre au moins $n_P$ dans le cas +où $n_P$ est strictement négatif ; et pas de pôle si $n_P$ est nul). + +On note $\ell(D)$ la dimension de $\mathscr{L}(D)$ comme $k$-espace +vectoriel (on va voir qu'elle est toujours finie). +\end{defn} + +\begin{prop} +En notant $D$ et $D'$ des diviseurs sur une même courbe : + +(o) Si $\mathscr{L}(D) \neq 0$ alors il existe $D'$ linéairement + équivalent à $D$ + (cf. \ref{definition-linear-equivalence-and-picard-group}) et + effectif. + +(i.a) En notant $0$ le diviseur nul, on a $\mathscr{L}(0) = \tilde k$. + (i.b) Si $D < 0$ (au sens où $-D$ est effectif et non nul), on a + $\mathscr{L}(D) = 0$. + +(ii) Si $D$ et $D'$ sont linéairement équivalents ($D \sim D'$), + c'est-à-dire si $D' - D = \divis(f)$ pour une certaine fonction $f$ + alors on a un isomorphisme $\mathscr{L}(D') \buildrel\sim\over\to + \mathscr{L}(D)$ donné par $g \mapsto fg$. En particulier, + $\mathscr{L}(D')$ et $\mathscr{L}(D)$ ont même dimension $\ell(D') = + \ell(D)$. + +(iii) Si $D \leq D'$ (au sens où $D' - D$ est effectif) alors + $\mathscr{L}(D) \subseteq \mathscr{L}(D')$ et la dimension du + $k$-espace vectoriel $\mathscr{L}(D')/\mathscr{L}(D)$ est au + plus $\deg D' - \deg D$. + +(iv) Le $k$-espace vectoriel $\mathscr{L}(D)$ est de dimension finie : + plus précisément, si $D = D_+ - D_-$ avec $D_+$ et $D_-$ effectifs, + alors $\ell(D) \leq [\tilde k:k] + \deg D_+$. +\end{prop} +\begin{proof} +(o) Si $f \in \mathscr{L}(D)$ alors $D' := \divis(f) + D$ est effectif + (par définition de $\mathscr{L}(D)$) et linéairement équivalent + à $D$ (par définition de l'équivalence linéaire). + +(i) découle de \ref{constant-functions-on-a-curve} (une fonction sans + pôle, c'est-à-dire un élément de $\mathscr{L}(0)$, est constante, et + elle n'a pas non plus de zéro, c'est-à-dire n'appartient pas à + $\mathscr{L}(D)$ pour $D<0$, sauf si elle est nulle). + +(ii) Il suffit de constater que si $D' = D + \divis(f)$ alors + $\divis(g) + D' \geq 0$ équivaut à $\divis(fg) + D \geq 0$ puisque + les membres de gauche sont égaux (vu que $\divis(fg) = \divis(f) + + \divis(g)$). + +(iii) (sauf l'affirmation $\mathscr{L}(D) \subseteq \mathscr{L}(D')$, + qui est triviale), et (iv) pour $D_- = 0$, sont une reformulation + de \ref{dimension-degree-bound-lemma}. Le cas général de (iv) s'en + déduit trivialement (augmenter $D_-$ ne peut que faire + diminuer $\ell(D)$). +\end{proof} + + % TODO: % * Différentielles. |