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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 75404ae..72e3f46 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -1978,7 +1978,7 @@ Terminons cette section par deux résultats dus à Emil Artin : \begin{thm}\label{artin-theorem-on-automorphisms} Soit $L$ un corps et $G$ un groupe \emph{fini} d'automorphismes -de $L$ : si $K := \Fix(G) := \{x \in L : \forall \sigma\in +de $L$ : si $K := \Fix_L(G) := \{x \in L : \forall \sigma\in G\penalty-100\; (\sigma(x) = x)\}$ est le corps des éléments de $L$ fixés par tous les éléments de $G$, alors $K \subseteq L$ est une extension galoisienne de groupe de Galois $G$ (en particulier, $[L:K] @@ -2012,6 +2012,29 @@ automorphismes, tous ces nombres sont égaux, et $G = \Gal(K \subseteq L)$. \end{proof} +\thingy L'intérêt du résultat ci-dessus est de construire des +extensions galoisiennes d'intérêt géométrique. + +Un exemple important est celui de l'action du groupe $\mathfrak{S}_n$ +des permutations des indéterminées $t_1,\ldots,t_n$ sur le corps $L = +k(t_1,\ldots,t_n)$ des fractions rationnelles en $n$ indéterminées sur +un corps $k$ : si on appelle $K = \Fix_L(\mathfrak{S}_n)$ le corps des +fractions rationnelles fixes par toutes les permutations des +indéterminées, alors le théorème \ref{artin-theorem-on-automorphisms} +assure que $K\subseteq L$ est galoisienne de groupe $\mathfrak{S}_n$ +et en particulier $[L:K] = n!$ ; il est par ailleurs bien connu que +$K$ est une extension \emph{transcendante pure} de $k$ engendrée par +les polynômes symétriques élémentaires $e_r := \sum_{i_1<\cdots<i_r} +t_{i_1} \cdots t_{i_r}$ des $t_i$. Le degré de n'importe quel $t_i$ +sur $K$ est égal à $n$ car il est racine du polynôme $t^n - e_1 +t^{n-1} + \cdots + (-1)^n e_n \in K[t]$, et on peut se convaincre que +$t_j$ est alors de degré $n-1$ sur $K(t_i)$ et plus généralement que +$t_j$ est de degré $n-r$ sur $K(t_{i_1},\ldots,t_{i_r})$ si +$i_1,\ldots,i_r,j$ sont deux à deux distincts (en effet, les degrés ne +peuvent pas être plus grands que ça, et ils ne peuvent pas être plus +petits non plus puisque l'extension $K\subseteq L$ tout entière est de +degré $n!$). + \begin{thm}\label{linear-independence-of-characters} Soit $G$ un groupe ou même simplement un monoïde (=ensemble muni d'une opération binaire associative avec un élément unité), noté |