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diff --git a/controle-20190403.tex b/controle-20190403.tex index f11e247..636edc6 100644 --- a/controle-20190403.tex +++ b/controle-20190403.tex @@ -98,9 +98,9 @@ L'usage des appareils électroniques est interdit. Durée : 2h \ifcorrige -Ce corrigé comporte 6 pages (page de garde incluse) +Ce corrigé comporte 6 pages (page de garde incluse). \else -Cet énoncé comporte 3 pages (page de garde incluse) +Cet énoncé comporte 3 pages (page de garde incluse). \fi \vfill @@ -117,8 +117,8 @@ Git: \input{vcline.tex} % % -Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2$ (c'est-à-dire qu'on -pourra librement diviser par $2$), dont on notera $k^{\alg}$ la +Soit $k$ un corps parfait de caractéristique $\neq 2$ (c'est-à-dire +qu'on pourra librement diviser par $2$), dont on notera $k^{\alg}$ la clôture algébrique. On va s'intéresser à la variété algébrique (affine) $C := @@ -277,8 +277,8 @@ et $(0\,{:}\,\sqrt{-1}\,{:}1)$ et $(0\,{:}\,{-\sqrt{-1}}\,{:}\,1)$. (3) On s'intéresse maintenant à $D_\tau$ dans $\mathbb{A}^2$ défini par l'équation $D_\tau := \{x^2+y^2 = \tau(x-y)\}$, où $\tau$ est un -paramètre qu'on va faire varier. On notera $f_\tau := x^2+y^2 - -\tau(x-y)$ +paramètre qu'on va faire varier (dans $k$ ou même dans $k^{\alg}$). +On notera $f_\tau := x^2+y^2 - \tau(x-y)$ \smallskip @@ -356,72 +356,74 @@ ces équations « paramétrisent » la courbe $C$ (ou $\overline{C}$). \smallskip \leavevmode\hphantom{(4)}(a) Les équations (*) définissent un -morphisme $\tau \mapsto \big(\frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}\,,\; +morphisme $\psi\colon \tau \mapsto +\big(\frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}\,,\; \frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1}\big)$ d'un ouvert (de définition) $V \subseteq \mathbb{A}^1$ vers $\mathbb{A}^2$. Que vaut $V$ ? Quel calcul faut-il faire pour vérifier qu'on a en fait affaire à un morphisme $V \to C$ ? (On ne demande pas de le faire mais d'expliquer -ce qu'il faudrait faire.) +quelle(s) égalité(s) il s'agit de vérifier.) \begin{corrige} L'ouvert $V$ est $\{\tau^4 + 1 \neq 0\}$, domaine de définition des -fractions rationnelles définissant le morphisme. Pour vérifier que le -morphisme tombe ien dans $C$, il s'agit de vérifier que +fractions rationnelles définissant le morphisme $\psi$. Pour vérifier +que le morphisme tombe bien dans $C$, il s'agit de vérifier que $h\big(\frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}\,,\, \frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1}\big) = 0$ (ce qui est bien le cas). \end{corrige} \smallskip -\leavevmode\hphantom{(4)}(b) Décrire le prolongement du morphisme $V -\to C \subset \mathbb{A}^2$, qu'on vient de décrire, en un morphisme -$\psi\colon \mathbb{P}^1 \to \overline{C} \subset \mathbb{P}^2$. On -écrira explicitement les coordonnées $(Z{:}X{:}Y)$ de l'image d'un -point $(t_0{:}t_1)$ de $\mathbb{P}^1$ par ce morphisme. (Bien sûr, -$\mathbb{A}^1$ est identifié à l'ouvert $\{t_0\neq 0\}$ de -$\mathbb{P}^1$ par $\tau \mapsto (1{:}\tau)$.) +\leavevmode\hphantom{(4)}(b) Décrire le prolongement du morphisme +$\psi\colon V \to C \subset \mathbb{A}^2$, qu'on vient de décrire, en +un morphisme $\overline{\psi}\colon \mathbb{P}^1 \to \overline{C} +\subset \mathbb{P}^2$. On écrira explicitement les coordonnées +$(Z{:}X{:}Y)$ de l'image d'un point $(t_0{:}t_1)$ de $\mathbb{P}^1$ +par ce morphisme. (Bien sûr, $\mathbb{A}^1$ est identifié à l'ouvert +$\{t_0\neq 0\}$ de $\mathbb{P}^1$ par $\tau \mapsto (1{:}\tau)$.) \begin{corrige} -Le point $\big(\frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}\,,\; +Le point $\psi(\tau) = \big(\frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}\,,\; \frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1}\big)$ de $\mathbb{A}^2$ est le point $(\tau^4+1 : \tau\,(\tau^2+1) : \tau\,(\tau^2-1))$ de $\mathbb{P}^2$ (les coordonnées étant, comme d'habitude, dans l'ordre $(Z{:}X{:}Y)$). En identifiant $\mathbb{A}^1$ à l'ouvert $\{t_0\neq 0\}$ -de $\mathbb{P}^1$, on obtient, en homogénéisant, $\psi \colon (t_0 : -t_1) \mapsto (t_1^4+t_0^4 : t_0 t_1 \,(t_1^2+t_0^2) : t_0 -t_1\,(t_1^2-t_0^2))$. On vérifie facilement que les trois coordonnées -de ce morphisme ne peuvent jamais s'annuler simultanément (sauf si -$t_0$ et $t_1$ s'annulent, ce qui est exclu sur $\mathbb{P}^1$), donc -on a bien défini un morphisme $\mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^2$, qui -tombe dans $\overline{C}$ car les coordonnées $(Z{:}X{:}Y)$ qu'on -vient de dire vérifient l'équation $(X^2+Y^2)^2 = Z^2(X^2-Y^2)$ -trouvée en (1)(a) (c'est la même vérification que (4)(a) une fois -chassés les dénominateurs). +de $\mathbb{P}^1$, on obtient, en homogénéisant, $\overline{\psi} +\colon (t_0 : t_1) \mapsto (t_1^4+t_0^4 : t_0 t_1 \,(t_1^2+t_0^2) : +t_0 t_1\,(t_1^2-t_0^2))$. On vérifie facilement que les trois +coordonnées de ce morphisme ne peuvent jamais s'annuler simultanément +(sauf si $t_0$ et $t_1$ s'annulent, ce qui est exclu +sur $\mathbb{P}^1$), donc on a bien défini un morphisme $\mathbb{P}^1 +\to \mathbb{P}^2$, qui tombe dans $\overline{C}$ car les coordonnées +$(Z{:}X{:}Y)$ qu'on vient de dire vérifient l'équation $(X^2+Y^2)^2 = +Z^2(X^2-Y^2)$ trouvée en (1)(a) (c'est la même vérification que (4)(a) +une fois chassés les dénominateurs). \end{corrige} \smallskip -\leavevmode\hphantom{(4)}(c) Quelles sont les images par $\psi$ des -points $0$ et $\infty$ (c'est-à-dire respectivement -$(1{:}0)$ et $(0{:}1)$) de $\mathbb{P}^1$ ? En déduire que $\psi$ -n'est pas un isomorphisme. +\leavevmode\hphantom{(4)}(c) Quelles sont les images +par $\overline{\psi}$ des points $0$ et $\infty$ (c'est-à-dire +respectivement $(1{:}0)$ et $(0{:}1)$) de $\mathbb{P}^1$ ? En déduire +que $\overline{\psi}$ n'est pas un isomorphisme (entre $\mathbb{P}^1$ +et $\overline{C}$). \begin{corrige} -La valeur $\psi(0)$ peut se calculer directement à partir de la -description affine $\tau \mapsto +La valeur $\overline{\psi}(0) = \psi(0)$ peut se calculer directement +à partir de la description affine $\psi\colon \tau \mapsto \big(\frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}\,,\; \frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1}\big)$ et on trouve $(0,0)$. On peut bien sûr aussi substituer $t_0 = 1$ et $t_1 = 0$ dans $(t_1^4+t_0^4 : t_0 t_1 \,(t_1^2+t_0^2) : t_0 t_1\,(t_1^2-t_0^2))$, ce qui donne (heureusement !) le même résultat. -La valeur $\psi(\infty)$ s'obtient en substituant $t_0 = 0$ et $t_1 = -1$ dans $(t_1^4+t_0^4 : t_0 t_1 \,(t_1^2+t_0^2) : t_0 +La valeur $\overline{\psi}(\infty)$ s'obtient en substituant $t_0 = 0$ +et $t_1 = 1$ dans $(t_1^4+t_0^4 : t_0 t_1 \,(t_1^2+t_0^2) : t_0 t_1\,(t_1^2-t_0^2))$, ce qui donne le même point $(1{:}0{:}0)$, origine de $\mathbb{A}^2$. Le point en question étant parcouru deux fois par le paramétrage, -$\psi$ n'est pas bijective, donc n'est pas un isomorphisme. +$\overline{\psi}$ n'est pas bijective, donc n'est pas un isomorphisme. \end{corrige} \smallskip @@ -433,15 +435,21 @@ de $\overline{C}$ sur le corps fini $\mathbb{F}_5 = trouvés en (1)(b) ? \begin{corrige} +Comme $\overline{\psi}$ est donné par des polynômes à coefficients +dans $k$, si on l'applique à un point rationnel (i.e., à coordonnées +dans $k$) de $\mathbb{P}^1$, on obtient un point rationnel +de $\overline{C}$. Rien ne dit que la réciproque soit vraie (et on va +observer qu'elle ne l'est pas). + En substituant les six points ($(0{:}1)$ et $(1{:}i)$ pour -$i\in\{0,1,2,3,4\}$) de $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_5}$ dans $\psi -\colon (t_0 : t_1) \mapsto (t_1^4+t_0^4 : t_0 t_1 \,(t_1^2+t_0^2) : -t_0 t_1\,(t_1^2-t_0^2))$, on obtient les points $(0,0)$ (deux fois), -$(1, 0)$, $(0, 2)$, $(0, 3)$, $(4, 0)$, tous dans $\mathbb{A}^2$ -(c'est-à-dire $(1{:}0{:}0)$, $(1{:}1{:}0)$, $(1{:}0{:}2)$, -$(1{:}0{:}3)$, $(1{:}4{:}0)$ dans $\mathbb{P}^2$). (Pour simplifier -les calculs à la main, il est bien sûr préférable d'écrire $4$ -comme $-1$ et $3$ comme $-2$.) +$i\in\{0,1,2,3,4\}$) de $\mathbb{P}^1_{\mathbb{F}_5}$ dans +$\overline{\psi} \colon (t_0 : t_1) \mapsto (t_1^4+t_0^4 : t_0 t_1 +\,(t_1^2+t_0^2) : t_0 t_1\,(t_1^2-t_0^2))$, on obtient les points +$(0,0)$ (deux fois), $(1, 0)$, $(0, 2)$, $(0, 3)$, $(4, 0)$, tous dans +$\mathbb{A}^2$ (c'est-à-dire $(1{:}0{:}0)$, $(1{:}1{:}0)$, +$(1{:}0{:}2)$, $(1{:}0{:}3)$, $(1{:}4{:}0)$ dans $\mathbb{P}^2$). +(Pour simplifier les calculs à la main, il est bien sûr préférable +d'écrire $4$ comme $-1$ et $3$ comme $-2$.) Les points singuliers à l'infini $(0\,{:}\,\sqrt{-1}\,{:}1)$ et $(0\,{:}\,{-\sqrt{-1}}\,{:}\,1)$, c'est-à-dire, sur $\mathbb{F}_5$, @@ -449,7 +457,14 @@ $(0{:}2{:}1)$ et $(0{:}3{:}1)$, n'ont pas été atteints par le paramétrage sur des points rationnels de $\mathbb{P}^1$. (On les obtient, chacun deux fois, en $(1{:}\tau)$ pour $\tau$ valant une des racines de $2$ ou $3$ dans $\mathbb{F}_{25}$, c'est-à-dire une des -racines quatrièmes de $-1$ dans $\mathbb{F}_5$.) +racines quatrièmes de $-1$.) + +(En fait, on peut se rendre compte que si un point géométrique de +$\overline{C}$ n'est atteint par $\overline{\psi}$ qu'en un unique +point géométrique $(t_0{:}t_1)$ de $\mathbb{P}^1$, ce $(t_0{:}t_1)$ +est forcément invariant par Galois puisque son image +par $\overline{\psi}$ l'est, donc en fait $(t_0{:}t_1)$ est rationnel. +On n'attendait bien sûr pas une telle analyse.) \end{corrige} \medskip |