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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index d067469..7949c6b 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -698,20 +698,21 @@ engendré dans $K.L$ par les $(v_j)$, c'est-à-dire que ceux-ci sont générateurs, et finalement sont une base de $K.L$. \end{proof} -\thingy En particulier, dans les conditions de la proposition -ci-dessus, on a $[K.L : L] = [K : k]$, et -d'après \ref{remark-multiplicativity-of-degree} on a aussi $[K.L : k] -= [K : k] \cdot [L : k]$. - -Réciproquement, si $[K.L : L] = [K : k]$ (ou, ce qui revient au même, -$[K.L : k] = [K : k] \cdot [L : k]$) pour deux extensions -\emph{finies} $k \subseteq K$ et $k \subseteq L$ contenues dans une -même troisième, on peut considérer une base de $K$ comme $k$-espace -vectoriel, qui, d'après \ref{compositum-generated-by-products}, -engendre $K.L$ comme $L$-espace vectoriel, donc en est une base -puisqu'elle a la bonne dimension. -D'après \ref{linear-disjointness-with-basis}, ceci assure que $K$ -et $L$ sont linéairement disjointes. +\thingy\label{linear-disjointness-and-degrees} En particulier, dans +les conditions de la proposition ci-dessus, on a $[K.L : L] = [K : + k]$, et d'après \ref{remark-multiplicativity-of-degree} on a aussi +$[K.L : k] = [K : k] \cdot [L : k]$. + +Réciproquement, si pour pour deux extensions $k \subseteq K$ et $k +\subseteq L$ contenues dans une même troisième on a l'égalité $[K.L : + L] = [K : k]$ \emph{finie} (notons que si à la fois $k \subseteq K$ +et $k \subseteq L$ sont finines, il revient au même de supposer $[K.L + : k] = [K : k] \cdot [L : k]$), on peut considérer une base +(finie !) de $K$ comme $k$-espace vectoriel, qui, +d'après \ref{compositum-generated-by-products}, engendre $K.L$ comme +$L$-espace vectoriel, donc en est une base puisqu'elle a la bonne +taille : d'après \ref{linear-disjointness-with-basis}, ceci assure que +$K$ et $L$ sont linéairement disjointes. \begin{prop}\label{linear-disjointness-of-algebraic-and-transcendental} Soit $k \subseteq K$ une extension de corps, et $t_1,\ldots,t_n$ des @@ -1350,6 +1351,44 @@ de $x$ sur $k$, et on a $\deg(f) = p\cdot \deg(f_0)$ donc $\deg(x) = p\cdot \deg(x^p)$. \end{proof} +\thingy On peut donner encore une autre condition équivalente au fait +qu'un élément $x \in K$ algébrique sur un sous-corps $k$ soit +séparable (en caractéristique $p>0$) : on vient de voir que cela +équivaut à $\deg(x^p) = \deg(x)$ ou à $k(x^p) = k(x)$ ; mais comme on +a de toute manière $[k(x):k] = [k^p(x^p) : k^p]$ (puisque le Frobenius +est un isomorphisme entre $k(x)$ et $k^p(x^p)$), la séparabilité +de $x$ équivaut aussi à $[k(x^p):k] = [k^p(x^p) : k^p]$, c'est-à-dire, +d'après \ref{linear-disjointness-and-degrees}, au fait que les +extensions $k^p(x^p)$ et $k$ de $k^p$ sont linéairement disjointes +(cf. \ref{definition-linear-disjointness}). + +Avec ce critère, on démontre immédiatement la proposition suivante : + +\begin{prop} +Soit $k \subseteq K$ une extension de corps et $x\in K$ algébrique +séparable sur $k$. Alors tout $y \in k(x)$ est (algébrique) séparable +sur $k$. +\end{prop} +\begin{proof}[Démonstration directe] +Soit $d = \deg(x)$, si bien que $1,x,x^2,\ldots,x^{d-1}$ est une base +de $k(x)$ comme $k$-espace vectoriel. Écrivons $y^j = +\sum_{i=0}^{d-1} c_{i,j} x^i$ sur cette base, pour $0\leq j\leq d'-1$ +avec $d' = \deg(y)$ : le fait que $y$ soit de degré $d'$ entraîne que +$1,y,\ldots,y^{d'-1}$ sont linéairement indépendants sur $k$, +autrement dit la matrice des $c_{i,j}$ est de rang $d'$. Maintenant, +en élevant $y^j = \sum_{i=0}^{d-1} c_{i,j} x^i$ à la puissance $p$, on +trouve $y^{pj} = \sum_{i=0}^{d-1} c_{i,j}^p x^{pi}$. Comme $x$ est +séparable, $x^p$ est de degré $d$ et $1,x^p,\ldots,x^{p(d-1)}$ est une +base de $k(x)$ comme $k$-espace vectoriel. La matrice des $c_{i,j}^p$ +est de rang $d'$ car le Frobenius est un isomorphisme de $k$ sur $k^p$ +et que \emph{le rang d'une matrice ne dépend pas du corps sur lequel + on la considère}. Des trois dernières phrases, on déduit que +$1,y^p,\ldots,y^{p(d'-1)}$ sont linéairement indépendants sur $k$, +c'est-à-dire que $\deg(y^p) \geq d'$, l'inégalité dans le sens +contraire étant évidente on a $\deg(y^p) = \deg(y)$ et $y$ est +séparable. +\end{proof} + \begin{defn}\label{definition-perfect-field} Un corps $k$ est dit \textbf{parfait} lorsque \emph{soit} $k$ est de caractéristique $0$, \emph{soit} $k$ est de caractéristique $p$ et le |